漫谈反证法 江铭辉 五梦网
在谈反证法时，我们先讲一个非常有趣的反证法故事，故事如下：
1.穷人欠了恶棍的债无发偿还，因此必须要作牢。
2.恶棍专放高利贷，想跟穷人女儿结婚。
3.穷人女儿很讨厌恶棍。
4.于是恶棍就提议：
「我要从路上随便捡起一块白石头和一块黑石头，放进袋子里。然后让你的女儿伸手从袋子里抓出一块，如果她抓到白石头，那么债务就一笔勾消。但是，如果她抓到是黑石头，那一定要和我结婚。」
5.说完，恶棍就偷偷地把两块黑石头放进袋子里。
6.这事情的真相被穷人女儿洞穿，可怜的女儿要怎么办？
（1）拒绝抓石头。
（2）把「袋子石头都是黑的」的真相抖出。
（3）咬紧牙关伸手去抓，然后哭哭啼啼跟着恶棍结婚。
7.以上三种方法，对穷人都很不利，到底穷人女儿要怎么办呢？
8.聪慧的女儿，想到一种绝妙办法，她把手伸入袋子里，抓出一块石头，接着惊叫一声「哎呀！」后，故意让石头掉落在地上，并且这样说：「我不知道落在地上的石头颜色，不过查看袋子剩下的另一颗石头便知道因为掉落在地上石头的颜色，刚好和袋子里的石头颜色相反。」（图1）
图1：穷人女儿假装不小心将拿出的石头掉落在满地都是石头的地上。
反证法是一种重要的证明方法，它不直接证明问题，而是先假设问题“否定的结论”成立，再证明这个“否定的结论”与已知的定理或命题的条件互相矛盾，如此可推论命题成立。换言之，要证明"若P则q"的命题，我们先假设命题的已知条件P及结论的否定～q为真，然后从P和～q中，推出P和～q同时成立时，它们会有矛盾结果，如此可证明“若P则q”的命题成立。
例1：设a, b, c是同一平面内的三条直线，且a//c，b//c则a//b。
上例中，我们先假设P和～q为真，即P（a, b, c是同一平面内的三条直线，且a//c，b//c）成立和～q（a≠b）成立。
由～q知a≠b，则直线a与直线b必相交于一点X。
但依P，因为a//c，b//c得直线a和直线c没有交点且直线b和直线c也没有交点。所以直线a，直线b，直线c皆没有交点，此显然和(1)式矛盾。即P和相互矛盾，所以必然a//b。
例2：设a1, a2……a8都是正数，且
a1＋a2＋……＋a8＝20……(1)
a1×a2×a3……×a8＝12……(2)
求证：a1,a2……,a8中至少有一个数小于1。
证明：假定a1, a2……a8都不小于1，即ai≧1，
（i＝1,2……8）
则可设，（i＝1, …8）……(3)
由(1), (3)式得
b1+b2+……+b8 =20-8=12
又由(2)式知：
a1×a2×……a8＝(1＋b1)(1＋b2)＋……(1＋b8)
≧1＋b1＋b2＋……＋b8＝13……(4)
显然(4)式与已知条件(2)相矛盾。因此，a1，a2，……a8中至少有一个数小于1。
例3：用0, 1, 2, 3……9十个数字组成若干数目，每一数字只能并且要用一次，使这些数目的和为100。
对于这个问题，一开始我们直接用并凑的方法进行，发现：
19＋28＋31＋7＋6＋5＋4＝100，它满足“和”是100，但“1”使用两次，“0”却完全没用到。
19＋28＋30＋7＋6＋5＋4＝99，虽然每个字都用，但“和”只有99。
1＋8＋27＋64＝100，虽然数字都不相同，且“和”也是100，但3, 5, 9, 0却没有用到。经多次失败以后，我们只好将例3重新改写为：
用0, 1, 2, 3……9十个数字组成若干数目，若每一数字只能并且要用一次，则它们的和不可能是“100”……(1)
要证明式(1)，我们可用反证法，证明如下：
0, 1, 2, 3,……9的组合，若可由一个或两个数字组成和为100的数字组。则由两个数字组合的个数至多只有三组，设此三组二位数以t, u, v表示其十位数。因为0, 1, 2,……9每个数字恰好出现一次，且有的数字是当作个位数，则个位数字的和就是45－(t＋u＋v)。因此：
10（t＋u＋v）＋〔45－(t＋u＋v)〕＝100
得t＋u＋v＝
因为t, u, v是0～9的其中一个数字，所以t＋u＋v应该是整数。但我们却得t＋u＋v＝，显然与假设“和”为100相矛盾，同理可证数组中若仅有二组或一组二位数，命题亦成立。
所以我们得到一个结论：若0, 1, 2,……9十个数字，只能用一次并且一定要用一次，所组成数目的和不可能是100。
最早使用反证法的是柏拉图及与他同时代毕达哥拉斯学派的希波克拉底斯（Hippocrates），柏拉图学派的弟子欧几里德（Euclid）及尤多克萨斯（Eudoxus of Cnidus）都是使用“反证法”的顶尖高手。事实上欧几里德的〈几何原本〉著作中便常见到反证法。