漫谈归纳法与数学归纳法 江铭辉 五梦网
归纳法是根据许多试验或观测的数据推理得出一般的结论，在还没谈归纳法之前我们先看下列二个例子：
例1：
有一个流浪汉，在一个寒冷冬天，他实在受不了，于是到处去捡可以烧的东西，烧来取暖。他捡了，一些东西并记录什么东西可以烧来取火，他的记录如下表：
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物品
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树枝
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木棍
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纸筒
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铁片
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塑料袋
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砖头
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玻璃
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形状
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圆柱
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圆柱
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圆柱
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片状
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袋状
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块状
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平板
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是否可烧
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是
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是
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是
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否
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否
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否
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否
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于是他的结论是凡是圆柱的东西都可以烧，他按照这个原则，第二天捡了一堆竹子，第三天捡了一个木头做的旗杆，都幸运可以烧来起火，但第四天麻烦来了，他捡了一根铁棒，二只塑料管，带回去准备燃烧取暖，结果大失所望。于是他重新评估，制定新的法则。
例2：
公鸡归纳法
五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授讲了一个“公鸡归纳法”的故事，他说：
某主妇养小鸡十只，公母各半。她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐。天天早晨她拿米喂鸡。到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：「第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。」这时，刚好有客人来，该主妇于是把这只公鸡抓去杀了。这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了，虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃。
归纳法是根据许多试验或观测的数据推理得出一般的结论，因此所得的结论不一定正确，但也可能是正确。
例如：当我们看到方程式2x－y＋3＝0，x＋2y＋4＝0，7x＋8y＋3＝0……等等，它们在直角坐标系中皆为直线，我们依据此现象推论所有如ax＋by＋c＝0都是直线。
但在数学上，用归纳法得出的结论也是可能正确，也可能是错误的。
例如：费马数
，当n值为1, 2, 3,时得到质数5, 17, 257。如果我们归纳所有 ，（n为正整数）皆为质数，那就错了。
因此在数学上，另发展一种归纳法，叫「数学归纳法」，
因此今日所谓的归纳法与数学归纳法不同，数学归纳法较严谨，是数学最重要证明方法之一，保证正确，其叙述如下：
当n＝1时命题A成立，n＝K时（n, k为自然数）A亦成立，若能进一步证明K＋1时A亦成立，则对所有自然数，A成立。
例如：证明公式1＋2＋3＋……＋n＝(1＋n)n/2
当n=1时 左边 ＝右边
令n=k时1＋2＋3＋……＋K= (1+K)K/2 成立
两边同加k＋1
1＋2＋3＋……＋K＋K＋1＝(1+K)K/2+K+1
得1＋2＋3＋……＋K＋K＋1＝(K+2)(K+1)/2
所以当n＝k＋1时亦能成立
数学归纳法是16世纪才引入的，与归纳法或许有关，但较为严密。而最早使用归纳法是柏拉图及与他同时代毕达哥拉斯学派的希波克拉底斯（Hippocrates）。