漫談歸納法與數學歸納法 江銘輝 五夢網
歸納法是根據許多試驗或觀測的數據推理得出一般的結論，在還沒談歸納法之前我們先看下列二個例子：
例1：
有一個流浪漢，在一個寒冷冬天，他實在受不了，於是到處去撿可以燒的東西，燒來取暖。他撿了，一些東西並記錄什麼東西可以燒來取火，他的記錄如下表：
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物品
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樹枝
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木棍
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紙筒
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鐵片
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塑膠袋
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磚頭
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玻璃
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形狀
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圓柱
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圓柱
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圓柱
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片狀
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袋狀
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塊狀
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平板
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是否可燒
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是
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是
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是
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否
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否
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否
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否
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於是他的結論是凡是圓柱的東西都可以燒，他按照這個原則，第二天撿了一堆竹子，第三天撿了一個木頭做的旗桿，都幸運可以燒來起火，但第四天麻煩來了，他撿了一根鐵棒，二隻塑膠管，帶回去準備燃燒取暖，結果大失所望。於是他重新評估，製定新的法則。
例2：
公雞歸納法
五十多年前，清華大學數學系趙訪熊教授講了一個“公雞歸納法”的故事，他說：
某主婦養小雞十隻，公母各半。她預備將母雞養大留著生蛋，公雞則養到一百天就陸續殺以佐餐。天天早晨她拿米喂雞。到第一百天的早晨，其中的一隻公雞正在想：「第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃。」這時，剛好有客人來，該主婦於是把這只公雞抓去殺了。這只公雞在第一百天的早晨不但沒有吃著米，反而被殺了，雖然它已有九十九天吃米的經驗，但不能證明第一百天一定有米吃。
歸納法是根據許多試驗或觀測的數據推理得出一般的結論，因此所得的結論不一定正確，但也可能是正確。
例如：當我們看到方程式2x－y＋3＝0，x＋2y＋4＝0，7x＋8y＋3＝0……等等，它們在直角座標系中皆為直線，我們依據此現象推論所有如ax＋by＋c＝0都是直線。
但在數學上，用歸納法得出的結論也是可能正確，也可能是錯誤的。
例如：費馬數
，當n值為1, 2, 3,時得到質數5, 17, 257。如果我們歸納所有 ，（n為正整數）皆為質數，那就錯了。
因此在數學上，另發展一種歸納法，叫「數學歸納法」，
因此今日所謂的歸納法與數學歸納法不同，數學歸納法較嚴謹，是數學最重要證明方法之一，保證正確，其敘述如下：
當n＝1時命題A成立，n＝K時（n, k為自然數）A亦成立，若能進一步證明K＋1時A亦成立，則對所有自然數，A成立。
例如：證明公式1＋2＋3＋……＋n＝(1＋n)n/2
當n=1時 左邊 ＝右邊
令n=k時1＋2＋3＋……＋K＝(1＋K)K/2成立
兩邊同加k＋1
1＋2＋3＋……＋K＋K＋1＝(1＋K)K/2 ＋K＋1
得1＋2＋3＋……＋K＋K＋1＝(K＋2)(K+1)/2
所以當n＝k＋1時亦能成立
數學歸納法是16世紀才引入的，與歸納法或許有關，但較為嚴密。而最早使用歸納法是柏拉圖及與他同時代畢達哥拉斯學派的希波克拉底斯（Hippocrates）。