偷李子的小偷 江铭辉 五梦网
有一小偷进入一家李子园，他偷了若干李子，这李子园共有7道门，要经过每道门才能到外面，但看守的守门员要求小偷要将手上所有李子加一个的一半给他，他才让小偷通过。这小偷通过层层7道关卡，当他走出第7道门时，手上只剩下一个李子，请问这小偷，最初偷了几个李子？
解答：
这问题有二个解法，一个是直接解法，先从小偷的原始偷x个解起，另一个从小偷走出第7道门时，手上只剩下一个李子往后推，解法如下：
1. 直接解法
设小偷最初偷了x个李子，则经
第1道门小偷剩下李子：x－(x＋1)/2＝(x－1)/2
第2道门小偷剩下李子：(x－1)/2 －[(x－1)/2＋1]/2＝(x－3)/4
第3道门小偷剩下李子：(x－15)/8
第4道门小偷剩下李子：(x-31)/16
……
……
……
第7道门小偷剩下李子：(x－127)/128
所以(x－127)/128＝1，即：
x－127＝128；
x＝255
2. 倒推法
因为小偷在经第7道门时，手中只剩一颗李子，由此可知，他给第7道守门员2颗李子，因此在出第六道门时，他身上有2＋1＝3颗李子，也就是他给第6道守门员4颗李子，因此我们可以假设他出第K＋1道门时，身上有a颗李子，则出第K道门时，身上有2a＋1颗李子。如下表：
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门
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7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
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1
|
最初
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|
出门
李子
|
1
|
3
|
7
|
15
|
31
|
63
|
127
|
255
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因此由上表可知，他最初偷得255颗李子。
这个问题出自婓波那契的算盘书。