偷李子的小偷 江銘輝 五夢網
有一小偷進入一家李子園，他偷了若干李子，這李子園共有7道門，要經過每道門才能到外面，但看守的守門員要求小偷要將手上所有李子加一個的一半給他，他才讓小偷通過。這小偷通過層層7道關卡，當他走出第7道門時，手上只剩下一個李子，請問這小偷，最初偷了幾個李子？
解答：
這問題有二個解法，一個是直接解法，先從小偷的原始偷x個解起，另一個從小偷走出第7道門時，手上只剩下一個李子往後推，解法如下：
1. 直接解法
設小偷最初偷了x個李子，則經
第1道門小偷剩下李子：x－(x＋1)/2＝(x－1)/2
第2道門小偷剩下李子：(x－1)/2 －[(x－1)/2＋1]/2＝(x－3)/4
第3道門小偷剩下李子：(x－15)/8
第4道門小偷剩下李子：(x-31)/16
……
……
……
第7道門小偷剩下李子：(x－127)/128
所以(x－127)/128＝1，即：
x－127＝128；
x＝255
2. 倒推法
因為小偷在經第7道門時，手中只剩一顆李子，由此可知，他給第7道守門員2顆李子，因此在出第六道門時，他身上有2＋1＝3顆李子，也就是他給第6道守門員4顆李子，因此我們可以假設他出第K＋1道門時，身上有a顆李子，則出第K道門時，身上有2a＋1顆李子。如下表：
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門
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7
|
6
|
5
|
4
|
3
|
2
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1
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最初
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|
出門
李子
|
1
|
3
|
7
|
15
|
31
|
63
|
127
|
255
|
因此由上表可知，他最初偷得255顆李子。
這個問題出自婓波那契的算盤書。