来往南、北极之间需1小时24分钟30秒 江铭辉 五梦网
图1：一位自告奋勇的冒险家勇敢的从北极跳下去。
现代科技发达有人异想天开在南极及北极之间开了一条隧道，隧道完成之后，他邀请了自愿作实验的人，从北极跳下，往南极一游的勇士，这天有一位自告奋勇的冒险家，前来应征，他勇敢的从北极跳下去，想借地球的吸引力将他拉到南极（图1），请问他会到达南极吗﹖
解答：
一、 简谐运动
要谈这个问题时，我们先谈物理上的简谐运动（simple harmonic motion）。
简谐运动为一质点在其平衡位置，沿一直线做往复周期性运动。简谐运动需有一个和位移方向相反的力，力的大小是位移乘上一个常数，可以表示成：
F＝－kx
再由牛顿第二运动定律，得：
F＝ma＝m d2x/d2t
将上式整理一下可得：
F＝ma＝m d2x/d2t
即：m d2x/d2t＝－kx
即：d2x/d2t＋ω2x＝0，ω2＝k/m
其解为x ＝R cos(ωt +φ)，其中R 为最大振幅，ω为角频率，ωt +φ为相位角，φ为一常数，称为相位常数。
因为ω＝2πf，所以f＝ω/2π＝(k/m) 1/2/2π
它的周期，是：
T＝1/f＝2π(m /k)1/2 ……(1)
二、这个人将在南北极隧道之间作简谐运动
我们开始从这个人跳入隧道一步一步解说，首先这个人从北极跳入隧道的进口，刚开始，他的速度是零。
渐渐地受地心引力的吸引，速度逐渐增加，但地心对他的吸引却越来越减少，到了地球中心，速度最大，但地心的吸引却为零。通过地球中心后，情况就会改变了，这时地心的引力和他跳下时的方向相反（地心将这个人往回拉，使其速度开始减慢），到了南极出口处时，速度为零，这时在南极的人要迅速将他拉住，否则这个人，又要被地心吸引，掉回北极。如此反复不停地南、北来回跑，作简谐运动。
三、往返一趟南北极所需的时间
现在我们实际来计算往返一趟南北极所需的时间
1. 在地心内部的引力：
即使在地球内部，万有引力的法则亦成立，在地表上所受的万有引力是全部地球的质量因此这时候所接受的引力最大，重量最重，引力的方向是向着地心（如图2），在隧道中（如图3）这时绿色各点给这个人的引力，全部抵销，剩下的引力只剩下红色部分，红色部分的体积（即红球的质量），随着这个人越来越接近地心而越小，对于这个人的引力也越小。
图2：在地球表面吸引力最大
图3：绿色各点给这个人的引力，全部抵销，剩下的引力只剩下红色球体
因此依照万有引力的公式，这个人在隧道的引力是：
F＝G Mm/r2
G是万有引力常数：6.67428×10－11m3Kg－1s－2
M是地球吸引这个人的质量，即图3的红色部分的质量。
M＝4/3（πr3）×D；D是地球的平均密度。D＝5.52×103Kg/m3
m是这个人的质量。
因此这个人在地球的隧道内被拉回的力是：
F＝－G Mm/r2＝－[G×4/3×（πr3）×D×m] / r2＝－[G×4/3（π）×D×m]×r……（2）
如果我们将[G×4/3（π）×D×m]当作k，r当作x，公式（2）就是：
F＝－kx；k＝G×4/3（π）×D×m
2. 从上述公式(1)得知简谐运动的周期是：
T＝1/f＝2π(m /k)1/2
因此T＝2π[m/ (G×4/3（π）×D×m)]＝2×3.1416×﹛1/﹝6.67428×10－11×4/3（3.1416）×5.52×103﹞﹜1/2＝6.2832×﹝1/(154.3×10－8)﹞1/2
＝5059秒＝84.32分钟＝1小时24分钟30秒。