來往南、北極之間需1小時24分鐘30秒 江銘輝 五夢網
圖1：一位自告奮勇的冒險家勇敢的從北極跳下去。
現代科技發達有人異想天開在南極及北極之間開了一條隧道，隧道完成之後，他邀請了自願作實驗的人，從北極跳下，往南極一遊的勇士，這天有一位自告奮勇的冒險家，前來應徵，他勇敢的從北極跳下去，想借地球的吸引力將他拉到南極（圖1），請問他會到達南極嗎﹖
解答：
一、 簡諧運動
要談這個問題時，我們先談物理上的簡諧運動（simple harmonic motion）。
簡諧運動為一質點在其平衡位置，沿一直線做往復周期性運動。簡諧運動需有一個和位移方向相反的力，力的大小是位移乘上一個常數，可以表示成：
F＝－kx
再由牛頓第二運動定律，得：
將上式整理一下可得：
F＝ma＝m d2x/d2t
即：m d2x/d2t＝－kx
即： d2x/d2t＋ω2x＝0，ω2＝k/m
其解為x ＝R cos(ωt +φ)，其中R 為最大振幅，ω 為角頻率，ωt +φ 為相位角，φ為一常數，稱為相位常數。
因為ω＝2πf，所以f＝ω/2π＝(k/m) 1/2/2π
它的周期，是：
T＝1/f＝2π(m /k)1/2 ……(1)
我們開始從這個人跳入隧道一步一步解說，首先這個人從北極跳入隧道的進口，剛開始，他的速度是零。
漸漸地受地心引力的吸引，速度逐漸增加，但地心對他的吸引卻越來越減少，到了地球中心，速度最大，但地心的吸引卻為零。通過地球中心後，情況就會改變了，這時地心的引力和他跳下時的方向相反（地心將這個人往回拉，使其速度開始減慢），到了南極出口處時，速度為零，這時在南極的人要迅速將他拉住，否則這個人，又要被地心吸引，掉回北極。如此反覆不停地南、北來回跑，作簡諧運動。
三、往返一趟南北極所需的時間
現在我們實際來計算往返一趟南北極所需的時間
1. 在地心內部的引力：
即使在地球內部，萬有引力的法則亦成立，在地表上所受的萬有引力是全部地球的質量因此這時候所接受的引力最大，重量最重，引力的方向是向著地心（如圖2），在隧道中（如圖3）這時綠色各點給這個人的引力，全部抵銷，剩下的引力只剩下紅色部分，紅色部分的體積（即紅球的質量），隨著這個人越來越接近地心而越小，對於這個人的引力也越小。
圖2：在地球表面吸引力最大
圖3：綠色各點給這個人的引力，全部抵銷，剩下的引力只剩下紅色球體
因此依照萬有引力的公式，這個人在隧道的引力是：
G是萬有引力常數：6.67428×10－11m3Kg－1s－2
M是地球吸引這個人的質量，即圖3的紅色部分的質量。
M＝4/3（πr3）×D；D是地球的平均密度。D＝5.52×103Kg/m3
m是這個人的質量。
因此這個人在地球的隧道內被拉回的力是：
F＝－G Mm/r2＝－[G×4/3×（πr3）×D×m] / r2＝－[G×4/3（π）×D×m]×r……（2）
如果我們將[G×4/3（π）×D×m]當作k，r當作x，公式（2）就是：
F＝－kx；k＝G×4/3（π）×D×m
2. 從上述公式 (1)得知簡諧運動的週期是：
T＝1/f＝2π(m /k)1/2
因此T＝2π[m/ (G×4/3（π）×D×m)]＝2×3.1416×﹛1/﹝6.67428×10－11×4/3（3.1416）×5.52×103﹞﹜1/2＝6.2832×﹝1/(154.3×10－8)﹞1/2
＝5059秒＝84.32分鐘＝1小時24分鍾30秒。