奇妙的完全数 江铭辉 五梦网
神奇的6
在未谈完全数（Perfect Number）之前，我们先看自然数6，古时候6是属于美神维纳斯的专利，它象征着美满的婚姻；也有人认为，宇宙之所以这样完美，是因为上帝创造世界也是花了6天的时间。
再看看6是不是完美的，6的因子共有4个：1、2、3、6，除了6自身这个因子以外，其他的3个都是它的真因子，数学家们发现把6的所有真因子都加起来，正好等于6这个自然数本身！即6＝1＋2＋3，又把6的3个真因子相乘，结果也是6，即6＝1×2×3，这可说，所有一切自然数，只有它具有这二个性质，别处找不到，够神奇了吧！
完全数的定义
完全数是由希腊数学家几何原理的作者「欧几里德」（EUCLlD）最先提出的，它的定义是：如果有一个数，它的所有因子（包括1和本身），除去本身外之外，其和刚好等于本身，则该数就称为完全数。例如，前面讲到6的因子是1、2、3而且1+2+3=6，所以6是一个完全数；又月球绕地球一周所需的时间是28天，而28恰好是自然数中第二个完全数。真是自然界的巧合。因为28可被1、2、4、7、14整除，而且1+2+4+7+14=28 ，因此28也是一个完全数。
除了6、28二个完全数之外，第3、4、5个自然数；分别是496、8128、33550336。
完全数公式是欧几里德发现的
完全数是欧几里德在其〈原本〉第九卷第36个命题，首先谈到的。他发现了第一个到第四个完全数，并给出一个关于完全数的定理：
当2n－1是素数时，N＝2n－1(2n－1)是完全数。由此定理中的公式所推出的完全数都是偶数，如6、28、496、8128、33550336。18世纪时，大数学家欧拉又从理论上证明:每一个偶完全数必定是由这种公式算出的。
有人做过统计，在40000000以下，只有五个完全数，即：6、28、496、8128、33550336。可见自然数中存在的完全数并不多。但是至今尚不知道完全数的个数究竟是有限或无限，也不知道是否存在有奇数完全数（注：目前已发现的完全数全都是偶数）。
完整数的前十个如下：
6. 8589869056 (10位)
7. 137438691328 (12位)
8. 2305843008139952128 (19位)
9. 2658455991569831744654692615953842176 (38位)
10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216 (55位)
直到1952年以前才发现12个完全数
直到1952年以前，在漫长2000多年的时间里，已发现的完全数总共才有12个，并不是数学家不重视完全数，实在寻找完全数的非常艰巨，例如，当n＝31时，N31=231－1(231－1) =2305843008139952128，这是一个19位数，不难想象，在没有发明计算器之前，用笔算出这个完全数该是多么困难。
直到20世纪中叶，随着电子计算器的问世，寻找完全数的工作才取得了较大的进展，1952年时，数学家凭借计算器的高速运算，一下子发现了5个完全数，它们分别对应于欧几里得公式中的n=521、607、1279、2203、2281。
到1975年，人们在无穷无尽的自然数里，总共找出了24个完全数。
最大完全数
1970年左右，人们发现了一个很大的完全数219936(219937－1)，它是根据当时最大的素数219937－1推算出来的，共有12003位数字，前三位数字是931，末三位数是656，即931………656，1979年又发现更大的完全数244496(244497－1)，这也是根据当时发现的最大素数244497－1计算出来。1983年又跟据素数286243－1推算出286242(286243－1)为一完全数。目前已发现的最大素数为2216091－1，最大的完全数就是221609(2216091－1)
是否有奇数完全数存在
曾经有人验证所有自然数，始终也没有发现奇完全数的踪迹，也没有人证明它不存在，不过奇完全数是否存在，可就谁也不敢保证，这还是一个尚未解决的著名数学难题呢?
梅森(MERSENNE)素数
在上述所列的完全数中，其形式上都有一相似的特点。它们均以2n-1(2n-1)的形式出现，而且(2n-1)必是素数，数学上称这个数为梅森(MERSENNE)素数。
完全数有趣的特性
数学家们在研究完全数时发现有许多有趣的性质：
1. 每一完全数均是由1起的若干个连续数之和。例如：
6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+-6+7
496=1+2+3+4+5+6+7+8+……+31
2. 除6以外，所有完全数均是由1起若个连续的奇数之立方和。例如：
28=13+33
496＝13+33+53+73
8128＝13+33+53+73+93+113+153
3. 所有完全数均是2m－1到22m－2之和。例如：
6=21+22
28=22＋23+24
496＝24+25＋26+27+28
8128＝26+27＋28+29+210+211＋212
4. 完全数的因子(包括本身)的倒数之和永远等于2。例如：
6＝1/1＋1/2＋1/3＋1/6＝2
28＝1/1＋1/2＋1/4＋1/7＋1/14＋1/28＝2
5. 所有完全数都可以写成且m(m+1)/2的形式。例如，
6＝3×4/2
28＝7×8/2
496＝31×32/2