奇妙的完全數 江銘輝 五夢網
神奇的6
在未談完全數（Perfect Number）之前， 我們先看自然數6，古時候6是屬於美神維納斯的專利，它象徵著美滿的婚姻；也有人認為，宇宙之所以這樣完美，是因為上帝創造世界也是花了6天的時間。
再看看6是不是完美的，6的因數共有4個：1、2、3、6，除了6自身這個因數以外，其他的3個都是它的真因數，數學家們發現把6的所有真因數都加起來，正好等於6這個自然數本身！即6＝1＋2＋3，又把6的3個真因數相乘，結果也是6，即6＝1×2×3，這可說，所有一切自然數，只有它具有這二個性質，別處找不到，夠神奇了吧！
完全數的定義
完全數是由希臘數學家幾何原理的作者「歐幾里德」（EUCLlD）最先提出的，它的定義是：如果有一個數，它的所有因子（包括1和本身），除去本身外之外，其和剛好等於本身，則該數就稱為完全數。例如，前面講到6的因子是1、2、3而且1+2+3=6，所以6是一個完全數；又月球繞地球一周所需的時間是28天，而28恰好是自然數中第二個完全數。真是自然界的巧合。因為28可被1、2、4、7、14整除，而且1+2+4+7+14=28 ，因此28也是一個完全數。
除了6、28二個完全數之外，第3、4、5個自然數；分別是496、8128、33550336。
完全數公式是歐幾里德發現的
完全數是歐幾里德在其〈原本〉第九卷第36個命題，首先談到的。他發現了第一個到第四個完全數，並給出一個關於完全數的定理：
當2n－1是質數時，N＝2n－1(2n－1)是完全數。由此定理中的公式所推出的完全數都是偶數，如6、28、496、8128、33550336。18世紀時，大數學家歐拉又從理論上證明:每一個偶完全數必定是由這種公式算出的。
有人做過統計，在40000000以下，只有五個完全數，即：6、28、496、8128、33550336。可見自然數中存在的完全數並不多。但是至今尚不知道完全數的個數究竟是有限或無限，也不知道是否存在有奇數完全數（註：目前已發現的完全數全都是偶數）。
完整數的前十個如下：
6. 8589869056 (10位)
7. 137438691328 (12位)
8. 2305843008139952128 (19位)
9. 2658455991569831744654692615953842176 (38位)
10. 191561942608236107294793378084303638130997321548169216 (55位)
直到1952年以前才發現12個完全數
直到1952年以前，在漫長2000多年的時間裡，已發現的完全數總共才有12個，並不是數學家不重視完全數，實在尋找完全數的非常艱鉅，例如，當n＝31時，N31=231－1(231－1) =2305843008139952128，這是一個19位數，不難想像，在沒有發明計算機之前，用筆算出這個完全數該是多麼困難。
直到20世紀中葉，隨著電子計算機的問世，尋找完全數的工作才取得了較大的進展，1952年時，數學家憑借計算機的高速運算，一下子發現了5個完全數，它們分別對應於歐幾里得公式中的n=521、607、1279、2203、2281。
到1975年，人們在無窮無盡的自然數裡，總共找出了24個完全數。
最大完全數
1970年左右，人們發現了一個很大的完全數219936(219937－1)，它是根據當時最大的質數219937－1推算出來的，共有12003位數字，前三位數字是931，末三位數是656，即931………656，1979年又發現更大的完全數244496(244497－1)，這也是根據當時發現的最大質數244497－1計算出來。1983年又跟據質數286243－1推算出286242(286243－1)為一完全數。目前已發現的最大質數為2216091－1，最大的完全數就是221609(2216091－1)
是否有奇數完全數存在
曾經有人驗證所有自然數，始終也沒有發現奇完全數的蹤跡，也沒有人證明它不存在，不過奇完全數是否存在，可就誰也不敢保證，這還是一個尚未解決的著名數學難題呢?
梅森(MERSENNE)質數
在上述所列的完全數中，其形式上都有一相似的特點。它們均以2n-1(2n-1)的形式出現，而且(2n-1)必是質數，數學上稱這個數為梅森(MERSENNE)質數。
完全數有趣的特性
數學家們在研究完全數時發現有許多有趣的性質：
1. 每一完全數均是由1起的若干個連續數之和。例如：
6=1+2+3
28=1+2+3+4+5+-6+7
496=1+2+3+4+5+6+7+8+……+31
2. 除6以外，所有完全數均是由1起若個連續的奇數之立方和。例如：
28=13+33
496＝13+33+53+73
8128＝13+33+53+73+93+113+153
3. 所有完全數均是2m－1到22m－2之和。例如：
6=21+22
28=22＋23+24
496＝24+25＋26+27+28
8128＝26+27＋28+29+210+211＋212
4. 完全數的因子(包括本身)的倒數之和永遠等於2。例如：
6＝1/1＋1/2＋1/3＋1/6＝2
28＝1/1＋1/2＋1/4＋1/7＋1/14＋1/28＝2
5. 所有完全數都可以寫成且m(m+1)/2的形式。例如，
6＝3×4/2
28＝7×8/2
496＝31×32/2