四难题（四） 江铭辉 五梦网
题一、如图，有一个正三角形每边长10公尺，取其每边的中间点连成一新的正三角形，继续将这第二个正三角形每边取中间点连成第三个正三角形，如此作出第四、第五……至无穷多的三角形。请问这些无穷多三角型周边长度的总和是多少？
题二、如图将一只羊放在一块面积20π平方公尺的正三角形里面，三角形外边被围墙隔离，有一条绳子一端绑着羊，另一端绑在正三角形的一个顶角。请问绑羊的绳子要多长，才能吃掉10π平方公尺的草地？
题三、有27枚硬币其中有一枚是假的，假硬币比26枚其他硬币轻，而26枚硬币重量相等，请问须要用天平称几次才能找出假硬币？
题四、请问下面图案，正方形和三角形，各有几个？加油吧！
解答如下：
题一：从图中我们知道图1的第一个三角形三边和是30公尺，第二个三角形三边和是第一个三角形三边和的1/2，即：
30×（1/2）公尺＝30×（1/2）2－1公尺，
第三个三角形三边和是第二个三角形三边和的，即：
30×（1/2）×(1/2)公尺＝30×（1/2)3－1公尺，
以此类推，第n个三角形三边和是30×（1/2)n－1公尺
因此所有无穷多三角形周边的和是：
30×﹝1＋1/2＋（1/2)2＋……（1/2)n－1﹞
＝30×[ 1－（1/2)n ]/(1－1/2)，当n驱近无穷大时，（1/2)n驱近于零。
因此30×﹝1＋1/2＋（1/2)2＋……（1/2)n－1﹞
＝30×[ 1－（1/2)n ]/(1－1/2)
＝30×2＝60（公尺）
题二：
如图，由六个正三角形，构成一个正六边形，面积为120π平方公尺，羊吃掉草的部分为10平方公尺，即等于一个正三角形的一半，设图中圆形面积是正六边形的一半，圆形半径是牵羊的绳长，这样圆形的半径，就是问题的答案。因此圆形面积＝r2π＝1/2×120π，即：
r2＝60
因此r＝7.75公尺
题三：
最少称3次，将27个硬币分3组，每组有9枚，第一次称重可以确定假硬币落在哪一组，然后再将有假硬币那一组，再分成3组，每组有3个硬币，称第二次可确定在哪一组（这时每一组只有三个硬币），最后将有假硬币那一组，再分成三组（每组一个硬币），就可找出假硬币。
题四：
正方形有9个，三角形有23个。