四難題（四） 江銘輝 五夢網
題一、如圖，有一個正三角形每邊長10公尺，取其每邊的中間點連成一新的正三角形，繼續將這第二個正三角形每邊取中間點連成第三個正三角形，如此作出第四、第五……至無窮多的三角形。請問這些無窮多三角型周邊長度的總和是多少？
題二、如圖將一隻羊放在一塊面積20π平方公尺的正三角形裡面，三角形外邊被圍牆隔離，有一條繩子一端綁著羊，另一端綁在正三角形的一個頂角。請問綁羊的繩子要多長，才能吃掉10π平方公尺的草地？
題三、有27枚硬幣其中有一枚是假的，假硬幣比26枚其他硬幣輕，而26枚硬幣重量相等，請問須要用天平稱幾次才能找出假硬幣？
題四、請問下面圖案，正方形和三角形，各有幾個？加油吧！
解答如下：
題一：從圖中我們知道圖1的第一個三角形三邊和是30公尺，第二個三角形三邊和是第一個三角形三邊和的1/2，即：
30×（1/2）公尺＝30×（1/2）2－1公尺，
第三個三角形三邊和是第二個三角形三邊和的，即：
30×（1/2）×(1/2)公尺＝30×（1/2)3－1公尺，
以此類推，第n個三角形三邊和是30×（1/2)n－1公尺
因此所有無窮多三角形周邊的和是：
30×﹝1＋1/2＋（1/2)2＋……（1/2)n－1﹞
＝30× [ 1－（1/2)n ]/(1－1/2)，當n驅近無窮大時，（1/2)n驅近於零。
因此30×﹝1＋1/2＋（1/2)2＋……（1/2)n－1﹞
＝30× [ 1－（1/2)n ]/(1－1/2)
＝30×2＝60（公尺）
題二：
如圖，由六個正三角形，構成一個正六邊形，面積為120π平方公尺，羊吃掉草的部分為10平方公尺，即等於一個正三角形的一半，設圖中圓形面積是正六邊形的一半，圓形半徑是牽羊的繩長，這樣圓形的半徑，就是問題的答案。因此圓形面積＝r2π＝1/2×120π，即：
r2＝60
因此r＝7.75公尺
題三：
最少稱3次，將27個硬幣分3組，每組有9枚，第一次稱重可以確定假硬幣落在哪一組，然後再將有假硬幣那一組，再分成3組，每組有3個硬幣，稱第二次可確定在哪一組（這時每一組只有三個硬幣），最後將有假硬幣那一組，再分成三組（每組一個硬幣），就可找出假硬幣。
題四：
正方形有9個，三角形有23個。