逻辑、集合论，映像与函数（函数概念）江铭辉五梦网
函数定义
数学里面一种有用并且最普遍的观念，就是函数（Function），Function这个英文字，就是“功能”的意思，譬如警察局的Function就是防止犯罪，起重机的Function，就是吊起重物。但是数学的函数（Function）是什么？在没有讨论函数和映像关系之前，我们把目前有关函数最普遍的定义叙述如下：
函数定义：若有集合A中之每一个元素，恰有B集合中之一元素以某一种方法与之对应，则此对应称为A映至B的函数。函数一般以f、g……来表示，A中之每一个元素以x来表示，B集合中之一元素以f(x) 来表示。f(x)称为像，A集合称为定义域（domain），所有“像”的集合称为值域（range）。
函数和映像的区别
从映像与函数二个定义，我们发现二者很类似，但仔细读发现函数多了“以某一种方法与之对应”，这就是英文Function（函数）与Mapping（映像）不同的地方。映像只讲A集合对映到B集合，但没有一个法则告诉我们如何对应。譬如映射讲到{自然数}映射到{偶数}时，它只列出0→0；1→2；2→4……等等，没有一个准则，但函数就将准则告诉我们，它会说：将{自然数}映射到{偶数}，同时n→2n。
又如班上某次数学成绩，老师成绩表只列张三→及格（80分）；李四→不及格（65分）；王五→不及格（30分）；赵六→及格（90分）……。这个A集合（张三；李四；王五；……）映至B集合（及格、不及格）称为映射，但如果老师在二集合的关系型子加上70分以上及格；70分以下不及格，这二集合的关联便成函数，因此我们可以说：有某一种有对应准则的映像，称为函数。
函数可比作自动贩卖机
有人把函数当成自动贩卖机，A集合是金钱，15元、20元、25元、………等，B集合是自动贩卖机里的贩卖物品如罐装的可口可乐（标示价15元）、蓝山咖啡（标示价20元）、小型芭比娃娃（标示价25元）……等等，自动贩卖机就是函数，当你投入15元时，经过函数（自动贩卖机）判断，像元素（可口可乐）就跑出来。（图）
图：函数犹如自动贩卖机
也有人将函数视为一种制造产品的机械，将原料（面粉）从顶端投入则其产品（面包）就从底部跑出来。（图）
图：函数如同制造产品的机械。
合成函数
函数的加、减、乘、除比较简单譬如：f(x)＝5x；g(x)＝6，则f(x)乘以g(x)是f(x). g(x)＝30x。很容易懂，我现在就不再赘述。我们现在所要讲的是函数的合成运算，二函数的合成，其基本概念是连锁反应，即先产生一个函数，接着再产生另一个函数。例如纵火者点下汽油（第一个函数），汽油再将整遍房屋烧毁（第二个函数），我们一数学实例来说：
设函数f：x→3x－1，函数g：x→2x2
若将二函数结合起来，先将f再g即g(f(x))，结果如何？
假设x＝4，则f(4)＝11，那么g(f(4)＝242。
一般g(f(x) 是首先将一数x带入f(x)，然后再将它的结果带入gf(x)，此种函数x→g(f(x))，即称f与g的合成函数，记为gf。
合成函数的二个函数（f与g）的合成先后次序很重要，像上例，同样用x＝4，gf与fg不同。g(f(4))＝242，但f(g(4))呢？先求g(4)＝32，再带入f(g(4))＝f(32))＝95，二者显然不同。在自然界符合交换律的事物虽然很多譬如2＋3＝3＋2，但亦有很多事物是无法使用交换律的。譬如先将子弹装入手鎗，再对自己开鎗，与先对自己开鎗，再装子弹，二者结果显然不同，这是交换律不适用的例子。
今将上列二种合成函数的过程图标如下；即x→g(f(x)记为gf，将x→f(g(x)记为fg。
图：gf（左图）与fg（右图）
请注意，fg并不是f与g二函数的乘积，如果二函数的乘积，必须写成f.g，中间以一点表是相乘，例如f.g(4)＝f(4).g(4)＝352
因此f.g(x)＝f(x).g(x)＝6x3－2x2
gf(x)＝g(f(x))＝g(3x－1)＝2×(3x－1)2
fg(x)＝f(2x2)＝6x2-1
一对一函数
设f为由A映至B的函数，即f：A→B。
若a、b是A集合中的二元素，且f (a)＝f(b)，则a＝b，称此函数一对一函数。
例如：f：x→x＋3，为一对一函数，因为f (x)＝f(y)，则x＝y。
但g：z2＋2不是一对一函数，因为g(－1)=g(＋1)＝3，但－1却与＋1不等。
反函数
一函数能将x原料产生y物品，同时另有一函数能将y物品复原为x原料，有这样性值称为反函数。譬如银行，它有二种机制，一种是将总数换成零钱，譬如将一张千元钞票换成十张百元钞票，也可将十张的百元钞票换成一张千元钞票，某人拿一张千元钞票在A银行换成十张百元钞票，就到BA银行换成十张百元钞票换回一张千元钞票，这二银行就是互为反函数，也就是反机制。有些函数并没有反函数的功能，譬如我们前面所讲的自动贩卖机就是，某人投了15元，买了一罐可口可乐，当自动贩卖机跑出可口可乐时，他已经没有后悔的余地，因为自动贩卖机并没有可逆的功能，在世界上没有可逆的事件很多，最简单的是你烧了一壶热滚滚的开水，放在空气中，你只能眼睁睁看它逐渐冷却，它绝不会再变成热滚滚的开水。
闲话少说，我们将问题放回数学上，假设f为函数x→x＋3，g为函数x－3，f的变化是每次加3；g的变化是每次减3，其关系刚好相反，
则：gf(x)＝g(x+3)= (x+3)－3= x
同理：
fg(x)=f(x－3)= (x－3)+3= x
因此将x投入gf)或fg机械里，出来的产品仍然是x。
稍微复杂一点的例子如：f：x→2x－3；g：x→（x＋3）/2
则：gf(x)＝g(2x－3)=[ (2x－3)＋3]/2= x
同理：
fg(x)=f(（x＋3）/2)=2[(x＋3)/2]－3= x
具有上述性质的二函数，称为反函数（inverse function）
反函数定义
f与g如果是被称作反函数，它们具有下列关系：＝
对于每一g之定义域内之元素x，fg(x)＝ x，且对于每一f之定义域内之元素y，gf(y) ＝y，则f与g称互为反函数。
反函数的符号
f之反函数可记为f－1，即g＝f－1，同理f＝g－1
表达式为：
(f－1)－1＝g－1＝f；(g－1)－1＝f－1＝g
反函数的三个定理
定理一：设A、B为二集合，而f为从A映至B之函数，若f为可逆，则f为一对一函数。
定理二：设A、B为二集合，而f为从A映至B之函数，若f为一对一函数，则f为可逆，。
定理三：设A、B为二集合，而f为从A映至B之函数，若f为可逆，则恰有一反函数。