邏輯、集合論，映射與函數（函數概念）江銘輝 五夢網
函數定義
數學裡面一種有用並且最普遍的觀念，就是函數（Function），Function這個英文字，就是“功能” 的意思，譬如警察局的Function就是防止犯罪，起重機的Function，就是吊起重物。但是數學的函數（Function）是什麼？在沒有討論函數和映射關係之前，我們把目前有關函數最普遍的定義敘述如下：
函數定義：若有集合A中之每一個元素，恰有B集合中之一元素以某一種方法與之對應，則此對應稱為A映至B的函數。函數一般以f、g……來表示，A中之每一個元素以x來表示，B集合中之一元素以f(x) 來表示。f(x)稱為像，A集合稱為定義域（domain），所有“像”的集合稱為值域（range）。
函數和映射的區別
從映射與函數二個定義，我們發現二者很類似，但仔細讀發現函數多了“以某一種方法與之對應”，這就是英文Function（函數）與Mapping（映射）不同的地方。映射只講A集合對映到B集合，但沒有一個法則告訴我們如何對應。譬如映射講到{自然數}映射到{偶數}時，它只列出0→0；1→2；2→4……等等，沒有一個準則，但函數就將準則告訴我們，它會說：將{自然數}映射到{偶數}，同時n→2n。
又如班上某次數學成績，老師成績表只列張三→及格（80分）；李四→不及格（65分）；王五→不及格（30分）；趙六→及格（90分）……。這個A集合（張三；李四；王五；……）映至B集合（及格、不及格）稱為映射，但如果老師在二集合的關聯式子加上70分以上及格；70分以下不及格，這二集合的關聯便成函數，因此我們可以說：有某一種有對應準則的映射，稱為函數。
函數可比作自動販賣機
有人把函數當成自動販賣機，A集合是金錢，15元、20元、25元、………等，B集合是自動販賣機裡的販賣物品如罐裝的可口可樂（標示價15元）、藍山咖啡（標示價20元）、小型芭比娃娃（標示價25元）……等等，自動販賣機就是函數，當你投入15元時，經過函數（自動販賣機）判斷，像元素（可口可樂）就跑出來。（圖）
圖：函數猶如自動販賣機
也有人將函數視為一種製造產品的機械，將原料（麵粉）從頂端投入則其產品（麵包）就從底部跑出來。（圖）
圖：函數如同製造產品的機械。
合成函數
函數的加、減、乘、除比較簡單譬如：f(x)＝5x；g(x)＝6，則f(x)乘以g(x)是f(x). g(x)＝30x。很容易懂，我現在就不再贅述。我們現在所要講的是函數的合成運算，二函數的合成，其基本概念是連鎖反應，即先產生一個函數，接著再產生另一個函數。例如縱火者點下汽油（第一個函數），汽油再將整遍房屋燒毀（第二個函數），我們一數學實例來說：
設函數f：x→3x－1，函數g：x→2x2
若將二函數結合起來，先將f再g即g(f(x))，結果如何？
假設x＝4，則f(4)＝11，那麼g(f(4)＝242。
一般g(f(x) 是首先將一數x帶入f(x)，然後再將它的結果帶入gf(x)，此種函數x→g(f(x))，即稱f與g的合成函數，記為gf。
合成函數的二個函數（f與g）的合成先後次序很重要，像上例，同樣用x＝4，gf與fg不同。g(f(4))＝242，但f(g(4))呢？先求g(4)＝32，再帶入f(g(4))＝f(32))＝95，二者顯然不同。在自然界符合交換律的事物雖然很多譬如2＋3＝3＋2，但亦有很多事物是無法使用交換律的。譬如先將子彈裝入手鎗，再對自己開鎗，與先對自己開鎗，再裝子彈，二者結果顯然不同，這是交換律不適用的例子。
今將上列二種合成函數的過程圖示如下；即x→g(f(x)記為gf，將x→f(g(x)記為fg。
圖：gf（左圖）與fg（右圖）
請注意，fg並不是f與g二函數的乘積，如果二函數的乘積，必須寫成f.g，中間以一點表是相乘，例如f.g(4)＝f(4).g(4)＝352
因此f.g(x)＝f(x).g(x)＝6x3－2x2
gf(x)＝g(f(x))＝g(3x－1)＝2×(3x－1)2
fg(x)＝f(2x2)＝6x2-1
一對一函數
設f為由A映至B的函數，即f：A→B。
若a、b是A集合中的二元素，且f (a)＝f(b)，則a＝b，稱此函數一對一函數。
例如：f：x→x＋3，為一對一函數，因為f (x)＝f(y)，則x＝y。
但g：z2＋2不是一對一函數，因為g(－1)=g(＋1)＝3，但－1卻與＋1不等。
反函數
一函數能將x原料產生y物品，同時另有一函數能將y物品復原為x原料，有這樣性值稱為反函數。譬如銀行，它有二種機制，一種是將總數換成零錢，譬如將一張千元鈔票換成十張百元鈔票，也可將十張的百元鈔票換成一張千元鈔票，某人拿一張千元鈔票在A銀行換成十張百元鈔票，就到BA銀行換成十張百元鈔票換回一張千元鈔票，這二銀行就是互為反函數，也就是反機制。有些函數並沒有反函數的功能，譬如我們前面所講的自動販賣機就是，某人投了15元，買了一罐可口可樂，當自動販賣機跑出可口可樂時，他已經沒有後悔的餘地，因為自動販賣機並沒有可逆的功能，在世界上沒有可逆的事件很多，最簡單的是你燒了一壺熱滾滾的開水，放在空氣中，你只能眼睜睜看它逐漸冷卻，它絕不會再變成熱滾滾的開水。
閒話少說，我們將問題放回數學上，假設f為函數x→x＋3，g為函數x－3，f的變化是每次加3；g的變化是每次減3，其關係剛好相反，
則：gf(x)＝g(x+3)= (x+3)－3= x
同理：
fg(x)=f(x－3)= (x－3)+3= x
因此將x投入gf)或fg機械裡，出來的產品仍然是x。
稍微複雜一點的例子如：f： x→2x－3；g：x→（x＋3）/2
則：gf(x)＝g(2x－3)=[ (2x－3)＋3]/2= x
同理：
fg(x)=f(（x＋3）/2)=2[(x＋3)/2]－3= x
具有上述性質的二函數，稱為反函數（inverse function）
反函數定義
f與g如果是被稱作反函數，它們具有下列關係：＝
對於每一g之定義域內之元素x，fg(x)＝ x，且對於每一f之定義域內之元素y，gf(y) ＝y，則f與g稱互為反函數。
反函數的符號
f之反函數可記為f－1，即g＝f－1，同理f＝g－1
運算式為：
(f－1)－1＝g－1＝f；(g－1)－1＝f－1＝g
反函數的三個定理
定理一：設A、B為二集合，而f為從A映至B之函數，若f為可逆，則f為一對一函數。
定理二：設A、B為二集合，而f為從A映至B之函數，若f為一對一函數，則f為可逆，。
定理三：設A、B為二集合，而f為從A映至B之函數，若f為可逆，則恰有一反函數。