逻辑、集合论，映像与函数（集合浅论）江铭辉五梦网
一、集合是无定义名辞
集合是一个直觉的观念，是无法用语言形容，它犹如几何学中之点、线、面，属于无定义名辞。不过为了方便起见，我们把集合想象一堆东西聚集在一起。这群东西的组成分子称为元素(element)。元素可为任何东西，可以是数、可以是字母、可以是人名，可以是花草、……等等。换言之它可以是一推相同的事物聚在一起，也可以是一堆不同的东西聚在一起。集合的元素可以是有限个，也可以是无限个。
1. 符号：
、{}。
集合通常用是用大写的字母来表示，如A、B、C，有些特殊的集合可以直接用文字叙述，例如：所有整数的集合、所有偶数的集合。
用{}表示该集合的元素，例如：1到10整数的集合是{1、2、3……10}
用 表示元素与集合的相属关系，例如：
A＝{1、2、3……10}
1 A，即1属于A
－3
A，即－3不属于A
2. 空集合（empty set）与宇集合（universal set）
空集合：不包括任何元素的集合，称为空集合，以符号{}或Ф来表示。例如：所有会生孩子的男人的集合。
问题所讨论的全部元素称为宇集合，以U来表示。例如所有小写英文字母的宇集合，U＝{a、b、c、……x、y、z}
3. 子集合(subset)
若有二集合A和B，A内所有元素均包括在B内，则A称为B的子集合。以A
B表示。
由上述定义，我们知道空集合是任意集合的子集合。
4. 真集合或正集合（proper set）
如果A是B的子集合，但A不等于B，也就是说A的元素小于B，则称A是B的真集合。以符号A
B表示。
例如：A＝{1、2、3}；B＝{1、2、3、4、5}
5. 幕集合 (power set)
集合的元素不只是单纯一件事物，有时候也可以包含一个集合，例如：A＝{1、2}；B＝{4、5、{1、2}}，很明显地，A集合是B集合的一个元素。
若S是一个集合，则由S的所有子集合所组成的集合，称为S的幕集合。以符号2S来表示
譬如：S＝{1、2、3}，S的一切子集合有：Ф、{1}、{2}、{3}、{1、2}、{1、3}、{2、3}、{1、2、3}共8个，所以2S＝{Ф、{1}、{2}、{3}、{1、2}、{1、3}、{2、3}、{1、2、3}}
我们所以把S的幕集合写成2S，是因为2S（S幕集合）的元素数目是S集合元素数字的2S。
6. 余集合（complement）
若A是集合，U讨论到A集合的宇集合，则一切属于U，而不属于A集合，称为A的余集合，以符号A’表示。例如：U＝{－1、0、1}；A＝{0}，则A’＝{－1、1}。
二、集合的运算
1. A与B的联集（Union）
A与B的联集，以符号A∪B表示，A与B的联集是一切属于A与B集合内的元素所组成的集合。例如：A＝{0、1、2}；B＝{2、3、5}，则A∪B＝{0、1、2、3、5}
由上述定义，可知：A∪B＝B∪A ；A A∪B；B A∪B。
2. A与B的交集（Intersection）
A与B的交集，以符号A∩B表示，A与B的交集是指同时属于A和B的元素所组成的集合。A＝{0、1、2}；B＝{2、3、5}，则A∩B＝{2}
3. A与B的差集（Difference）
二集合A与B的差集乃属于A，但不属于B之一切元素，所组成，以A－B表示之。例如：A＝{一切实数}；B＝{一切有理数} ，则A－B＝{一切无理数}
三、文氏图或范氏图（Venn Diagrams）
1. 约翰文（John Venn，1834~1923）是一位致力于逻辑发展的英国人，他于1859年开始担任牧师，24年后辞职，专心致力于逻辑的研究和教学。1881年他出版一本「符号逻辑」的书，书中他用图形表示逻辑原理，瑞士数学家欧拉（Leonard Euler）也曾用图形表示逻辑原理，但据说约翰文才是此方面推广的开山鼻祖，因此我们通常称用图形表示逻辑原理叫文氏图或范氏图。
2. 下面是用文氏图表是联集、交集、差集和余集的文氏图。
(1) A∪B 图(a)、(b)、(c)：蓝色部分
(2) A∩B 图(a)、(b)、(c) ：蓝色部分
(3)A－B图(a)、(b)、(c) ：蓝色部分
(4)A’图（a）、(A∪B)’ 图（b）、(A∩B)’ 图（c）、(A－B)’ 图（d）
四、重要定律一览表
下面把一些重要的集合定律列出，作为往后读者碰到此类问题的参考。
1. A∪A＝A
2. A∩A＝A
3. A∪U＝U
4. A∩U＝A
5. A∪Ф＝A
6. A∩Ф＝Ф
7. A∪B＝B∪A
8. A∩B＝B∩A
9. A∪(B∪C)＝(A∪B)∪C
10. A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C
11. A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) (分配律)
12. A∩(B∪C)＝(A∩B) ∪(A∩C) (分配律)
13. A∪A’＝ U
14. A∩A’＝Ф
15. (A∪B)’＝A’∩ B’(狄摩根律)
16. (A∩B)’＝A’∪ B’(狄摩根律)
17. (A’)’＝A
18. U’＝Ф
19. Ф’＝U
20. U－A＝A’
21. A－U＝Ф
22. A－Ф＝A
23. Ф－A＝Ф
24. A－A＝Ф
25. A－B＝A∩B’
26. (A－B)－C＝A－(B∪C)＝A∩(B∪C)’＝A∩(B’∩C’)＝(A∩B’)∩C’
27. A－(B－C)＝A∩(B－C)’＝A∩(B∩C’)’＝A∩(B’∪C)＝(A∩B’)∪(A∩C)＝(A－B)∪(A∩C)
28. A∪（B-C）＝(A∪B)－(C－A)
29. A∩(B－C)＝(A∩B)－(A∩C)