邏輯、集合論，映射與函數（集合淺論） 江銘輝五夢網
一、集合是無定義名辭
集合是一個直覺的觀念，是無法用語言形容，它猶如幾何學中之點、線、面，屬於無定義名辭。不過為了方便起見，我們把集合想像一堆東西聚集在一起。這群東西的組成分子稱為元素(element)。元素可為任何東西，可以是數、可以是字母、可以是人名，可以是花草、……等等。換言之它可以是一推相同的事物聚在一起，也可以是一堆不同的東西聚在一起。集合的元素可以是有限個，也可以是無限個。
1. 符號：
、{}。
集合通常用是用大寫的字母來表示，如A、B、C，有些特殊的集合可以直接用文字敘述，例如：所有整數的集合、所有偶數的集合。
用{}表示該集合的元素，例如：1到10整數的集合是{1、2、3……10}
用 表示元素與集合的相屬關係，例如：
A＝{1、2、3……10}
1 A，即1屬於A
－3
A，即－3不屬於A
2. 空集合（empty set）與宇集合（universal set）
空集合：不包括任何元素的集合，稱為空集合，以符號{}或Ф來表示。例如：所有會生孩子的男人的集合。
問題所討論的全部元素稱為宇集合，以U來表示。例如所有小寫英文字母的宇集合，U＝{a、b、c、……x、y、z}
3. 子集合(subset)
若有二集合A和B，A內所有元素均包括在B內，則A稱為B的子集合。以A
B表示。
由上述定義，我們知道空集合是任意集合的子集合。
4. 真集合或正集合（proper set）
如果A是B的子集合，但A不等於B，也就是說A的元素小於B，則稱A是B的真集合。以符號A
B表示。
例如：A＝{1、2、3}；B＝{1、2、3、4、5}
5. 幕集合 (power set)
集合的元素不只是單純一件事物，有時候也可以包含一個集合，例如：A＝{1、2}；B＝{4、5、{1、2}}，很明顯地，A集合是B集合的一個元素。
若S是一個集合，則由S的所有子集合所組成的集合，稱為S的幕集合。以符號2S來表示
譬如：S＝{1、2、3}，S的一切子集合有：Ф、{1}、{2}、{3}、{1、2}、{1、3}、{2、3}、{1、2、3}共8個，所以2S＝{Ф、{1}、{2}、{3}、{1、2}、{1、3}、{2、3}、{1、2、3}}
我們所以把S的幕集合寫成2S，是因為2S（S幕集合）的元素數目是S集合元素數字的2S。
6. 餘集合（complement）
若A是集合，U討論到A集合的宇集合，則一切屬於U，而不屬於A集合，稱為A的餘集合，以符號A’表示。例如：U＝{－1、0、1}；A＝{0}，則A’＝{－1、1}。
二、集合的運算
1. A與B的聯集（Union）
A與B的聯集，以符號A∪B表示，A與B的聯集是一切屬於A與B集合內的元素所組成的集合。例如：A＝{0、1、2}；B＝{2、3、5}，則A∪B＝{0、1、2、3、5}
由上述定義，可知：A∪B＝B∪A ；A A∪B；B A∪B。
2. A與B的交集（Intersection）
A與B的交集，以符號A∩B表示，A與B的交集是指同時屬於A和B的元素所組成的集合。A＝{0、1、2}；B＝{2、3、5}，則A∩B＝{2}
3. A與B的差集（Difference）
二集合A與B的差集乃屬於A，但不屬於B之一切元素，所組成，以A－B表示之。例如：A＝{一切實數}；B＝{一切有理數} ，則A－B＝{一切無理數}
三、文氏圖或范氏圖（Venn Diagrams）
1. 約翰文（John Venn，1834~1923）是一位致力於邏輯發展的英國人，他於1859年開始擔任牧師，24年後辭職，專心致力於邏輯的研究和教學。1881年他出版一本「符號邏輯」的書，書中他用圖形表示邏輯原理，瑞士數學家歐拉（Leonard Euler）也曾用圖形表示邏輯原理，但據說約翰文才是此方面推廣的開山鼻祖，因此我們通常稱用圖形表示邏輯原理叫文氏圖或范氏圖。
2. 下面是用文氏圖表是聯集、交集、差集和餘集的文氏圖。
(1) A∪B 圖(a)、(b)、(c)： 藍色部分
(2) A∩B 圖(a)、(b)、(c) ： 藍色部分
(3)A－B圖(a)、(b)、(c) ： 藍色部分
(4)A’圖（a）、(A∪B)’ 圖（b）、(A∩B)’ 圖（c）、(A－B)’ 圖（d）
四、重要定律一覽表
下面把一些重要的集合定律列出，作為往後讀者碰到此類問題的參考。
1. A∪A＝A
2. A∩A＝A
3. A∪U＝U
4. A∩U＝A
5. A∪Ф＝A
6. A∩Ф＝Ф
7. A∪B＝B∪A
8. A∩B＝B∩A
9. A∪(B∪C)＝(A∪B)∪C
10. A∩(B∩C)＝(A∩B)∩C
11. A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) (分配律)
12. A∩(B∪C)＝(A∩B) ∪(A∩C) (分配律)
13. A∪A’＝ U
14. A∩A’＝ Ф
15. (A∪B)’＝A’∩ B’(狄摩根律)
16. (A∩B)’＝A’∪ B’(狄摩根律)
17. (A’)’＝A
18. U’＝Ф
19. Ф’＝U
20. U－A＝A’
21. A－U＝Ф
22. A－Ф＝A
23. Ф－A＝Ф
24. A－A＝Ф
25. A－B＝A∩B’
26. (A－B)－C＝A－(B∪C)＝A∩(B∪C)’＝A∩(B’∩C’)＝(A∩B’)∩C’
27. A－(B－C)＝A∩(B－C)’＝A∩(B∩C’)’＝A∩(B’∪C)＝(A∩B’)∪(A∩C)＝(A－B)∪(A∩C)
28. A∪（B-C）＝(A∪B)－(C－A)
29. A∩(B－C)＝(A∩B)－(A∩C)