请问下图P1Q1＋P2Q2＋P3Q3＋……的解？江铭辉五梦网
如图，PiQi⊥AB；QiPi＋1⊥AP1；A P1＝2
请问下图P1Q1＋P2Q2＋P3Q3＋……的解？
1. 标准解答：
P1B＝tan 30°× AP1＝2 tan 30°；
P1Q1＝sin 60°×BP1 ＝cos30°×BP1＝cos30°×2 tan 30°＝2 sin 30°＝1
P2Q2＝P2Q1 ×sin 60°＝P1Q1×sin 60°×sin 60°（P2Q1＝P1Q1×sin 60°）＝
1×3/4＝3/4
同样地，P3Q3＝（3/4）2，这样一直计算下去，
得PiQi＝（3/4）i-1。
因此P1Q1＋P2Q2＋P3Q3＋……＝1 ＋3/4＋（3/4）2＋……＋（3/4）i-1＋……
代入等比列数和的公式则
P1Q1＋P2Q2＋P3Q3＋……＝[1－(3/4)n] / [1 －(3/4)]
当n趋近于无穷大时，(3/4)n 趋近于零，
因此P1Q1＋P2Q2＋P3Q3＋……＝4
2. 另解
如图将P1Q1延长，作一个直角三角形，则其斜边P1C就是我们要求的总和。
图：另类解法
因为P1C＝P1Q1＋Q1Q'2＋Q'2 Q'3＋……
且P2Q2 Q'2 Q1是棱形，所以
P2Q2＝Q1Q'2
P3Q3＝Q'2 Q'3
因此P1C＝P1Q1＋Q1Q'2＋Q'2 Q'3＋……＝P1Q1＋P2Q2＋P3Q3＋……
斜边P1C＝AP1 /sin 30°＝4