請問下圖P1Q1＋P2Q2＋P3Q3＋……的解？ 江銘輝五夢網
如圖，PiQi⊥AB；QiPi＋1⊥AP1；A P1＝2
請問下圖P1Q1＋P2Q2＋P3Q3＋……的解？
1. 標準解答：
P1B＝tan 30°× AP1＝2 tan 30°；
P1Q1＝sin 60°× BP1 ＝cos30°×BP1＝cos30°×2 tan 30°＝2 sin 30°＝1
P2Q2＝P2Q1 × sin 60°＝P1Q1×sin 60°×sin 60°（P2Q1＝P1Q1×sin 60°）＝
1×3/4＝3/4
同樣地，P3Q3＝（3/4）2，這樣一直計算下去，得
PiQi＝（3/4）i-1。
因此P1Q1＋P2Q2＋P3Q3＋……＝1 ＋3/4＋（3/4）2＋……＋（3/4）i-1＋……
代入等比列數和的公式則
P1Q1＋P2Q2＋P3Q3＋……＝[1－(3/4)n] / [1 －(3/4)]
當n趨近於無窮大時，(3/4)n 趨近於零，
因此P1Q1＋P2Q2＋P3Q3＋……＝4
2. 另解
如圖將P1Q1延長，作一個直角三角形，則其斜邊P1C就是我們要求的總和。
圖：另類解法
因為P1C＝P1Q1＋Q1Q'2＋Q'2 Q'3＋……
且P2Q2 Q'2 Q1是稜形，所以
P2Q2＝Q1Q'2
P3Q3＝Q'2 Q'3
因此P1C＝P1Q1＋Q1Q'2＋Q'2 Q'3＋……＝P1Q1＋P2Q2＋P3Q3＋……
斜邊P1C＝AP1 /sin 30°＝4