逻辑、集合论，映像与函数（逻辑浅论） 江铭辉 五梦网
一、 逻辑浅论
1.叙述
叙述通常以小写字母p、q、r等表示之。吾人所谓之叙述，有一基本之性质，即叙述的内容可判断真或假，但不能既真又假。叙述之真、假称为该叙述之真值（Truth Value）。
有些叙述一定为是正确者，此种叙述称为公理(axioms);另外有些叙述经由证明后，方可确定其为正确者，此种叙述称为定理(Theorems)。
例如 :
"2为一自然数"为一叙述;因我们可判断其为真也。
"你贵姓?"不是一个叙述，因我们无法判断它是真或是假。
"若m为一奇数，则m2为一奇数" 为一叙述，因我们可证其为真也。
"4+3=6" 为一叙述，因我们知其为假也。
2.合成叙述
有些叙述是由1个以上的叙述合成者，称为合成叙述，通常以“且（and）”、“或（or）”、“非（not）”、“若…则（if）”、“若且唯若（if and only if）”、“意指（imply）”……等字连结二个叙述。
一合成叙述之真、假，可由其每一子叙述之真、假值及连接方式决定。
在合成叙述分析中，我们经常使用简单的符号来表示，下列是我们经常使用的符号。
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名辞
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符号
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单一叙述
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p、q、r、s
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且
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Λ
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或
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V
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意指（若p，则q）
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→
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若且唯若
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↹
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非
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～
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3.联合叙述
二叙述用"且"字连结而形成的叙述，即pΛq。
pΛq的真、假值满足下列性质:
"若p、q均为真，则pΛq为真;若其中有一个是假，则pΛq为假"。我们将此归纳为下表:
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p
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q
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pΛq
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真
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真
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真
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真
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假
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假
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假
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真
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假
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假
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假
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假
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注：形式如上表者，称为真值表（Truth table）
例1：
若p是"4+4=8"； q是"5≧2" 则 pΛq是"4+4=8"且"5≧2"，因为p是真；q也是真，所以pΛq是真。
例2：
若p是"5为实数"； q是"4为奇数" 则 pΛq是"5为实数"且"4为奇数"，因为p是真；q是假，所以pΛq是假。
4.分离叙述(disjunction)
任二叙述可用"或"字连结，称为分离叙述，通常以pVq表示。
"若p、q均为假，则pVq为假;若其中有一个是真，则pVq皆为真"。我们将此归纳为下列真值表:
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p
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q
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pVq
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真
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真
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真
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真
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假
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真
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假
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真
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真
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假
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假
|
假
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例1:
若p是"2为一有理数"；q是"4+3=8"，则
pVq 表示"0为一有埋数或4+3=8"。因为p是真，q是假，故由上表知pVq为真。
例2:
若p是"π为一有理数"；q是"5为一偶数"，则
pVq"为π为一有理数或5为一偶数"。又因p为假q亦为假，故由上表知pVq为假。
5.否定叙述(negation)
我们可于任一叙述之后加上"是假的"三字，以形成否定的叙述。
(可能的话，有时可于叙述内加上"非"字)。叙述p之否定叙述通常以符号 ~p
表示。~p之真、假值满足下性质:
“若p为真，则~p为假;若p为假，则~p为真”。换言之:否定叙述之真值永远与原叙述之真值相反。此亦可以下列真值表表之:
例1:
若p是“2为偶数”，则~p是“2为非偶数”，因此p是真，~p是假。
例2:
p是"3+3=3"，则~p是"3+3≠3"，因为p是假，所以~p是真。
6.函蕴叙述（implication statement）
对于若p则q.的形态，通常以p→q表示之; p称为假设、q称为推论。
p→q之真值表满足以下性质:
"若p为真，q为假，则p→q为假;其余p→q皆为真"。我们可归纳此性质为下列真值表:
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p
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q
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p→q
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真
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真
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真
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真
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假
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假
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假
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真
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真
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假
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假
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真
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例1 :
若P是"3+2＝5"；q是"3×2＝6"则p→q是“若3+2＝5则3×2＝6” P是真，且q也是真，按上面真值表，p→q也是真。
例2 :
若P是"3+2＝6"；q是"3×3＝9"则p→q是“若3+2＝6则3×3＝9” P是假，且q是真，按上面真值表，p→q也是真。
7.对等叙述(equivalent statement)
叙述如果以P若且仅若q，形式出现，通常以"P↹q"表之;此类叙述称为对等叙述。对等叙述满足下列性质:
若P、q有相同之真值，则P↹q为真;若P↹q之真值相反，则P↹q为假。我们可归纳为下列真值表:
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p
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q
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P↹q
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真
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真
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真
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真
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假
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假
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假
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真
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假
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假
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假
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真
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例 1 :
x为一正数若且仅若5x为正数，这里p是"x为正数"，q是"5x为一正数"二叙述之对等叙述。因为二叙述有相同之真值，故其合成对等叙述为真。
这里有一点我们要说明的，p和q是有关连性，p是真q也必定真，p是假q也必定假。
例2：
"2+2=4若且仅若2x2=3"为假;盖因2+1=3为真，而2X2=3为伪也。
8.从真值表看来，p→q与 ~pVq是对等，它们的真值表完全相同。
9.互斥闸（XOR gate）
互斥闸是用来执行XOR的逻辑运算，其真值表如下：
当p、q都是真或都是假的时，XOR的逻辑运算结果是“假”，但p、q有一个是假的，一个是真的，XOR的逻辑运算结果是“真”。
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p
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q
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pXOR q
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真
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真
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假
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真
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假
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真
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假
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针
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真
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假
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假
|
假
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