从穷竭法原理到刻卜勒与现代微积分 @ 數學

» 數學 2011-07-29 从穷竭法原理到刻卜勒与现代微积分

从穷竭法原理到刻卜勒与现代微积分 江铭辉 五梦网

一、 安提丰与穷竭法原理

安提丰（Antiphon）是古希腊数学家、天文学家、心理学家。在雅典讲学，为智人学派（Sophist School也称诡辩学派）的代表人物，他出生公元前480，死于公元前411年。

该学派兴起于公元前五世纪中叶，主要活动是教授青年人修辞、辩论、演说、政治等本领。由于其成员能言善辩，加上晚期智人流于诡辩，因此人们又称为诡辩学者。他的著作主要有：〈论真理〉（on Truth）、〈论和谐〉（On Concord）、〈政治家〉（The Statesman）、〈释梦〉（On Interpretation of Dreams）等。

他原先出身名门，父亲在雅典城邦有高贵的地位。但因为爱上家中一位美丽聪慧的女奴隶，被父亲赶出门，与女奴结婚，住在贫民窟，每日辛勤工作，日子虽然过得穷苦，但他自得其乐，反而觉得那种贵族式生活是可耻的。

安提丰生活于下层公民之中，自然了解他们的疾苦。尤其是当穷人与富人发生纠纷，对簿公堂时，法院总是偏袒富人，安提丰对此极为愤慨，他挺身而出，帮助穷人打官司。凭着他出色的辩才与精通的法律常识，迫使法庭依法判决穷人胜诉。很快，他就闻名全雅典城。

安提丰的经历使他认识到真理往往被那些权贵颠三倒四玩弄着，于是他决定写一本「论真理」的书来阐述此问题。在这本书中，他针对法庭的不公正现象讲述什么才是公正。所谓公正就是不欺侮别人，同时也不容许别人来欺侮你。

在数学方面，他发表了“穷竭法原理”，该原理是：假定一个正三角形，它内接于一圆，继之以更多的正多边形内接于该圆，每次边数都加倍（即正三边形、正六边形、正十二边形、正二十四边形等等），逐渐“逼尽”这个圆，则最后得一正多边形，它的边长极短，以致于和圆吻合（图1），根据这个论点，安提丰相信“圆可以被化为正方形”。这一结论虽然是不正确的，但“穷竭法”却极有价值，它给出一种求圆面积的近似法，是近代极限思想的雏形。尤多克萨斯

（Eudoxus of Cnidus）在提出穷竭法原理时，采纳了他的想法，阿基米得（Archimedes）也是利用这方法导出割圆术计算π值。

图1：正多边形边数愈增加愈接近于圆形

二、 刻卜勒与葡萄酒桶的体积计算

刻卜勒是十七世纪的名满天下的天文学他出生于1571年，死于1630年，公元1613年，他在家乡举行婚礼时，当时，奥地利所酿造的葡萄酒，一桶接一桶的堆满了整个多瑙河畔，因为太多了，业主以廉价出售葡萄酒。

因此，刻卜勒打算买来请族人大喝一顿。刻卜勒便向酒店订货:「我要一桶葡萄酒。」于是商人开始计算酒桶的体积。

刻卜勒在一旁看酒店老板计算酒桶的体积时，愈看愈不是滋味，他想:「这老板怎么计算得这么马虎呢？」

回家后，他边饮酒，边想酒桶体积的计算方式，企图理出一条头绪来。

经多日思考之后，克卜勒先生终于把他所想的结果，写了一

本「酒桶新立体几何」，这本书据说十分的畅销呢？

在书中，它引入微积分的无穷大和无穷小概念，指出：「圆是由无数个顶点在圆心的三角形构成的，圆周是由这些三角形的无穷小的底边构成」，这其实早在2千年前他的前辈“安提丰”就已提初，但他进一步用这个方法，将圆变成球，说：「球是由无限多个无限小的锥体所组成，锥的顶点是球的中心，底面构成球的表面」，从而指出球的体积是半径与球面积乘积的1/3，今日我们已知道球的体积是4/3πR³，球的表面积是4πR²，这证明刻卜勒的推论是正确的，他也将锥和柱看作是由无穷多个薄圆片或其他形状的垂直截面所成组，应用这种观点计算其体积，他总共讨论了90多种各类体积问题。

三、 现代微积分

说到微积分的前辈，上述二人只不过众多星星之中的二颗恒星，其实有无穷大、无穷小等概念的人也不少，诸如：阿基米得（Archimedes）、德模克利塔斯（Democritus of Abder）……等等。连微积分的发明人也闹出双胞案。微积分是在17世纪由英国人牛顿及德国人莱布尼兹同时发明的。

但萊布尼茲發明的微積分與牛頓的微積分有些不同：

第一：牛頓的微積分是從運動學的觀點出發，而萊布尼茲的微積分則從幾何角度去考量。

第二：萊布尼茲的微積分符號被大量的現代數學家採用，而牛頓的微積分符號僅有少數使用在物理學上。

第三：萊布尼茲於1684年發表世界上第一篇微積分論文，而牛頓雖然於1665年就發現微積分，不過沒有發表，此事引發18世紀大陸學派和英國學派正為「誰是微積分的發明者？而爭論不休。」

萊布尼茲是在1673~1676年發明微積分的（據說他於1673年在倫敦逗留三個月，也是引起英國學派懷疑他抄襲牛頓微積分的爭論）。1675年10月29日，他一次用拉長的大寫S字母（拉丁自Summa第一個字母），表示積分，幾周之後，他寫出了∫ ydx，∫ ydx 這樣的積分符號。直到1684年他才發表第一篇微積分的論文。在這篇論文他引用dx，dy作為任意有限區間，此處的d是differential的意思。他更進一步將dx/dy定為兩個無窮小相除的商。在我們的微積分學中有許多基本原則是萊布尼茲推出的，例如：萊布尼茲法則（Leibniz' Rule ）：

如果y = u(x)v(x)，則對於x的n階導數為：

由於萊布尼茲所創的微積分符號（dx/dy，∫）優於牛頓的符號（），所以他的微積分在歐洲大陸迅速傳開，第一本微積分課本是1696洛必達（Marquis de L’Hospital）寫的，書名是＜闡明曲線的無窮小分析＞。