從窮竭法原理到刻卜勒與現代微積分 江銘輝 五夢網
一、 安提豐與窮竭法原理
安提豐（Antiphon）是古希臘數學家、天文學家、心理學家。在雅典講學，為智人學派（Sophist School也稱詭辯學派）的代表人物，他出生西元前480，死於西元前411年。
該學派興起於西元前五世紀中葉，主要活動是教授青年人修辭、辯論、演說、政治等本領。由於其成員能言善辯，加上晚期智人流於詭辯，因此人們又稱為詭辯學者。他的著作主要有：〈論真理〉（on Truth）、〈論和諧〉（On Concord）、〈政治家〉（The Statesman）、〈釋夢〉（On Interpretation of Dreams）等。
他原先出身名門，父親在雅典城邦有高貴的地位。但因為愛上家中一位美麗聰慧的女奴隸，被父親趕出門，與女奴結婚，住在貧民窟，每日辛勤工作，日子雖然過得窮苦，但他自得其樂，反而覺得那種貴族式生活是可恥的。
安提豐生活於下層公民之中，自然瞭解他們的疾苦。尤其是當窮人與富人發生糾紛，對簿公堂時，法院總是偏袒富人，安提豐對此極為憤慨，他挺身而出，幫助窮人打官司。憑著他出色的辯才與精通的法律常識，迫使法庭依法判決窮人勝訴。很快，他就聞名全雅典城。
安提豐的經歷使他認識到真理往往被那些權貴顛三倒四玩弄著，於是他決定寫一本「論真理」的書來闡述此問題。在這本書中，他針對法庭的不公正現象講述什麼才是公正。所謂公正就是不欺侮別人，同時也不容許別人來欺侮你。
在數學方面，他發表了“窮竭法原理”，該原理是：假定一個正三角形，它內接於一圓，繼之以更多的正多邊形內接於該圓，每次邊數都加倍（即正三邊形、正六邊形、正十二邊形、正二十四邊形等等），逐漸“逼盡”這個圓，則最後得一正多邊形，它的邊長極短，以致於和圓吻合（圖1），根據這個論點，安提豐相信“圓可以被化為正方形”。這一結論雖然是不正確的，但“窮竭法”卻極有價值，它給出一種求圓面積的近似法，是近代極限思想的雛形。尤多克薩斯
（Eudoxus of Cnidus）在提出窮竭法原理時，採納了他的想法，阿基米德（Archimedes）也是利用這方法導出割圓術計算π值。
圖1：正多邊形邊數愈增加愈接近於圓形
二、 刻卜勒與葡萄酒桶的體積計算
刻卜勒是十七世紀的名滿天下的天文學他出生於1571年，死於1630年，西元1613年，他在家鄉舉行婚禮時，當時，奧地利所釀造的葡萄酒，一桶接一桶的堆滿了整個多瑙河畔，因為太多了，業主以廉價出售葡萄酒。
因此，刻卜勒打算買來請族人大喝一頓。刻卜勒便向酒店訂貨:「我要一桶葡萄酒。」於是商人開始計算酒桶的體積。
刻卜勒在一旁看酒店老闆計算酒桶的體積時，愈看愈不是滋味，他想:「這老闆怎麼計算得這麼馬虎呢？」
回家後，他邊飲酒，邊想酒桶體積的計算方式，企圖理出一條頭緒來。
經多日思考之後，克卜勒先生終於把他所想的結果，寫了一
本「酒桶新立體幾何」，這本書據說十分的暢銷呢？
在書中，它引入微積分的無窮大和無窮小概念，指出：「圓是由無數個頂點在圓心的三角形構成的，圓周是由這些三角形的無窮小的底邊構成」，這其實早在2千年前他的前輩“安提豐”就已提初，但他進一步用這個方法，將圓變成球，說：「球是由無限多個無限小的錐體所組成，錐的頂點是球的中心，底面構成球的表面」，從而指出球的體積是半徑與球面積乘積的1/3，今日我們已知道球的體積是4/3πR3，球的表面積是4πR2，這證明刻卜勒的推論是正確的，他也將錐和柱看作是由無窮多個薄圓片或其他形狀的垂直截面所成組，應用這種觀點計算其體積，他總共討論了90多種各類體積問題。
三、 現代微積分
說到微積分的前輩，上述二人只不過眾多星星之中的二顆恆星，其實有無窮大、無窮小等概念的人也不少，諸如：阿基米得（Archimedes）、德模克利塔斯（Democritus of Abder）……等等。連微積分的發明人也鬧出雙胞案。微積分是在17世紀由英國人牛頓及德國人萊布尼茲同時發明的。
萊布尼茲發明的微積分與牛頓的微積分有些不同：
第一：牛頓的微積分是從運動學的觀點出發，而萊布尼茲的微積分則從幾何角度去考量。
第二：萊布尼茲的微積分符號被大量的現代數學家採用，而牛頓的微積分符號僅有少數使用在物理學上。
第三：萊布尼茲於1684年發表世界上第一篇微積分論文，而牛頓雖然於1665年就發現微積分，不過沒有發表，此事引發18世紀大陸學派和英國學派正為「誰是微積分的發明者？而爭論不休。」
萊布尼茲是在1673~1676年發明微積分的（據說他於1673年在倫敦逗留三個月，也是引起英國學派懷疑他抄襲牛頓微積分的爭論）。1675年10月29日，他一次用拉長的大寫S字母（拉丁自Summa第一個字母），表示積分，幾周之後，他寫出了∫ ydx，∫ ydx 這樣的積分符號。直到1684年他才發表第一篇微積分的論文。在這篇論文他引用dx，dy作為任意有限區間，此處的d是differential的意思。他更進一步將dx/dy定為兩個無窮小相除的商。在我們的微積分學中有許多基本原則是萊布尼茲推出的，例如：萊布尼茲法則（Leibniz' Rule ）：
如果y = u(x)v(x)，則對於x的n階導數為：
由於萊布尼茲所創的微積分符號（dx/dy，∫）優於牛頓的符號（
），所以他的微積分在歐洲大陸迅速傳開，第一本微積分課本是1696洛必達（Marquis de L’Hospital）寫的，書名是＜闡明曲線的無窮小分析＞。
四、 以現代的微積分方法計算酒桶體積
圖2，y＝3－0.04x2的曲線若繞x軸旋轉之後，會變成像葡萄酒桶的形狀
如圖2，y＝3－0.04x2的曲線，若是繞x軸旋轉之後，會變成像葡萄酒桶的形狀。我們嘗試計算此圖斜線部分的體積。
圖的右半邊的體積：
＝45π－10π＋π
＝36π
所以整個體積是72π（左邊體積加右邊體積）
上述是特例，對於任何型式的酒桶，則方程式應該是：
y＝b－ax2，而不是3－0.04x2，同時積分也不是0到5，而是0到h。
因此圖的右半邊的體積是：
＝（π/15）（15 b2h－10abh3＋3a2h5）
所以整體體積加倍為：
（2π/15）（15 b2h－10abh3＋3a2h5）