希波克拉底斯与月牙圆面积问题研究 江铭辉五梦网
希波克拉底斯（Hippocrates of Chios，古希腊人，公元前440年）
希波克拉底斯（参考注一）（图1）生于奇俄斯岛（Chios），原以经商为业，不幸被海盗劫掠一空。为了找回被劫去的财货，他长期住在雅典查访，并在雅典从事几何学的研究工作。
注一：古希腊另有一位非常出名的医生，叫科斯的希波克拉底斯（Hippocrates of Cos），世人尊称为医学之父，两者请不要互相混淆。
奇俄斯岛的希波克拉底斯（数学家） 科斯的希波克拉底斯（医生）
图1：两位希波克拉底斯，一位是数学家生于公元前440年左右，一位是医生生于公元前460-375年。
希波克拉底斯对数学的贡献有四：
一、 最早在数学中把定理依逻辑顺序排列
希波克拉底斯写出世上第一部几何学的书，可惜已经失传。书中，他首先把定理按逻辑顺序排列。欧几里德（Euclid）的几何原本前4卷的内容，据说就是利用此书的内容和逻辑排列想法来著述。
二、 最早把归谬法引入数学
归谬法也叫反证法，是证明定理（命题）的一种方法。它的证明方法是：不直接证明命题本身，而证明它的逆命题，如果原命题本身较难证明而其逆命题较易证明时都可采用归谬法。应用归谬法时应先将定理的结论予以否定，再由此推导出否定的结论是错误的，从而肯定了原命题的正确性。希波克拉底斯是第一个使用归谬法的人，欧几里德的〈原本〉中也用不少的反证法来证明命题。反证法在日常生活上偶尔会用到，而且常有异想不到的结果，下面是一则非常有趣的反证法故事，故事如下：
1. 穷人欠了恶棍的债无发偿还，因此必须要作牢。
2. 恶棍专放高利贷，想跟穷人女儿结婚。
3. 穷人女儿很讨厌恶棍。
4. 于是恶棍就提议：
「我要从路上随便捡起一块白石头和一块黑石头，放进袋子里。然后让你的女儿伸手从袋子里抓出一块，如果她抓到白石头，那么债务就一笔勾消。但是，如果她抓到是黑石头，那一定要和我结婚。」
5. 说完，恶棍就偷偷地把两块黑石头放进袋子里。
6. 这事情的真相被穷人女儿洞穿，可怜的女儿要怎么办？
（1）拒绝抓石头。
（2）把「袋子石头都是黑的」的真相抖出。
（3）咬紧牙关伸手去抓，然后哭哭啼啼跟着恶棍结婚。
7. 以上三种方法，对穷人都很不利，到底穷人女儿要怎么办呢？
8. 聪慧的女儿，想到一种绝妙办法，她把手伸入袋子里，抓出一块石头，接着惊叫一声「哎呀！」后，故意让石头掉落在地上，并且这样说：「我不知道落在地上的石头颜色，不过查看袋子剩下的另一颗石头便知道因为掉落在地上石头的颜色，刚好和袋子里的石头颜色相反。」（图2）
图2：穷人女儿假装不小心将拿出的石头掉落在满地都是石头的地上。
三、 希波克拉底斯月牙形面积问题
希波克拉底斯也从事“化圆为方”的研究，他研究医些月牙形的面积问题，以便打开“化圆为方”问题的思路，下面是希波克拉底斯的月牙形求积的例子。
例1：直角等腰三角形的外接圆与边上所做的二半圆之间，所夹的两个月牙的面积之和等于三角形之面积。
图3：希波克拉底斯发现Ⅰ+Ⅱ=的面积
证明：
如图3，Ⅰ、Ⅱ表示月牙形面积，Ⅲ、Ⅳ表示弓形面积，则：
Ｉ+Ⅲ=1/2π(AC/2)2= 1/8πAC2 (1)
Ⅱ+Ⅳ=1/2π(BC/2)2= 1/8πBC2(2)
（1）＋(2)等于：Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ＋Ⅳ＝1/8πAC2+1/8πBC2
即：Ⅲ＋Ⅳ=1/8πAC2+1/8πBC2－Ⅰ－Ⅱ……………(3)
又：Ⅲ＋Ⅳ＋ΔABC面积＝1/2π(AB/2)2=1/8πAB2……(4)
将(3)代入(4)，得：
1/8πAC2+1/8πBC2－Ⅰ－Ⅱ+ΔABC面积＝1/8πAB2
因为：AB2=AC2+ BC2（由毕达哥拉斯定理得知）
所以：ΔABC面积＝Ⅰ+Ⅱ
例2：由正六边形上半部所构成的梯形面积等于边上一个小半圆与三个月牙面积之总和。
证明：
图4：梯形ABCD面积＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ＋1/2π(AB/2)2＝3Ⅰ+1/2π(AB/2)2
如图4，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ表示月牙面积，Ⅰ'、Ⅱ'、Ⅲ'为弓形面积，则：Ⅰ＋Ⅰ'＝1/2π(AB/2)2=1/8πBC2……. (1)
Ⅱ＋Ⅱ'＝1/8πAB2 ……………….(2)
Ⅲ＋Ⅲ'＝1/8πCD2………………..(3)
Ⅰ'＋Ⅱ'＋Ⅲ'＋梯形面积＝1/8πAD2……(4)
因为AB＝BC＝CD，AD＝2OD＝2AB
所以：Ⅰ'＋Ⅱ'＋Ⅲ'＋梯形面积＝1/8πAD2=1/2π(AB/2)2….(5)
由(1)＋(2)＋(3)，得Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ＋Ⅰ'＋Ⅱ'＋Ⅲ'＝3/8πAB2，
即：Ⅰ'＋Ⅱ'＋Ⅲ'＝3/8πAB2－Ⅰ－Ⅱ－Ⅲ……(6)
将(6)式代入(5)，得：
梯形面积＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ＋＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ＋1/2π(AB/2)2
＝3Ｉ＋1/2π(AB/2)2
因此正六边形上半部所构成的梯形面积等于边上一个小半圆与三个月牙面积之总合。
例3：作一个正方形的面积等于一个月牙。
希波克拉底斯的发现，经过修整后可述之如下：
如图5设ABC为一直角三角形，于B处为直角。有两等腰AB及BC，D为AB之中点。以B为中心，AB为半径作一圆弧AFC，以D为中心，AD为半径，作一半圆AGC，作正方形BDCE。月牙形AGCFA之面积恰等于正方形BDCE之面积。依此法可将月牙形化为正方形！
图5：希波克拉底斯的月牙形经修整后可作一个正方形面积等于一个月牙。
证明：半圆ACGA与四分圆（quadrant，圆的四分之一）ABCFA面积相等。因四分圆的面积为1/4πAB2。半圆的面积为1/2πDC2。但DC=1/2AC而AC=21/2AB，所以半圆之面积为1/2π[1/2 21/2(AB)]2=1/4πAB2。若从半圆除去ADCFA这一块面积，则得月牙形AFCGA。但若从四分圆除掉ADCFA则得三角形ABC。意即三角形ABC之面积等于月牙形的面积。又三角形BEC全等于ABC，所以正方形BDCE之面积等于三角形ABC之面积也等于月牙形AFCGA之面积。
四、倍立方问题可化为比例中项的问题
下面的解是由柏拉图首先提出其观念，再由希波克拉底斯对倍立方问题简化，他的作法如下：作两给定线段a和2a的两个比例中项。假设x和y表示这两个比例中项，即a：x＝x：y＝y：2a。则从这三个比例式中我们可得：x2=ay，y2=ay ；消去y，得：x3=2a3，于是以x为边的立方体的体积就等于以a为边的立方体的体积的二倍。
上述倍立方问题作图法如下：
(一) 作法：
如图6作两条互相垂直的直线相交于P，在一条直线上截取PA＝a，在另一条直线上截取PD＝2a。在两条直线上，分别取点B、C，使∠ABC=∠BCD，线段PB之长即为所求立方体的一边。
(二) 证明：
根据直角三角形的性质，假设PB＝x，PC＝y，得：
PB2＝PA.PC＝a.y即 x2＝ay
PC2＝PB.PD＝2a.x即y2＝2ax
从上两式中消去y
得x3＝2a3
即以x为边的立方体的体积等于以a为边的立方体的体积的二倍。
图6：柏拉图倍立方问题作图法，图中a：x＝x：y＝y：2a