希波克拉底斯與月牙圓面積問題研究 江銘輝五夢網
希波克拉底斯（Hippocrates of Chios，古希臘人，西元前440年）
希波克拉底斯（參考註一）（圖1）生於奇俄斯島（Chios），原以經商為業，不幸被海盜劫掠一空。為了找回被劫去的財貨，他長期住在雅典查訪，並在雅典從事幾何學的研究工作。
註一：古希臘另有一位非常出名的醫生，叫科斯的希波克拉底斯（Hippocrates of Cos），世人尊稱為醫學之父，兩者請不要互相混淆。
奇俄斯島的希波克拉底斯（數學家） 科斯的希波克拉底斯（醫生）
圖1：兩位希波克拉底斯，一位是數學家生於西元前440年左右，一位是醫生生於西元前460-375年。
希波克拉底斯對數學的貢獻有四：
一、 最早在數學中把定理依邏輯順序排列
希波克拉底斯寫出世上第一部幾何學的書，可惜已經失傳。書中，他首先把定理按邏輯順序排列。歐幾里德（Euclid）的幾何原本前4卷的內容，據說就是利用此書的內容和邏輯排列想法來著述。
二、 最早把歸謬法引入數學
歸謬法也叫反證法，是證明定理（命題）的一種方法。它的證明方法是：不直接證明命題本身，而證明它的逆命題，如果原命題本身較難證明而其逆命題較易證明時都可採用歸謬法。應用歸謬法時應先將定理的結論予以否定，再由此推導出否定的結論是錯誤的，從而肯定了原命題的正確性。希波克拉底斯是第一個使用歸謬法的人，歐幾里德的〈原本〉中也用不少的反證法來證明命題。反證法在日常生活上偶爾會用到，而且常有異想不到的結果，下面是一則非常有趣的反證法故事，故事如下：
1. 窮人欠了惡棍的債無發償還，因此必須要作牢。
2. 惡棍專放高利貸，想跟窮人女兒結婚。
3. 窮人女兒很討厭惡棍。
4. 於是惡棍就提議：
「我要從路上隨便撿起一塊白石頭和一塊黑石頭，放進袋子裡。然後讓你的女兒伸手從袋子裡抓出一塊，如果她抓到白石頭，那麼債務就一筆勾消。但是，如果她抓到是黑石頭，那一定要和我結婚。」
5. 說完，惡棍就偷偷地把兩塊黑石頭放進袋子裡。
6. 這事情的真相被窮人女兒洞穿，可憐的女兒要怎麼辦？
（1）拒絕抓石頭。
（2）把「袋子石頭都是黑的」的真相抖出。
（3）咬緊牙關伸手去抓，然後哭哭啼啼跟著惡棍結婚。
7. 以上三種方法，對窮人都很不利，到底窮人女兒要怎麼辦呢？
8. 聰慧的女兒，想到一種絕妙辦法，她把手伸入袋子裡，抓出一塊石頭，接著驚叫一聲「哎呀！」後，故意讓石頭掉落在地上，並且這樣說：「我不知道落在地上的石頭顏色，不過查看袋子剩下的另一顆石頭便知道因為掉落在地上石頭的顏色，剛好和袋子裡的石頭顏色相反。」（圖2）
圖2：窮人女兒假裝不小心將拿出的石頭掉落在滿地都是石頭的地上。
三、 希波克拉底斯月牙形面積問題
希波克拉底斯也從事“化圓為方”的研究，他研究醫些月牙形的面積問題，以便打開“化圓為方”問題的思路，下面是希波克拉底斯的月牙形求積的例子。
例1：直角等腰三角形的外接圓與邊上所做的二半圓之間，所夾的兩個月牙的面積之和等於三角形之面積。
圖3：希波克拉底斯發現Ⅰ+Ⅱ=的面積
證明：
如圖3，Ⅰ、Ⅱ表示月牙形面積，Ⅲ、Ⅳ表示弓形面積，則：
Ｉ+Ⅲ=1/2π(AC/2)2= 1/8πAC2 (1)
Ⅱ+Ⅳ=1/2π(BC/2)2= 1/8πBC2 (2)
（1）＋(2)等於：Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ＋Ⅳ＝1/8πAC2+1/8πBC2
即：Ⅲ＋Ⅳ=1/8πAC2+1/8πBC2－Ⅰ－Ⅱ……………(3)
又：Ⅲ＋Ⅳ＋ΔABC面積＝1/2π(AB/2)2=1/8πAB2……(4)
將(3)代入(4)，得：
1/8πAC2+1/8πBC2－Ⅰ－Ⅱ+ΔABC面積＝1/8πAB2
因為：AB2=AC2+ BC2（由畢達哥拉斯定理得知）
所以：ΔABC面積＝Ⅰ+Ⅱ
例2：由正六邊形上半部所構成的梯形面積等於邊上一個小半圓與三個月牙面積之總和。
證明：
圖4：梯形ABCD面積＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ＋1/2π(AB/2)2＝3Ⅰ+1/2π(AB/2)2
如圖4，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ表示月牙面積，Ⅰ'、Ⅱ'、Ⅲ'為弓形面積，則：Ⅰ＋Ⅰ'＝1/2π(AB/2)2=1/8πBC2……. (1)
Ⅱ＋Ⅱ'＝1/8πAB2 ……………….(2)
Ⅲ＋Ⅲ'＝1/8πCD2………………..(3)
Ⅰ'＋Ⅱ'＋Ⅲ'＋梯形面積＝1/8πAD2……(4)
因為AB＝BC＝CD，AD＝2OD＝2AB
所以：Ⅰ'＋Ⅱ'＋Ⅲ'＋梯形面積＝1/8πAD2=1/2π(AB/2)2….(5)
由(1)＋(2)＋(3)，得Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ＋Ⅰ'＋Ⅱ'＋Ⅲ'＝3/8πAB2，
即：Ⅰ'＋Ⅱ'＋Ⅲ'＝3/8πAB2－Ⅰ－Ⅱ－Ⅲ……(6)
將(6)式代入(5)，得：
梯形面積＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ＋＝Ⅰ＋Ⅱ＋Ⅲ＋1/2π(AB/2)2
＝3Ｉ＋1/2π(AB/2)2
因此正六邊形上半部所構成的梯形面積等於邊上一個小半圓與三個月牙面積之總合。
例3：作一個正方形的面積等於一個月牙。
希波克拉底斯的發現，經過修整後可述之如下：
如圖5設ABC為一直角三角形，於B處為直角。有兩等腰AB及BC，D為AB之中點。以B為中心，AB為半徑作一圓弧AFC，以D為中心，AD為半徑，作一半圓AGC，作正方形BDCE。月牙形AGCFA之面積恰等於正方形BDCE之面積。依此法可將月牙形化為正方形！
圖5：希波克拉底斯的月牙形經修整後可作一個正方形面積等於一個月牙。
證明：半圓ACGA與四分圓（quadrant，圓的四分之一）ABCFA面積相等。因四分圓的面積為1/4πAB2。半圓的面積為1/2πDC2。但DC=1/2AC而AC=21/2AB，所以半圓之面積為1/2π[1/2 21/2(AB)]2=1/4πAB2。若從半圓除去ADCFA這一塊面積，則得月牙形AFCGA。但若從四分圓除掉ADCFA則得三角形ABC。意即三角形ABC之面積等於月牙形的面積。又三角形BEC全等於ABC，所以正方形BDCE之面積等於三角形ABC之面積也等於月牙形AFCGA之面積。
四、倍立方問題可化為比例中項的問題
下面的解是由柏拉圖首先提出其觀念，再由希波克拉底斯對倍立方問題簡化，他的作法如下：作兩給定線段a和2a的兩個比例中項。假設x和y表示這兩個比例中項，即a：x＝x：y＝y：2a。則從這三個比例式中我們可得：x2=ay，y2=ay ；消去y，得：x3=2a3，於是以x為邊的立方體的體積就等於以a為邊的立方體的體積的二倍。
上述倍立方問題作圖法如下：
(一) 作法：
如圖6作兩條互相垂直的直線相交於P，在一條直線上截取PA＝a，在另一條直線上截取PD＝2a。在兩條直線上，分別取點B、C，使∠ABC=∠BCD，線段PB之長即為所求立方體的一邊。
(二) 證明：
根據直角三角形的性質，假設PB＝x，PC＝y，得：
PB2＝PA.PC＝a.y即 x2＝ay
PC2＝PB.PD＝2a.x即 y2＝2ax
從上兩式中消去y
得x3＝2a3
即以x為邊的立方體的體積等於以a為邊的立方體的體積的二倍。
圖6：柏拉圖倍立方問題作圖法，圖中a：x＝x：y＝y：2a