漫谈不动点定理 江铭辉 五梦网
登山与下山
在未谈不动点定理前，我们先谈下面一个故事：
有一个数学系的张学生去登山，他从山脚下的一个凉亭出发，沿着一条狭窄的小路，一路观赏风景，爬到山顶，住在一家旅馆里，假设他从早上七点出发，晚上八点抵达山顶住宿。他的路线是沿者狭窄蜿蜒的小径，途中的步伐时快、时慢，不一定，中间还有好多次停下来留休息，第二天早上，他开始动身下山，沿着相同的路线，也是早上七时出发，并于晚上八点回到山脚的凉亭，休息。在凉亭休息时，他碰到他的拓朴学教授，梁教授。二人开始闲聊。
登山与下山必有一点时间是相同
梁教授说：「你好，张同学，你这样昨天上山，今天下山，来回走一趟，你知道在这个行经路线的途中，一定存在一点，洽好是上山的时刻和下山的时刻（譬如5时5分），完全一样。但我不知道这点在何处，以及是什么时候？」
张同学：「梁教授，你在跟我开完笑，这绝对不可能的。我二次走路的方式都不一样，而且有时走快，有时走慢，中间还停下来休闲，吃口粮充饥，或喝饮料解渴。」
梁教授：「尽管你否认，但是站在拓朴学教授的立场，我还是要向你说清楚，讲明白。」
梁教授的解释
于是梁教授拿起笔来画了如下的图：
然后梁教授说：「这是一个你昨天登山和今天下山的路径行程图，蓝色是你从凉亭爬到山顶的路线，红色是你从山顶下山到凉亭的路径。你看，你上山与下山的路径交会于路途中的某一点。虽然我对交会点的时间不清楚，但一定有交会点是无庸置疑。」
梁教授又说：「我们现在换一个方式来讲，假设有两位登山者，同一时间（早上七时），一个往上爬到山顶，另一个往下走到山脚的凉亭。不管他们的速度如何，以及两人各在途中休息的次数，两人势必在某点相会。这个点就是我所说的时间和地点。」
拓朴学的不动点定理
这个故事为拓朴学家所称的"不动点定理"提供了一个很简单的例证。它告诉我们至少存在一个这样的点，并没告诉我们这个点在什么地方。
同学们一定对下面这个不动点定理感兴趣。这个定理可以这样来说明:
取一个盒子和一张纸，纸张恰好盖住盒内的底面。可想而知此时纸上的每个点与正在它下面的盒底上的点配成对。把这张纸拿起来，随机地揉成一个小球。再把小球扔进盒里。拓扑学家己经证明，不管小球是怎样揉成的，也不管它落在盒底的什么地方，在揉成小球的纸上至少有一个这样的点，它恰好处在它盒底原来配对点的正上方！
这个定理首先为荷兰数学家L．E．J．布劳尔在1912年所证明。它具有许多奇妙的应用。例如，由这个定理可以断言:在任一时刻，在地球上至少有一个地点没有风。
本文的参考数据：
1. Leonnardo’s Mirror & Other Puzzles Ivan Moscovich 着
2. Paradox Box Martin Gardner着