漫談不動點定理 江銘輝 五夢網
登山與下山
在未談不動點定理前，我們先談下面一個故事：
有一個數學系的張學生去登山，他從山腳下的一個涼亭出發，沿著一條狹窄的小路，一路觀賞風景，爬到山頂，住在一家旅館裡，假設他從早上七點出發，晚上八點抵達山頂住宿。他的路線是沿者狹窄蜿蜒的小徑，途中的步伐時快、時慢，不一定，中間還有好多次停下來留休息，第二天早上，他開始動身下山，沿著相同的路線，也是早上七時出發，並於晚上八點回到山腳的涼亭，休息。在涼亭休息時，他碰到他的拓樸學教授，梁教授。二人開始閒聊。
登山與下山必有一點時間是相同
梁教授說：「你好，張同學，你這樣昨天上山，今天下山，來回走一趟，你知道在這個行經路線的途中，一定存在一點，洽好是上山的時刻和下山的時刻（譬如5時5分），完全一樣。但我不知道這點在何處，以及是什麼時候？」
張同學：「梁教授，你在跟我開完笑，這絕對不可能的。我二次走路的方式都不一樣，而且有時走快，有時走慢，中間還停下來休閒，吃口糧充飢，或喝飲料解渴。」
梁教授：「儘管你否認，但是站在拓樸學教授的立場，我還是要向你說清楚，講明白。」
梁教授的解釋
於是梁教授拿起筆來畫了如下的圖：
然後梁教授說：「這是一個你昨天登山和今天下山的路徑行程圖，藍色是你從涼亭爬到山頂的路線，紅色是你從山頂下山到涼亭的路徑。你看，你上山與下山的路徑交會於路途中的某一點。雖然我對交會點的時間不清楚，但一定有交會點是無庸置疑。」
梁教授又說：「我們現在換一個方式來講，假設有兩位登山者，同一時間（早上七時），一個往上爬到山頂，另一個往下走到山腳的涼亭。不管他們的速度如何，以及兩人各在途中休息的次數，兩人勢必在某點相會。這個點就是我所說的時間和地點。」
拓樸學的不動點定理
這個故事為拓樸學家所稱的"不動點定理"提供了一個很簡單的例證。它告訴我們至少存在一個這樣的點，並沒告訴我們這個點在什麼地方。
同學們一定對下面這個不動點定理感興趣。這個定理可以這樣來說明:
取一個盒子和一張紙，紙張恰好蓋住盒內的底面。可想而知此時紙上的每個點與正在它下面的盒底上的點配成對。把這張紙拿起來，隨機地揉成一個小球。再把小球扔進盒裡。拓撲學家己經證明，不管小球是怎樣揉成的，也不管它落在盒底的什麼地方，在揉成小球的紙上至少有一個這樣的點，它恰好處在它盒底原來配對點的正上方！
這個定理首先為荷蘭數學家L．E．J．布勞爾在1912年所證明。它具有許多奇妙的應用。例如，由這個定理可以斷言:在任一時刻，在地球上至少有一個地點沒有風。
本文的參考資料：
1. Leonnardo’s Mirror & Other Puzzles Ivan Moscovich 著
Paradox Box Martin Gardner著