古希腊三大几何难题 江铭辉 五梦网
公元前五世纪，希腊雅典城内，出现一个研究各方面学问的诡辩学派，他们第一次提出并研究在直尺和圆规的作图工具限制下，只用有限次数绘图步骤求出下面三个作图题目（如图1）：
1.三等分任意角问题：给出任意一个角θ，求作一角等于。
2.立方倍积问题：求作一立方体，使其体积等于已知立方体体积的二倍。
3.化圆为方问题：求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积。
这就是数学史上著名的古希腊几何三大难题。
从表面上看，这三个问题都很简单，似乎很容易在有限次数下，用直尺和圆规作图来完成。因此两千多年来吸引成千上万的人，前仆后继努力不停的研究。但始终无法成功。1637年笛卡尔（R. Descartes）因研究此难题而创立了解析几何，又经过两百年，1837年王采尔（P.L. Wantzel）在研究阿贝尔（N.H. Abel）（图2）定理时，第一个严格证明了三等分任意角和立方倍积问题，不可能用直尺和圆规作图来解决。
1882年，林德曼（Lindemann），证明了π是超越数，从而证明了化圆为方也是直尺和圆规作图不能求出的问题。
图1-a：三等分任意角 图1-b：立方倍积 图1-c：化圆为方
图1：古希腊几何三大难题
最后，克莱因（F. Klein）在1895年“德国数理教学改进社”开会时给出了希腊几何三大问题皆不可能用标尺来作图的简单而明晰的证明，从而使两千年未得解决的悬案告一段落。
壹：三等分任意角问题
一、源由
只允许使用直尺和圆规，将一个任意角两等分是轻易举的。人们很容易连想到若只准用直尺与圆规，能不能也将一个任意角3等分呢？将一个角由2等分到3等分，仅仅这么一点小小的变化，一个平淡无奇的几何作图题，变成了一座高深莫测的数学迷宫，也成为古希腊三大几何问题之首。
图2：阿贝尔（挪威人，公元1802～1829），他与法国伽罗瓦（Evarist Galois）同称为数学天空中闪电般的流星。26岁死于肺结核，重要贡献有：阿贝尔积分、椭圆函数、无穷级数的收敛性。
二、为什么三等分任意角不能在有限次数用直尺和圆规作出呢？
要证明这个问题，我们首先讨论将三等分任意角化成4x3－3x－cos3θ＝0之问题。如图3，假设任意的角为∠XOY，以其顶点O为中心画圆，设与OX，OY分别交于点A，点B。又设E为从B至OA的垂线的垂足。已知∠XOY为已知角，OB=1则：OE＝cos3θ
图3：把任意角3等分
设∠XOY的3等分线与此圆的交点从靠近A点数起依次为C、D，从C至OX垂线的垂足为F。若知道OF＝x的长度，即能划出∠XOY的3等分线。
若设∠XOY＝3θ，∠XOC＝θ，
则cos3θ＝OE；cosθ＝x。
若将其代入于三角学的3倍角公式
cos3θ＝4 cos3θ－3 cosθ，
即得cos3θ＝4 x3－3 x
亦即4 x3－3 x－cos3θ＝0
因此3等分任意角的问题，等于对任意的cos3θ，找出满足此方程式之x的问题。在回答上述问题时，我们先知道下列的定理。
定理A：若”有理系数3次方程式” x3＋px2＋qx＋r＝0没有”有理数解”，则此方程式就没有能以直尺及圆规作图的解。
因此，若想证明不可能用直尺及圆规把任意角3等分，则只要证明对于有理数cos3θ的某值来说，3次方程式4 x3－3 x－cos3θ＝0不具有有理数解即可。
也就是说我们只要举出一个例子，譬如证明存在已知的角为，且cos3θ＝1/2时，3次方方程式
4 x3－3 x－1/2＝0……………………(1)
没有有理数解，则根据“定理A”，等于证明了不可能用直尺及圆规把60度这个角3等分。由此可证明任意角（至少是60度角）不能用直尺及圆规来三等分。
现以2x＝y代入方程式(1)，可得较简单的形式：y3－3 y－1＝0
根据代数方程式求根的知识，如果y3－3 y－1＝0有“有理根”，则不外是±1。经逐一代入验算后，均不符合，可见此方程式没有“有理根”，亦即60度角不能用直尺和圆规三等分任意角。
注意“定理A”是指p、q、r是有理数的情况，当cos3θ值为无理数时如θ“3θ”＝30°或45°则”定理A”就不再适用。
三、跳出尺、规及有限次数限制之三等分任意角的作图方法
古希腊和后代的人在不受直尺、圆规或有限作图步骤的限制下，已取得辉煌成就，他们的成果如下：
1.作法一：古希腊数学家及物理学家阿基米得（Archimedes，古希腊人，公元前287～212年）的三等分任意角。（阿基米得将直尺一边划上“点”的作图方法）
2.作法二：利用阿基米得螺线求三等分任意角。
3.作法三：利用欧几里德无穷级数方法，先把一个已知角二等分、四等分、八等分……2n等分，再利用(1/2-1/4+1/8-1/16+1/32…) = (1/2)/【1-(1-1/2)】=1/3求出三等分任意角。
4.作法四：利用尼科梅德斯（Nicomedes，希腊人，公元前250年）的蚌线。
5.作法五：利用希皮亚斯（Hippias of Elis，希腊人，公元前400年）的割圆曲线。
6.作法六：帕斯卡（B. Pascal，法国人，公元1623～1662年）利用蚶线之方法。
7.作法七：玫瑰线方法。
贰：立方倍积问题
一、 源由：
伟大科学家厄拉托西尼（Eratosthenes，古希腊人，公元前276年）记载两则有关立方倍积问题的传说，这个传说如下：
1.第罗斯问题：
立方倍积问题也叫第罗斯问题。传说爱琴海中第罗斯（Delos）岛上发生瘟疫，人们就去阿波罗神庙向阿波罗神祈求去除瘟疫。庙祝说奉神谕：要去除瘟疫，须要把阿波罗神殿前方的立方体祭坛的体积扩大一倍。第罗斯人搞错了，他们把祭坛每边放大一倍。瘟疫不但没有停止，同时更加严重。第罗斯人又去求教大哲学家柏拉图（Plato，古希腊人，公元前428～348年），柏拉图说：他们把祭坛每边放大一倍，祭坛变成原来的8倍，不是神谕的2倍。同时告诉他们，太阳神的本意不在乎祭坛是否须放大二倍，而只是借此谴责希腊人不重视数学，对几何不够尊崇。
2.第二个传说是说：
古代一位诗人描述克里特（Crete）王米诺斯（Minos）为死去的儿子格劳卡斯（Galaucus）修筑坟墓。他嫌坟墓造得太小，命令说：「保持立方的形状，将体积加倍。」，接着又说：「赶快将每边的长都加倍。」
厄拉托西尼将这两则故事内容，用短诗的形式写成一封信，并作了一个碑，上面用铜铸造他发现的解决倍立方问题的器械模型，一同奉献给埃及国王托勒密三世。
二、为什么立方倍积问题不能在有限次数用直尺和圆规作出呢？
假设已知立方体的边长为a，所求立方体的边长为x。则：x3= 2a3 。令a＝1，则上述方程式变成：x3-2= 0。
根据初等代数方程式求根的常识，如果：x3-2= 0。之有理系数三次方程含有有理根，则这个根不外是：±1、±2。但经逐一代入试验，±1及±2均不符合。可见方程式x3-2= 0必无有理根。
根据上节之”定理A”（若有理系数3次方程式，没有有理数解，则此方程式没有能以直尺及圆规作图的解），因为上述方程的实根为
，所以不能用直尺和圆规作出。这就证明了立方倍积问题不能只用是直尺和圆规作图划出。
三、跳出直尺和圆规在有限次数的限制下之立方倍积的作图方法
古希腊及后代的人，在不受直尺、圆规及有限作图步骤限制下，已取得辉煌成就，他们的成果如下：
作法一：尤多克萨斯（Eudoxus of Cnidus，希腊人，约公元前408～355年）方法。
作法二：门内马斯（Menaechmus，古希腊人，公元前375～325年）方法。
作法三：阿波罗尼奥斯（Apollonius，古希腊人，公元前262～190年）方法。
作法四：尼科梅德斯（Nicomedes，古希腊人，公元前240年）蚌线方法。
作法五：丢克莱斯（Diocles，古希腊人，约公元前190年）蔓叶线的方法。
作法六：厄拉托西尼（Eratosthenes，古希腊人，公元前276年）机械式的解法。
参：化圆为方角问题
一、源由
公元前五世纪，古希腊哲学家安那萨哥拉斯（Anaxagoras，古希腊人，公元前500～428年）因为长期研究太阳、月亮的结果，说：「月亮只不过一块冰冷的土石，它本身并不会发光，全靠太阳照射，它才有亮光，而太阳只不过是一块与希腊面积大约相等的火热石头。并且那有什么太阳神阿波罗。」他的这套学说被他的仇家指控他亵渎太阳神，把他抓进了牢房。
为了打发寂寞无聊的监狱生活，安邦萨哥拉斯以思考几何学问题打发渡日。一天，他正在思索几何学问题时，想到自己在这黑牢之中，似乎前途茫茫。突然他往铁窗向外瞭望，觉得今夜的月色特别娇媚，但今人迷恋的是，今晚的月亮格外的圆。他的脑际忽然掠过一个念头，这轮皎洁圆圆的明月究竟比铁窗大或小呢？
他信手取一根木炭在大石板上画一个圆，接着尝试作一正方形，让它的面积等于这个圆（图4）。
图4：月亮及铁窗那一个大？
从这时起，数学史册上又多记了一椿新的发现：〈化圆为方〉问题。这个问题风靡了两千多年，不知有多少数学高手和凡夫俗卒为它陶醉。当初安那萨哥拉斯以为“化圆为方”是一个简单的题目，但是后来他在监牢中整日思索这个问题而得不到解答，一直到他被好友著名的政治家伯里克利拯救出狱，仍未能解决。这并不是安那萨哥拉斯的几何学功力不够，而是它根本无解。
二、为什么化圆为方问题不能在有限次数用直尺和圆规作出呢？
化圆为方问题和三等分角问题、立方倍积问题一样，无法用直尺和圆规作图。它可以化成为求方程式x2= πr2（x为方形的一边，r是已知圆的半径）的解，或求作线段
。根据尺、规作图的准则，不能用标尺作图作出线段x。因为π是超越数，它不是任何整系数代数方程的解。
三、跳出直尺和圆规在有限次数的限制下之化圆为方之作图方法
这道题目是古希腊三大几何难题中，看起来最难解决的。因此即使不受直尺和圆规限制，它的解法也没有像其他两大难题一样的辉煌，但仍有人解答出来。例如：
作法一：达文西（L. da Vinci，意大利人，公元1452～1519年）利用圆柱的方法解决此问题。
作法二：丢克莱斯（Diocles，古希腊人，约公元前190年）蔓叶线方法。
作法三：希皮亚斯（Hippias of Elis，古希腊人，公元前400年）割圆曲线方法。
作法四：阿基米得（Archimedes，古希腊人，公元前287～212年）的螺线方法。