诡谲的0?
图:0是一个非常诡谲的数目
一、 零的特性
1: 零是偶数或是奇数?
答案:
0是偶数,习惯把……-8,-4,-2,0,2,4,6,8……叫作偶数,而把……-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9……叫作奇数,因此0因该称为偶数。
2: 零是整数吗?是正整数或负整数?
答案:
0不属于正整数或负整数,但它是整数,通常整数包括正整数、零、负整数三部份,所以0既不属于正整数也不属于负整数。
3: a0=? 00=?
答案:
在a>O情况下,a0定为1,即a0=1;但00无意义。
4:0/0=?;0/a=?;a/0=?
答案:
在a≠0情况下,0/a=0
a≠0时a/0=∞;在数学上无意义,∞表示无穷大。
0/0可为任何值,在数学上无意义。
二、 除以0:至诡论之路
正数愈大,其倒数愈小。正数愈小,其倒数愈大。我们可将1除以极小的数而得出极大的数字:
1/1 = 1
1/0.1=10
1/0.01= 100
1/0.001 = 1000
但为什么不可以将1直接除以0呢?
1/0=?也许是世界上最大的数,但没有人知道呢?同时零除这个除式也带来一些困扰。因为零除在数学上无明确意义而且是自相矛盾的。假如我们做一个 360/9=40的除法,要验算答案,有一种办法就是把它乘回来:即9X40=360。假设有人写出1/0而试图求出它的意义。则它不能是一个数,因为若1/0 = n,n代表某数。我们试用"乘回来"来验证此方程式。可求得1=0Xn=0。换句话说,1=0,这是不通的。此方程式不符合验算。若任一异于0的数除以0时亦有同样的情形。
0除0的除法又是一种例外。若写0/0=6用"乘回法"加以验算。0=6X0=0,符合验算。如果说6必是答案,又不竟然,因为0/0=9亦符合验算。这种运算似乎暗示0/0可能为任何数,这种结果不可能有什么用处。为了这些理由,在数学上,将除以0是废弃不谈的。
我们已知,零除可得矛盾的结果。当它是显而易见时,很容易避免,例如像8×0=4×0,将方程式两端除以0得出8=4,一眼可以看出系零除的错误。但是有时候"零除"的错误被掩蔽而看不出来。
若设x=1[左右两端皆用x2去减]
则x2-x = x2-1
得x(x-1) = (x-1)(x+1)
两端皆除以(x-1);得:
x = (x+1)
以x=1代入;得:
1= 2
产生矛盾,这是两端除以(x-l) = 0的原因。
虽然零除不在数学的范围内,但是玩一些符号游戏,尤其是当他们模棱两可且意义不完全明确时是相当有趣的。虽然这样做相当危险,但也是发现的来源,许多数学上的重大结论都是这样玩出来的。
我们如对1除以0作无意义的追求,企图求得最大的数。我们所得到的,可能不是一个数。虽然不是一个数,却是巨大的? 无可否认的,这个疑问像是很无聊,但无论如何,我们还是研究它。
关于"除以0"问题的讨论,真的很有趣了,请看以下的计算。
设有相等的值,a和b,即a=b
两边同乘以ab;得a2b = ab2,
两边同减去b3得a2b – b3= ab2- b3
因式分解 b(a2-b2) = b2 (a-b)
得 b(a-b)(a+b) = b2 (a-b)
两边同除以a-b 得b (a+b) = b2
因此 ab =0即,2个数相等时,将该2个数乘相起来时,为零。以具体例子来说。是若7=7,则7×7=0,真是奇怪,但为什么会发生这种事呢?又是用0去除的原因,读者先生请回想,a=b则a-b=0,演算过程中我们使用两边同除以a-b ,亦即两边同除以0,因此产生矛盾。
现在我们回头讨论1/0=?的问题,9<1/0吗? l01000000000 < 1/0吗? 我们要如何才能决定大小。如果我们处理的是普通的数字就很简单。像25<999/4的不等式,如果将不等式的两边数字乘上4,检查所得的不等式就可验出此式是正确。即25×4 = 100 <999。现在我们从9 < 1/0开始验证。各乘以0得9×O <1,此不等式成立。对于任何巨大的数目,我们也可以找出任何大数目乘以非常小的数目z(比0还大)使它们的积小于1。即y∙z<1,例如y是一个非常大的数目,我们马上可找出z=1/(y+1)这么小的数字乘以y,它们的积小于1,因此y∙z<1。即y<1/z<1/ 0(y是任何巨大数目,z非常小的值但大于0)
从上述可知,不管1/0是什么东西,它必然是巨大的,因为它似乎比你所能说出的任意数为大。
试加1于1/0以"增大"此数。
1/0 + 1= ?
我们该怎么加呢?如果我们处理的是普通的分数,我们会把它们放在
共同的公分母上来相加,例如:
(2/3 )+ 1= (2+1×3)/3 =5/3
如果我们如法炮制,可求得:
1/0 + 1=(1+0×1)/0 = 1/0
换句话说,不论1/0是什么,若加1于其上,仍然不变。与一般常识相违背乎。事实上l//0是那么大的"大",因此加上1,甚至千万兆也不能影响它一点儿。就像大海中加上一滴水,仍然一样。若写出1/0+l01000,也是一样仍然是大海中的一滴水。
100/0是不是比1/0大呢?不是它的100倍大吗?取不等式100/0>1/0,乘上分母来验算。出乎意料之外:100/0>l/O,此不等式不能成立。因为如果不等式成立,则发生0>0的奇怪现象。既然100/0>l/O不等式不能成立,那么100/0=l/0,如何?将二端乘上0=0,符合验证。同理,我们"断定 x(任何数)/0=1/0。这些皆因为1/0是那么大,以致乘上任何正数仍然毫无影响。
此时,对数学有所研究的读者也许会说:「那么,无穷大是什么呢?是否1/0=无穷大?」将无穷大的概念化成意义明确而有用的介绍进入数学,其途径很多。但是追根究底无穷大却不是一个数目,它是既富魅力又富于诡诈。
三、无限大和a0=1的概念
前面已谈过0不能做除数,否则会产生许多末荒谬的结果,趁着本文讨论零的机会,我们打铁趁热,再详细解释无限大和a0=1的概念,算是狗尾续貂。
1. 无限大并不是一个数目,不能把它当作数目处理
数学上常用「无限大」这种说法,但是数学并没有无限大这个数存在,数学上说到无限大只表是一个概念,是说它可以一直的增大,超出任何你所能说出的数目。但无论如何不能将它当作数目处理。
例如,当x以正值无限的接近0时,8/x到底怎样变化?
x=0.1时 8/x=80
x=0.01时 8/x=800
x=0.001时 8/x=8000
x=0.0001时 8/x=80000
因此可以知道,若x以正值无限接近0时,8/x无限增大,通常以:
x→0时 8/x→∞表示
在此我们要强调的是∞的存在只是一个概念,不能将它当作数目处理,否则会产量矛盾。
例如:
∞加8之后仍是∞,因此写作:
∞+8 = ∞
若两边减∞,得:
8 = 0
又把∞放大10倍后,仍然∞,写作:
10×∞= ∞
把两边除以∞,得:
10= 1
产生各种奇怪现象,故绝对不能将∞当作数目处理。
2. 为什么a0=1?
a0=1不是证明出来,而是约定a0=1。理由如下:
首先,若把a×a×a×……×a(a有m个)写成am,则设m、n皆为正数时,am×an= am+n。
其次,若设m、n为正数,且m>n,则am÷an= am-n。又设m、n为正数,则(am)n= amn。如此,可得下列指数定理:
am×an= am+n…………(1)
am÷an= am-n…………(2)
(am)n= amn…………(3)
式(2)是叙述m、n为正数,且m>n,现在我们将其扩充至所有整数值。首先,若m=n,亦即am-n= a0将如何?我们看式(2)左边,am÷an= am÷am= 1 ,右边am+n= a0,因此若要两边相等,只好定义a0= 1了。其次若n为负整数,要怎么办?式(2)若m=0,则左边是a0÷an=1÷an=1/ an,而右边则为a-n,若要二式相等,只好定义a-n=1/ an。
如此定义a0= 1;a-n=1/ an,则指数定律对于m、n所有整数都成立,不管m、n是零、正或负,m大于或小于n。