牛顿＜万有引力发现人、微积分的发明人＞ 江铭辉 五梦网
图1：牛顿一生在科学上作出巨大贡献，建立运动三大定律，提出万有引力定律，微积分的发明是他的杰作。所著「自然哲学之数学原理」被誉为科学著作中最伟大的一本。
一、 前言
牛顿（Sir Isaac Newton；图1）是英国数学家、物理学家、天文学家，一生在科学上作出巨大贡献，在力学上，他建立牛顿运动三大定律，进一步在1680年提出万有引力定律，建立了古典力学的基础。他也用三棱镜分析太阳光，发现太阳光是由不同颜色的光所组成，并且主张光的微粒说。在天文学方面，他发明了牛顿式反射望远镜，观察了行星运动规律，解释潮汐现象，预言地球不是正球体。数学方面，微积分的发明是他的杰作。所著「自然哲学之数学原理」被誉为科学著作中最伟大的一本。
二、小学生活
16 43年1月4日 (儒略利1642年12月25日；儒略利是16世纪以前西方采用的一种历法)，牛顿诞生在英格兰林肯郡的乌尔斯索普（Woolsthorpe Manor）小镇的一个小村庄。
牛顿出生前三个月父亲已病逝，母亲叫翰娜（Hannah Ayscough）。牛顿是个不足月的产儿，体重只有1362克，以致家人们都担心他是否能活下来。但是，这个弱小的生命竟然出人意料地活下来了。他三岁时，母亲因为生活所迫，改嫁给邻村的一位叫巴纳比斯.史密斯的牧师（Reverend Barnabus Smith）。将他交由外祖母来抚养。牛顿不喜欢他的继父，对于母亲的改嫁，充满怨恨。牛顿到4岁时，看不出是个聪明的孩子，可能与他的身体状况和家庭的处境有关，沉默寡言，爱思考，性格孤僻、倔强，不愿与其他孩子一起玩耍。到了该进小学时，他的一个作牧师的舅舅威廉极力主张将牛顿送去小学，面对老师的教鞭，严厉的目光，牛顿常常慌张，不知所措，答非所问，被看成迟钝的孩子。牛顿对小学生活，非常痛恨。上课时总是心不在焉，只盼望早些放学，回家。
可是一回到家里，牛顿马上拿起锯子和锤子，生气勃勃做起木工，起初只做箱子、架子一类简单的东西，后来做起转动四轮车等复杂的物品，他把自己的零用钱都用在买木工材料和工具上。之后，他又迷绘图，开始在家里绘画，或坐在树荫下写生，看到树的影子，总是不停的移动，引起牛顿的注意，于是他又研究树影的移动与时间的关系，并在树干周围划出刻度，经他反复观察、校正，一个能测时间的日给晷，设计完成了。
二、 格兰萨姆国王中学
牛顿12岁时，由乡下小学转到格兰萨姆镇上（Grantham）的国王中学（King’s School）就读，他对学校的课程依旧不感兴趣，常常独自沉思，同学叫他「呆子」，还捉弄他。有一天他忍无可忍，把一个强壮且成绩很好的调皮同学打倒在地上。打完架后，他认为单凭体力打赢，并不是一件光彩的事，只有课业成绩赢过该生，才会受到全班的尊敬。于是他奋发图强，不久不但成绩超越该生，而且是全班之冠，这时他主动利用他手工艺的才华，替同学们作提灯，让他们在天刚亮时作上学的路上照明用，同学们于是和牛顿亲密起来，也不叫他「呆子」了。
公元1858年，牛顿14岁时，他母亲在第二个丈夫病逝后，带着与第二个丈夫所生的一子二女回到乌尔斯索普，并要牛顿休学，回家管理家园。母亲原希望他成为一个农民，帮助自己管理家庭农场，所以时常叫他干些农活。可是牛顿对读书着了迷，放羊时，他只顾在一旁看书，结果羊吃了邻居的庄稼，派他去买东西，他看起书来就什么都忘了，结果是忘记买东西，空手而回。这段自修期间，他常常思考大自然的道理，作他喜爱的手工艺，也为他的妹妹作玩具娃娃，小风车。
1658年9月的一天，狂风大作，人们都躲在家里，唯独牛顿在大路上着了魔似地一会儿顺风跑，一会儿又逆风跑，原来他是在测试顺风和逆风的速度差，以便计算风力的大小。这一年天上出现彗星，人们惶恐不安的关闭门窗，躲在屋里不敢出来，牛顿却对此不以为然，他把小灯笼绑在风筝上，悄悄的放上天空，伪装成彗星，后来乡里知道是牛顿的恶作剧，就责备他，他说：「真正的彗星就跟这盏灯笼一样，绝不是不详之兆，没有什么可怕。」
格兰萨姆中学的校长斯托克（Henry Stokes）和牛顿当神父的威廉舅舅（也是剑桥大学三一学院毕业）别具慧眼，看到了牛顿表现出来的好学精神，说服了牛顿的妈妈允许他重返格兰萨姆中学就读。
三、 进入剑桥大学三一学院
1661年6月，18岁的牛顿以优异的成绩从中学毕业，并经校长斯托克的推荐，进入剑桥大学三一学院，在大学时，他是属于一定要帮学校工作才能减免学费的减费生。他一面在学生餐厅里服务，一面读书。1664年，他获得了奖学金。
牛顿刚进人大学时，三一学院还在讲授一些古板经院式的课程，如逻辑、古文、神学等。两年之后，三一学院出现了新气象。由卢卡斯（Lucas）出资设立了一个数学讲座，开始讲授自然科学知识，如物理、天文和数学课程。
讲座的第一任教授巴洛（I. Barrow）是一位博学的科学家，被誉为欧洲最优秀的学者，他引导牛顿踏进了自然科学的大门。使牛顿逐步掌握欧几里得的《几何原本》、笛卡儿（R. Descartes）的《几何学》、刻卜勒（J. Kepler）的《世界和谐》、伽利略的《关于两大世界体系的对话》，以及巴洛教授的数学和光学讲义。1665年初，牛顿大学毕业并获文学学士学位。比牛顿大12岁的巴洛对牛顿的才华极为赞赏，他认为牛顿的数学才能超过了自己。
四、 鼠疫的流行与伟大著作
1665~1666年，伦敦瘟疫流行，剑桥离伦敦不远，剑桥居民纷纷疏散到乡下，学校唯恐波及也停课放假了，1665年6月23岁的牛顿只好回到故乡乌尔斯索普。
这次的鼠疫虽然打断了牛顿的学业，但对于他往后的事业却有非常大的影响，因为牛顿生平的三大发现：微积分、万有引力、和光的色散，都是在这段时间发现的。在乡下18个月，他默默思考在学校所学的知识和疑点，终于使他发现了万有引力，创立微积分和进行太阳光的分解实验。
1667年3月25日，瘟疫过后，他回到剑桥大学，当选为三一学院的研究员，次年获得文学硕士学位。但他对于在家乡的研究成果，不作任何发表，这一缄默，使他卷入无数次的争论中。1668年，牛顿被选为巴洛教授的助手，协助他整理光学和几何学讲义，牛顿自己也写了数篇光学和数量的论文，得到巴洛教授的好评，同年牛顿获得硕士学位，不久伦敦皇家奖励自然科学协会，也因为牛顿发明新型「反射式望远镜」，保举他为会员。1669年10月27日，巴洛教授宣称牛顿的知识已经超过他，主动让出自己的卢卡斯教授讲座，这样年仅26岁的牛顿就成为教授。1670年，牛顿开始在剑桥大学正式上课，由于他的思想新颖艰深，很少人能理解，加上他平淡、低沉的声音，听课的学生，寥寥无几。1672年起，他被选为皇家学会会员。
1687年，牛顿的巨著「自然哲学的数学原理」出版，这是他从事科学的颠峰。
在1690年代，牛顿写许多宗教的小册子，讨论圣经的字面解释。亨利.摩尔（Henry More）在宇宙的信念和拒绝笛卡尔二元论，这些都可能影响牛顿的宗教思想。他的手稿送到洛克（John Locke），但由于一直有争论，三一学院从未公布。
五、 踏出学术界
牛顿在大学时代结识了贵族后裔查尔斯.蒙塔吉（Charles Montagu），也就是后来的哈量法克斯伯爵（Halifax），介绍了牛顿进入宫廷和上层社会。在他任财政大臣时，于1696年推荐牛顿为造币厂督办，1699年又升为厂长。当时，英国币制非常混乱，牛顿运用他的冶金学知识为英国铸造了成色十足的货币。虽然牛顿对政治不感兴趣，但1689~1690和1701~1702年间却当选为剑桥大学的代表，进入国会当议员。这时，因薪俸颇丰，生活富裕起来，造币厂的工作和社会活动繁忙，牛顿对教学工作开始厌倦，1701年他辞去剑桥教授职位，退出三一学院。
1703年虎克去世后，牛顿被选为皇家学会主席，之后年年连选连任，直到1727年他离开人世。1704年，牛顿发表他的第2个重要著作光学（Opticks），这部书大部份是过去10年所已完成的研究基础，只是为了不愿意出版给虎克看到，才延迟了出版。
六、 哲人去世
1706年，牛顿因科学研究和改革币制功勋卓著，安娜（Anne）女王赐予他贵族称号。1722年，80岁的牛顿患了风湿病、膀胱病和胆石症。1727年2月他亲自主持皇家学会在伦敦举行的一次会议时，突然病倒。3月20日凌晨1点多，牛顿在安睡中与世长辞，享年85岁。
英国政府在西敏寺（Westminster）大教堂为他举行了隆重的国葬典礼，王公、贵族、学者、名流，都来哀悼，他成为人类历史上第一个获得此项殊荣的自然科学家。牛顿终生未婚，晚年是在他的外甥女凯瑟琳．巴顿（Catharine Baton）的照顾下渡过的。
七、伟大著作
牛顿他的伟大科学贡献，对于当代和后世，都引发巨大的震撼和影响，说他是世上最伟大的科学家，应该当之无愧，现在我们再把他的成就一一详述如下：
（一）光学研究：
牛顿的主要光学著作是1704年出版的「光学」和1728年出版的「光学讲」。「光学」共有三册，第一册描述有关光的色散实验和讨论，第二册描述牛顿环实验，第三册ˋ讲的是光的绕射现象。
1. 光的理论：
（1） 光的色散：
早在1666年，牛顿就用三棱镜来实验光的色散现象，他发现太阳光经过三棱镜会产生七种颜色（如图2），但一直未发表，直到1722年，写信给奥登堡（H. Oldenburg）才提起。
图2：太阳光经过三棱镜会产生七种颜色
（2）光的粒子说：
光的本质是波动或粒子，一直争论很久，至20世纪，人们才知道光既是波动，也是粒子。有关光的特性，最早期，笛卡尔用小球的运动来解释光的反射和折射特性，他倾向粒子说，后来在荷兰物理及数学家「惠更斯」（C. Huygens）根据虎克（R. Hooke）的思想提出波动说，牛顿成为卢卡斯讲座的教授，也教授光学，便于1672年，发表光的粒子说。在一篇「有关光和色的新理论」论文中，他认为光的直线进行、反射、折射等性质，都可以证明光具有粒子的特性。牛顿的粒子说一发表，立即受到波动说拥护者「虎克」激烈的反驳，二人于是不相来往，后来一度和解，但又发生万有引力，究竟谁最先发现的？又开始争辩起来。
（3）牛顿环（Newton’s Ring）
牛顿环是光的一种干涉现象，可用它来证明光具有波动性质，可惜惠更斯当时没有去研究它，反而首先由牛顿发现，并作了十分精彩的研究。牛顿将一个平凸透镜，放在平板上，使用单色光照射时，发现用肉眼就可以看到圆形条纹（牛顿环）如图3，他仔细地测量前6个暗环和亮环的半径，并找出正确的数学关系，还正确的算出故暗环和亮环处的空气厚度，但由于他不承认光具有波动性，故未能从此实验得出正确的理论。今天牛顿环可用光的波动理论，圆满说明。
图3：牛顿将一个平凸透镜，放在平板上（上图），使用单色光照射时，发现用肉眼就可以看到圆形条纹（牛顿环）（下图）
2. 第一架反射式望远镜
1668年，牛顿为了避免折射望远镜的色像差，亲手制作了第一具，反射式望远镜（如图4），这也是一件了不起的望远镜重大突破。
图4：牛顿制造的反射式望远镜
（二）万有引力定律的发现
牛顿被公认为世界上最伟大的科学家，最主要原因可能是因为发现了万有引力定律。关于牛顿发现万有引力定律的轶事，非常脍炙人口。
传说牛顿在伦敦大鼠疫时，在乡下老家居住时，一个怡人的秋夜，坐在苹果树下，一面望着月亮，一面沉思。忽然一颗苹果掉落到地上。牛顿立刻想到：「为什么所有的东西一旦失去支撑，就会堕落，月亮没有什么东西支撑着，那么月亮为什么不会下堕呢？」牛顿想到一定是地球有一种力量吸引着它。（图5），这个故事，最初被记载在著名哲学家「伏尔泰」（F.M.A. Voltaire）的著作中，其来源据说得自牛顿的甥女「凯瑟琳．巴顿」（Catharine Baton）。但究竟有没有苹果的故事？多年来一直是人们讨论的事，但根据牛顿在1714年的信件，可以证明，在伦敦大鼠疫时，牛顿就已发现万有引力定律。他在信上写道：
「这一年，我开始想到月球绕地球是靠着重力，我也从刻卜勒的行星绕太阳的周期平方和该行星绕太阳的平均距离的立方成正比的关系，推断使行星保持在椭圆轨道运行的力量，必定与行星到轨道中心距离的平方成反比。我把月球保持在它绕地球所需的力和地球表面的重力作比较，发现二者几乎相等。这些发现都是1665年和1666年鼠疫年代所想出来的。」
牛顿后来将他的引力定律加以研讨与发挥，成为万有引力定律，即：宇宙间的每一个物质与其他物质之间均会有互相吸引的力量，此力量与二物质质量的乘积成正比，与二者距离平方成反比。他又创立计算慧星轨道的法则，也证明太阳与月亮的引力是促成地球海洋发生潮汐的原因。
图5：牛顿因苹果从树上落下，碰到脑袋因而发现万有引力定律。
（三）巨著「自然哲学的数学原理」与牛顿运动三大定律
1687年，牛顿出版了他划时代经典著作「自然哲学的数学原理」，这本书可说是科学发展的历史过程中最重要的一个里程碑，它不仅奠定了天体力学的基础，而且使古典力学形成一个完整的体系。是一部结构严谨的科学著作。被称为17世纪物理与数学的百科全书。
「自然哲学的数学原理」的出版，完全出于偶然，当时著名的年轻天文学家哈雷（E. Halley）为思考：「什么的引力，会使行星绕太阳？」这个问题在伦敦皇家学会辩论很久，当哈雷向牛顿请教时，牛顿立刻说是平方成反比的引力，当他知道牛顿在二年前就已经算出来时，大感惊讶！向牛顿索取时，牛顿因书桌上杂乱，找不到原稿，又迅速计算出来，交给哈雷。这时哈雷才知道，牛顿杂乱的书桌上，堆满许多尚未发表的巨着。他遂建议由他斥资，将至这份著作出刊，牛顿也同意这个看法。这本书共分三篇，内容如下：
1. 第一篇，首先对一系列力学基本名词，如质量、动量、惯性、力、 向心力，下了定义。接着陈述著名的牛顿运动三大定律。这三大定律是：
(1) 第一运动定律：物体不受外力时，静者恒静止，动者沿一直线作等速运动。
(2) 第二运动定律：物体的动量的改变率，等于作用于物体的外力。
(3) 第三运动定律：凡有一作用力，同时必有一反作用力，二者量相 等，而方向相反。
此外，第一篇中还提出了严谨的天体力学理论，向心力和运动轨道之间的数学关系。并证明了「在与距离平方成反比的作用下，物体将沿圆锥曲线运动，引力中心在圆锥曲线的一个焦点上，此外还证明了球体引力与质量集中在球心的质点相同。」
2. 第二篇讨论有阻力之下的运动，是流体力学的开端。书中提出阻力大小与物体速度的一次及二次方成正比的公式。还研究了气体的弹性和可压缩性，以及空气中的声速等问题，这为牛顿提供了一个展示他数学技巧的舞台。他在这一篇，批评笛卡尔的漩涡理论。
3. 第三篇系以前面二篇为基础，推导运动规则，去解释自然界的现象，讨论了太阳系的行星、行星的卫星和彗星的运行，以及海洋潮汐的产生，最后以「论宇宙体系」作为总结。
（四）微积分的发明
牛顿在数学方面划时代的贡献是发明微积分，1665年5月20日，牛顿开始写「流数法」（也就是我们现代所称的微积分）。牛顿称连续变量为「流动量」（fluent或 flowing quantities），用u、v、x、y、x来表示。称这些流动量的导数为流动率（fluxion of the fluent），或叫速度（velocities）。用小数点来表示，如 分别表示x、y、x的流动率。时间是所有x、y、x流动量的自变量，
相当于莱布尼兹（G.W. Leibniz）的dx/dt, dy/dt, dz/dt的符号。牛顿虽然在大学时，就创造了微积分，可是除了巴洛教授以外，他没有向任何人提起，直到1736年才发表，在这期间，莱布尼兹也提出几乎相同的方法，引起英国学界与德国学界，为了谁是微积分的发明人，争论不休。
（五）最速降线（brachistochrone）问题
1696年，瑞士数学家约翰.伯努利（John Bernoulli）提出一道问题向全世界数学家挑战，他提出的问题是「设A、B二点（不在垂直线上），且A点高于B点，求一曲线，使一质点在重力的作用下，从高点A沿着此曲线下滑到低点B的时间最短。」它的答案是摆线（解答如图6）。
这个问题后来因为导致数学「变分学」的产生，格外出名。当英国皇家协会收到这个问题后，就交给牛顿，第二天牛顿就将问题解答出来，他把答案不附签名寄给约翰.伯努利，伯努利一看就知道是牛顿的杰作。他说：「看到爪印，就知道是老虎的。」意思是说，看到解答的迅速和详实，就知道是牛顿准没错。
图6：从高点A沿着此摆线下滑到低点B的时间最短。
（六）在数值分析上，牛顿也占有一席的地位，贡献很多。最著名的有牛顿法，它是求非线性方程式f(x)=0的实根x0近似值的一种方法其他尚有三八律可计算积分的近似值、牛顿插值公式。
（七）三次曲线研究
牛顿三叉线的方程是为：xy= ax3+ bx2+cx+ d(a≠0)的三次曲线，它与x轴有一个或三个交点。若d≠0，则y轴为渐近线若d＝0，则方程式可分解为x＝0（y轴）和y＝ax2+bx+c（拋物线）。牛顿在「光学」这部著作中的附录，发表了「三次曲线」的近似解法，用解析几何的方法研究三次曲线。
（八）圆周率π值的计算
牛顿也曾将π值计算到十六位的数字，这是1742年，牛顿死后才出版的，一本「求导与无穷级数方法」得到此结果。这个方法用现代符号计算如下：
如图8，先用积分求曲线下的面积为：
再利用他发现的二项式定理得：
由(1)和(2)得：
以x=1/2代入
，得：
如此牛顿一口气算出16位数字的π值。
图7：牛顿算π的图形