正多面体漫谈 江铭辉 五梦网
一、 正多面体的历史
数学史的文献中，有许多是关于正多面体的故事，它们特有的美感和对称性，深深吸引了各时代的人们，据说古埃及人可能就已经知道一些正多面体（但没有实际证据），毕达哥拉斯学派的信徒（约公元前500年）发现了三种正多面体（即正4、6、20面体）。后来柏拉图学派的成员〈泰特托斯〉（Theaetetus）又发现正8面体及正12面体。古希腊哲学家柏拉图（约公元前400年）在他的著作中，将正多面体与宇宙构成的4个基本元素（火、土、空气、水）联系在一起，他说：「四面体、八面体、二十面体及六面体分别构成火、土、气、水四种基本元素，而正十二面体则是构成天上物质的精英（图1）。」后人就称正多面体为柏拉图多面体。
图1：柏拉图首先对五种正多面体作了描述，并将这五种多面体与火、地、气、水、宇宙联系在一起
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正4面体
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火
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正6面体
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土
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正8面体
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空气
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正12面体
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水
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正20面体
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宇宙
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欧基里德（约公元前300年）在他的13卷名著「几何原本」的最后一卷，几乎全是讨论正多面体，并且证明只有这5个正多面体存在。
经过好几世纪，柏拉图的宇宙论被大天文学家克卜勒（J. Kepler，德国人，公元1571～1630年）应用在行星绕太阳的规道。1596年，年仅25岁的克卜勒发表了〈宇宙的神秘〉一书，该书构想十分奇特，书中提出一种看法。他巧妙将5种正多面体配合6个行星（当时仅知道五大行星和地球），将这6个行星的轨道所在的球面正好顺次“外接和内切”这5种正多面体，即任意两相邻行星之间都存在着一种正多面体，其外接球代表外面那颗行星的轨道大小，而其内切球代表里面那颗行星的轨道大小（图2）。他认为它们之间的关系是：水星〈正八面体〉金星〈正二十面体〉地球〈正十二面体〉火星〈正四面体〉木星〈正立方体〉土星。
经计算后，克卜勒设想的这些外接球和内切球的半径之比确实与各行星到太阳的距离比符合得很好。克卜勒认为他已找到了行星距离规律的金钥匙。〈宇宙的神秘〉出版后，克卜勒把它寄赠给当时许多有名的天文学家，如伽利略（Galileo Galilei，意大利人，公元1564～1642年），弟谷（Tycho Brahe，丹麦人，公元1546～1601年）等人，弟谷读了此书后，赞赏克卜勒用正多面体来阐明行星距离关系的努力是一种聪明又能自圆其说的奇想。尽管他本人并不同意这一见解，但却很欣赏克卜勒的才华。后来克卜勒成为弟谷的得意助手，弟谷也将他毕生观察天文的资料遗留给他，使他发现了行星运动三大定律。
今天我们可以在食盐结晶中看到正4面体和立方体，在铬明矾的结晶中看到正8面体，在海洋小生物中的骨架看到正12面体和正20面体，似乎另人惊讶，确实这些渊源久远的柏拉图多面体，它描述某些物质的基本构造。
图2：克卜勒用5种正多面体的外接球与内切球来描述行星到太阳的距离关系，赢得弟谷的赞赏。
二、 正多面体形状的解剖
下图是正4面体、正6面体、正8面体、正12面体、正20面体的解剖。
1.正4面体：
正4面体外观如图3a，解剖后，如图3b，正4面体有4面，每面为正三角形。
图3a：正4面体外观
图3b：正4面体解剖
图3：正4面体外观及解剖
2.正6面体：
正6面体外观如图4a，解剖后，如图4b，正6面体有6面，每面为正方形。
图4a：正6面体外观
图4b：正6面体解剖
图4：正6面体外观及解剖
3.正8面体：
正8面体外观如图5a，解剖后，如图5b，正8面体有8面，每面为正三角形。
图5a：正8面体外观
图5b：正8面体解剖（图5a的60%）
图5：正8面体外观及解剖
4.正12面体：
正12面体外观如图6a，解剖后，如图6b，正12面体有12面，每面为正5边形。
图6a：正12面体外观
图6b：正12面体解剖（图6a的60%）
图6：正12面体外观及解剖
5.正20面体：
正20面体外观如图7a，解剖后，如图7b，正20面体有20面，每面为正三角形。
图7a：正20面体外观
图7b：正20面体解剖（图7a的60%）
图7：正20面体外观及解剖
三、 正多面体的顶点数、面数与棱线
1.欧拉公式
欧拉（Leonard Euler, 1707~1783）是瑞士著名的数学家，他在数学上的诸多贡献很多，诸如：睿智的分析七桥问题，及对多面体的研究而创立拓朴学，虽然早他100多年的笛卡儿就已经知道了正多面体的顶点数、面数与棱线之间的关系。但欧拉还是独立发现了这个公式，而且世人也以他来命名。这个公式是：
欧拉公式：
若一多面体的V是顶点数（Vertices），F是面数（Faces），E是棱线数（Edges），则：
V＋F＝E＋2
2.计算正多面体的顶点数、面数与棱线，请先别用欧拉公式，先实际计算，你就可得到下表。
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正多面体
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顶点数（V）
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面数（F）
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棱线数（E）
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正4面体
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4
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4
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6
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正6面体
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8
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6
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12
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正8面体
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6
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8
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12
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正12面体
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20
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12
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30
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正20面体
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12
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20
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30
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3.验证
再由欧拉公式计算各正多面体的顶点数、面数与棱线的关系，验证上表是否都满足V＋F＝E＋2的欧拉公式？（当然全部满足）