正多面體漫談 江銘輝 五夢網
一、 正多面體的歷史
數學史的文獻中，有許多是關於正多面體的故事，它們特有的美感和對稱性，深深吸引了各時代的人們，據說古埃及人可能就已經知道一些正多面體（但沒有實際證據），畢達哥拉斯學派的信徒（約西元前500年）發現了三種正多面體（即正4、6、20面體）。後來柏拉圖學派的成員〈泰特托斯〉（Theaetetus）又發現正8面體及正12面體。古希臘哲學家柏拉圖（約西元前400年）在他的著作中，將正多面體與宇宙構成的4個基本元素（火、土、空氣、水）聯繫在一起，他說：「四面體、八面體、二十面體及六面體分別構成火、土、氣、水四種基本元素，而正十二面體則是構成天上物質的精英（圖1）。」後人就稱正多面體為柏拉圖多面體。
圖1：柏拉圖首先對五種正多面體作了描述，並將這五種多面體與火、地、氣、水、宇宙聯系在一起
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正4面體
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火
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正6面體
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土
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正8面體
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空氣
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正12面體
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水
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正20面體
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宇宙
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歐基里德（約西元前300年）在他的13卷名著「幾何原本」的最後一卷，幾乎全是討論正多面體，並且證明只有這5個正多面體存在。
經過好幾世紀，柏拉圖的宇宙論被大天文學家克卜勒（J. Kepler，德國人，西元1571～1630年）應用在行星繞太陽的規道。1596年，年僅25歲的克卜勒發表了〈宇宙的神秘〉一書，該書構想十分奇特，書中提出一種看法。他巧妙將5種正多面體配合6個行星（當時僅知道五大行星和地球），將這6個行星的軌道所在的球面正好順次“外接和內切”這5種正多面體，即任意兩相鄰行星之間都存在著一種正多面體，其外接球代表外面那顆行星的軌道大小，而其內切球代表裡面那顆行星的軌道大小（圖2）。他認為它們之間的關係是：水星〈正八面體〉金星〈正二十面體〉地球〈正十二面體〉火星〈正四面體〉木星〈正立方體〉土星。
經計算後，克卜勒設想的這些外接球和內切球的半徑之比確實與各行星到太陽的距離比符合得很好。克卜勒認為他已找到了行星距離規律的金鑰匙。〈宇宙的神秘〉出版後，克卜勒把它寄贈給當時許多有名的天文學家，如伽利略（Galileo Galilei，意大利人，西元1564～1642年），弟谷（Tycho Brahe，丹麥人，西元1546～1601年）等人，弟谷讀了此書後，讚賞克卜勒用正多面體來闡明行星距離關係的努力是一種聰明又能自圓其說的奇想。儘管他本人並不同意這一見解，但卻很欣賞克卜勒的才華。後來克卜勒成為弟谷的得意助手，弟谷也將他畢生觀察天文的資料遺留給他，使他發現了行星運動三大定律。
今天我們可以在食鹽結晶中看到正4面體和立方體，在鉻明礬的結晶中看到正8面體，在海洋小生物中的骨架看到正12面體和正20面體，似乎另人驚訝，確實這些淵源久遠的柏拉圖多面體，它描述某些物質的基本構造。
圖2：克卜勒用5種正多面體的外接球與內切球來描述行星到太陽的距離關係，贏得弟谷的讚賞。
二、 正多面體形狀的解剖
下圖是正4面體、正6面體、正8面體、正12面體、正20面體的解剖。
1.正4面體：
正4面體外觀如圖3a，解剖後，如圖3b，正4面體有4面，每面為正三角形。
圖3a：正4面體外觀
圖3b：正4面體解剖
圖3：正4面體外觀及解剖
2.正6面體：
正6面體外觀如圖4a，解剖後，如圖4b，正6面體有6面，每面為正方形。
圖4a：正6面體外觀
圖4b：正6面體解剖
圖4：正6面體外觀及解剖
3.正8面體：
正8面體外觀如圖5a，解剖後，如圖5b，正8面體有8面，每面為正三角形。
圖5a：正8面體外觀
圖5b：正8面體解剖（圖5a的60%）
圖5：正8面體外觀及解剖
4.正12面體：
正12面體外觀如圖6a，解剖後，如圖6b，正12面體有12面，每面為正5邊形。
圖6a：正12面體外觀
圖6b：正12面體解剖（圖6a的60%）
圖6：正12面體外觀及解剖
5.正20面體：
正20面體外觀如圖7a，解剖後，如圖7b，正20面體有20面，每面為正三角形。
圖7a：正20面體外觀
圖7b：正20面體解剖（圖7a的60%）
圖7：正20面體外觀及解剖
三、 正多面體的頂點數、面數與稜線
1.歐拉公式
歐拉（Leonard Euler, 1707~1783）是瑞士著名的數學家，他在數學上的諸多貢獻很多，諸如：睿智的分析七橋問題，及對多面體的研究而創立拓樸學，雖然早他100多年的笛卡兒就已經知道了正多面體的頂點數、面數與稜線之間的關係。但歐拉還是獨立發現了這個公式，而且世人也以他來命名。這個公式是：
歐拉公式：
若一多面體的V是頂點數（Vertices），F是面數（Faces），E是稜線數（Edges），則：
V＋F＝E＋2
2.計算正多面體的頂點數、面數與稜線，請先別用歐拉公式，先實際計算，你就可得到下表。
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正多面體
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頂點數（V）
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面數（F）
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稜線數（E）
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正4面體
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4
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4
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6
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正6面體
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8
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6
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12
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正8面體
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6
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8
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12
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正12面體
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20
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12
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30
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正20面體
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12
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20
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30
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3.驗證
再由歐拉公式計算各正多面體的頂點數、面數與稜線的關係，驗證上表是否都滿足V＋F＝E＋2的歐拉公式？（當然全部滿足）