莱布尼兹 ＜微积分发明人＞ 江铭辉 五梦网
图1：莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz；图1）德国数学家、物理学家、哲学家，他从几何角度发明微积分，发明二进制运算制，并用它改良帕斯卡的计算器。
莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz；图1）德国数学家、物理学家、哲学家，他从几何角度发明微积分，发明二进制运算制，并用它改良帕斯卡的计算器，使它成为可以进行乘除、平方、开方的计算器。他可说是现代计算器的先驱者，也研究悬链线（Catenary）的性质，并引入「行列式」及函数的概念。在哲学上，他是客观唯心主义者，他生于公元1646年，死于公元1716年。
公元1646年，莱布尼兹生于德国的莱比锡，1716年卒于海诺威。父亲是莱比锡大学伦理学教授，在莱布尼兹7岁时去逝，留下丰富藏书，为他提供良好的学习环境。莱布尼兹自幼就学习运用多种语言表达思想，并表现超常的哲学天赋。14岁时对逻辑发生兴趣，经常提出自己独特的见解。1661年，他十六岁时，进入莱比锡大学（Univ. of Leipzig）学习法律，1664年取得哲学硕士。1666年取得阿尔特道夫（Altdorf：靠近纽伦堡「Nuremberg」）大学的博士学位，论文是论法律上复杂的案件（On Complex Cases at Law），但莱比锡大学却认为他年纪太轻，而拒绝承认他这个学位，他只有离开莱比锡迁居到纽伦堡。
1666年到梅恩兹选帝侯（the Elector of Mainz）门下供职。1672年作为选帝侯的大使，他被派到巴黎进行外交任务，企图说服法国进攻埃及，以减轻法国对荷兰、德国的威胁。虽然任务没有完成，但在巴黎他结识了许多数学家和科学家，特别是哲学家梅尔勃兰许（N. De Malebranche）；数学、物理学家惠更斯（Christiaan Huygens），激起他对数学的兴趣。在此期间，他改进帕斯卡（Blaise Pascal）早年发明的计算器成为可以进行乘除、平方、开方运算的计算器。1673年他又到伦敦作外交任务，逗留三个月，又识了一些数学家和科学家界名流如波义尔（R. Boyle）和英国皇家学院秘书奥尔登堡（H.Oldenburg），并在同年稍后被选入为皇家学会的成员，在回巴黎后，他由原来服务的梅恩兹选帝侯转到服务约翰.腓特烈（John Frederick），他系布伦斯维克.吕内堡（Brunswick-Lüneburg）的公爵。
1676年他来到莱纳河畔汉诺威（Hannover），担任腓特烈公爵（Duke John Frederick）的顾问及图书馆馆长。他经常游历于伦敦和阿姆斯特丹（Amsterdam），在阿姆斯特丹他与哲学大师，史宾诺沙（B. Spinoza）相识，并给予史宾诺沙他尚未出版的伦理学批注。1682年，他和门客奥图.门克（Otto Mencke）创办了＜博学文摘＞（Acta Eruditorum），并且当了主编。他的大部分数学论文都在这本杂志上发表。这本杂志广泛流传在欧洲大陆。
1687年到1690年，他从德国旅游到意大利，进行公众的数据收集，以撰写历史。后来因故与主公，发生误会，而疏远。于是他就到柏林、维也纳另行发展。他以其真才实学获得良好的荣誉。
1700年，他被选为巴黎法国科学院院士，又创办了柏林科学院，并出任院长。
莱布尼兹生命的最后七年是在痛苦中渡过。当时以德国为首的大陆学派和英国学派正为「莱布尼兹或牛顿（I. Newton）是否各自独立发现微积分而争论不休」。
1714年，他的东家布伦斯威克公爵成为英国的国王，将他留在汉诺威，没有带他去就职。两年后，1716年，他去逝了，只有他忠实的秘书参加他的葬礼。
莱布尼兹曾卷入各种政治斗争，但他始终没有中断他的科学研究，他的研究是广泛的，涉及逻辑、数学、力学、地质、法学、历史、语言与哲学。其贡献如下：
一、 二进制运算制
1654年，帕斯卡设计了人类历史上一台机械式计算器，这台机计算器只能作算数加法，帕斯卡发明加法算数机的消息传到莱布尼兹的耳中，他便到法国参观这台机器。1694年，莱布尼兹经过23年的努力制造一部机器，它不仅能进行加、减法，而且亦能进行乘、除的计算。他不仅制造了计算器，同时还创造了另一有意义的重大发明「二进制运算制」。它的发明奠定了未来计算器革命的基础。莱布尼兹在构想新计算器时，收到了在康熙皇帝身边工作的法国传教士--鲍维特（Bouvet）的来信，信中寄来了一本易经的二张图（伏羲六十四卦次序图和伏羲六十四卦方位图），易经中象征中国古文化的八挂图（图2），引起他的兴趣。他对八挂进行研究，发现它是由两种元素（─，--）排列组合而成。由此启发，进而发现了二进制运算制。莱布尼兹创造计算器及在数学上的成就，使他成为巴黎科学院的院士和英国皇家学会的会员，他也没有忘记八挂给他的灵感，说：「我的计算方法是由中国八卦得来。」，他并把自己发明的计算器复制一个送给康熙皇帝。
图2：伏羲的八卦创意，启发莱布尼兹发现了二进制运算制。
二、 发明微积分
莱布尼兹发明的微积分与牛顿的微积分有些不同：
第一：牛顿的微积分是从运动学的观点出发，而莱布尼兹的微积分则从几何角度去考虑。
第二：莱布尼兹的微积分符号被大量的现代数学家采用，而牛顿的微积分符号仅有少数使用在物理学上。
第三：莱布尼兹于1684年发表世界上第一篇微积分论文，而牛顿虽然于1665年就发现微积分，不过没有发表，此事引发18世纪大陆学派和英国学派正为「谁是微积分的发明者？而争论不休。」
莱布尼兹是在1673~1676年发明微积分的（据说他于1673年在伦敦逗留三个月，也是引起英国学派怀疑他抄袭牛顿微积分的争论）。1675年10月29日，他一次用拉长的大写S字母（拉丁自Summa第一个字母），表示积分，几周之后，他写出了∫ ydx，∫ ydx这样的积分符号。直到1684年他才发表第一篇微积分的论文。在这篇论文他引用dx，dy作为任意有限区间，此处的d是differential的意思。他更进一步将dx/dy定为两个无穷小相除的商。在我们的微积分学中有许多基本原则是莱布尼兹推出的，例如：莱布尼兹法则（Leibniz' Rule ）：
如果y = u(x)v(x)，则对于x的n阶导数为：
由于莱布尼兹所创的微积分符号（dx/dy，∫）优于牛顿的符号（
），所以他的微积分在欧洲大陆迅速传开，第一本微积分课本是1696洛必达（Marquis de L’Hospital）写的，书名是＜阐明曲线的无穷小分析＞。
三、 逻辑发展
逻辑的发展成为科学，大致分为三阶段，弟一阶段是古希腊最先开始真正的分析推理过程，代表人是亚理斯多德，他被称为「传统逻辑学之父」，所谓传统逻辑学就是三段论法，它的典型例子是：凡人都会死，苏格拉底是人，所以苏格拉底会死。弟二阶段是逻辑学的转变期，以莱布尼兹为代表人物，他曾认真试图将「符号逻辑」引入逻辑学，使逻辑成为推理的通用语言。可惜他始终未能提出一套可用的符号逻辑。唯一的一个符号是他用""来表示四则运算的「乘」，但不被采用，反而被集合论采用了。逻辑发展的第三阶段，也是最重要的阶段是十九世纪，代表人布尔（George Boole）的符号逻辑是当中的佼佼者。
四、 研究悬链线和最短时间曲线
1.悬链线研究：
莱布尼兹受惠更斯（C. Huygens ）的影响也研究悬链线的几何问题，悬链线问题是微分方程论中一个著名问题，它是：将一根柔软不能伸缩的均匀密度炼，将两端挂在不在同一垂足在线的两支点上，求链子所成的曲线。莱布尼兹、惠更斯及约翰.柏努力（Johann Bernoulli）各用不同方法给了解答。
2.最短时间曲线
1630年意大利科学家—伽利略（G. Galilei）提出最速降线（brachistochrone）问题：设A、B是不在铅直线上的两点，一质点在重力作用下以最短的时间自A点运动到B点，请问质点所通过的路径该是什么曲线？伽利略在提出当初误认为是圆弧。1696年，瑞士数学家约翰.伯努利重新提出向他的兄长雅各布.伯努利（Jacob Bernoulli）以及世界上所有数学名家挑战。由于问题困难度极高且具内涵和富有挑战性，因此引起当时数学家们极大兴趣。解出来的人，除了莱布尼兹外，还有伯努利兄弟、牛顿、和名数学家洛必达等人，正确的答案原来是一条摆线（cycloid）的一段弧（如图3）。
图3：最速降线的问题。答案是摆线的一段弧。
五、 引入行列式概念
行列式理论是莱布尼兹考虑关于齐次线性方程式的形式时创立的，1693年，他在致洛必达的一封信说他有一个创新，是利用双重码的方程系数。可惜并没有发表，因而它们究竟长什么样子，不得而知。
六、 二项式定理的推广
把二项式定理(a+b)n推广到(a+b+c………+m)n的多项展开式定理，首先由莱布尼兹开始。
七、 函数概念引入
函数是莱布尼兹于1694年最先从拉丁文引进的术语，它最初是表示与曲线相关连系的量，例子：曲线上点的坐标；曲线的斜率；曲线的曲率半径……等等。函数最终，也是目前通行的定义是由狄利克雷（L. Dirichlet）所定义的，它的定义是：对x的每一个值，如果y有完全确定的值与之对应，则称y为x的函数。
八、 单子论
单子(Monad)的理论，是说宇宙是由一些基本单位所组成的复合体。单子的观念，文艺复兴时代的古撒努斯(Nicolaus Cusanus)，认为个物是反映宇宙的单位。布鲁诺(Giodano Bruno)区分三种「最小」概念：数学的极微是点，点是构成线，线构成面、体；物理学的极微是原子，它们构成所有物体；哲学上的极微是单子。单子是无限的世界活力，永恒的原动力；一切物体都有生灭变化，单子本身则是不灭。以上的说法都尚欠完整的系统，直到近代，德国大哲莱布尼兹才完成严密的单子论体系。他在其大作单子论(Monadology)一书的开头说：「单子是构成复合组织的单纯实体；所谓单纯意指不具部分。」根据这个定义，单子既没有部分，则当然就不能具有延伸和形式，也不可分，因此，不是通常所称的原子。单子是事物的要素，就每一个单子内在本质而言，都完全不同于其他的单子，但整个宇宙却构成多元的单子之调和系统。每一个单子都有其本身的内在结构与作用法则。每个单子都是一个独立自主的小宇宙，虽然彼此无直接关系，但却在上帝的安排下，有着预定的调和秩序（柏拉图的宇宙观）。上帝是单子中的单子；依单子之知觉程度而言，上帝最高，物质最低，其间绵密地连续着的，因此非心物二元论。低度知觉的单子只具有「混杂或微小的知觉」，既不明晰，也无记忆和意识等作用，例如植物就是由此类单子构成。至于动物则为具有较高度知觉的单子，称之为灵魂。至于人的灵魂，由于具有意识作用所伴随的知觉，故称之为理性灵魂或精神。