萊布尼茲 ＜微積分發明人＞ 江銘輝 五夢網
圖1：萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz；圖1）德國數學家、物理學家、哲學家，他從幾何角度發明微積分，發明二進位運算制，並用它改良帕斯卡的計算機。
萊布尼茲（Gottfried Wilhelm Leibniz；圖1）德國數學家、物理學家、哲學家，他從幾何角度發明微積分，發明二進位運算制，並用它改良帕斯卡的計算機，使它成為可以進行乘除、平方、開方的計算機。他可說是現代計算機的先驅者，也研究懸鏈線（Catenary）的性質，並引入「行列式」及函數的概念。在哲學上，他是客觀唯心主義者，他生於西元1646年，死於西元1716年。
西元1646年，萊布尼茲生於德國的萊比錫，1716年卒於海諾威。父親是萊比錫大學倫理學教授，在萊布尼茲7歲時去逝，留下豐富藏書，為他提供良好的學習環境。萊布尼茲自幼就學習運用多種語言表達思想，並表現超常的哲學天賦。14歲時對邏輯發生興趣，經常提出自己獨特的見解。1661年，他十六歲時，進入萊比錫大學（Univ. of Leipzig）學習法律，1664年取得哲學碩士。1666年取得阿爾特道夫（Altdorf：靠近紐倫堡「Nuremberg」）大學的博士學位，論文是論法律上複雜的案件（On Complex Cases at Law），但萊比錫大學卻認為他年紀太輕，而拒絕承認他這個學位，他只有離開萊比錫遷居到紐倫堡。
1666年到梅恩茲選帝侯（the Elector of Mainz）門下供職。1672年作為選帝侯的大使，他被派到巴黎進行外交任務，企圖說服法國進攻埃及，以減輕法國對荷蘭、德國的威脅。雖然任務沒有完成，但在巴黎他結識了許多數學家和科學家，特別是哲學家梅爾勃蘭許（N. De Malebranche）；數學、物理學家惠更斯（Christiaan Huygens），激起他對數學的興趣。在此期間，他改進帕斯卡（Blaise Pascal）早年發明的計算機成為可以進行乘除、平方、開方運算的計算機。1673年他又到倫敦作外交任務，逗留三個月，又識了一些數學家和科學家界名流如波義爾（R. Boyle）和英國皇家學院秘書奧爾登堡（H.Oldenburg），並在同年稍後被選入為皇家學會的成員，在回巴黎後，他由原來服務的梅恩茲選帝侯轉到服務約翰.腓特烈（John Frederick），他係布倫斯維克.呂內堡（Brunswick-Lüneburg）的公爵。
1676年他來到萊納河畔漢諾威（Hannover），擔任腓特烈公爵（Duke John Frederick）的顧問及圖書館館長。他經常游歷於倫敦和阿姆斯特丹（Amsterdam），在阿姆斯特丹他與哲學大師，史賓諾沙（B. Spinoza）相識，並給予史賓諾沙他尚未出版的倫理學批註。1682年，他和門客奧圖.門克（Otto Mencke）創辦了＜博學文摘＞（Acta Eruditorum），並且當了主編。他的大部分數學論文都在這本雜誌上發表。這本雜誌廣泛流傳在歐洲大陸。
1687年到1690年，他從德國旅遊到義大利，進行公眾的資料收集，以撰寫歷史。後來因故與主公，發生誤會，而疏遠。於是他就到柏林、維也納另行發展。他以其真才實學獲得良好的榮譽。
1700年，他被選為巴黎法國科學院院士，又創辦了柏林科學院，並出任院長。
萊布尼茲生命的最後七年是在痛苦中渡過。當時以德國為首的大陸學派和英國學派正為「萊布尼茲或牛頓（I. Newton）是否各自獨立發現微積分而爭論不休」。
1714年，他的東家布倫斯威克公爵成為英國的國王，將他留在漢諾威，沒有帶他去就職。兩年後，1716年，他去逝了，只有他忠實的秘書參加他的葬禮。
萊布尼茲曾捲入各種政治鬥爭，但他始終沒有中斷他的科學研究，他的研究是廣泛的，涉及邏輯、數學、力學、地質、法學、歷史、語言與哲學。其貢獻如下：
一、 二進位運算制
1654年，帕斯卡設計了人類歷史上一台機械式計算機，這台機計算機只能作算數加法，帕斯卡發明加法算數機的消息傳到萊布尼茲的耳中，他便到法國參觀這台機器。1694年，萊布尼茲經過23年的努力製造一部機器，它不僅能進行加、減法，而且亦能進行乘、除的計算。他不僅製造了計算機，同時還創造了另一有意義的重大發明「二進位運算制」。它的發明奠定了未來計算機革命的基礎。萊布尼茲在構想新計算機時，收到了在康熙皇帝身邊工作的法國傳教士--鮑維特（Bouvet）的來信，信中寄來了一本易經的二張圖（伏羲六十四卦次序图和伏羲六十四卦方位图），易經中象徵中國古文化的八掛圖（圖2），引起他的興趣。他對八掛進行研究，發現它是由兩種元素（─，--）排列組合而成。由此啟發，進而發現了二進位運算制。萊布尼茲創造計算機及在數學上的成就，使他成為巴黎科學院的院士和英國皇家學會的會員，他也沒有忘記八掛給他的靈感，說：「我的計算方法是由中國八卦得來。」，他並把自己發明的計算機複製一個送給康熙皇帝。
圖2：伏羲的八卦創意，啟發萊布尼茲發現了二進位運算制。
二、 發明微積分
萊布尼茲發明的微積分與牛頓的微積分有些不同：
第一：牛頓的微積分是從運動學的觀點出發，而萊布尼茲的微積分則從幾何角度去考量。
第二：萊布尼茲的微積分符號被大量的現代數學家採用，而牛頓的微積分符號僅有少數使用在物理學上。
第三：萊布尼茲於1684年發表世界上第一篇微積分論文，而牛頓雖然於1665年就發現微積分，不過沒有發表，此事引發18世紀大陸學派和英國學派正為「誰是微積分的發明者？而爭論不休。」
萊布尼茲是在1673~1676年發明微積分的（據說他於1673年在倫敦逗留三個月，也是引起英國學派懷疑他抄襲牛頓微積分的爭論）。1675年10月29日，他一次用拉長的大寫S字母（拉丁自Summa第一個字母），表示積分，幾周之後，他寫出了∫ ydx，∫ ydx 這樣的積分符號。直到1684年他才發表第一篇微積分的論文。在這篇論文他引用dx，dy作為任意有限區間，此處的d是differential的意思。他更進一步將dx/dy定為兩個無窮小相除的商。在我們的微積分學中有許多基本原則是萊布尼茲推出的，例如：萊布尼茲法則（Leibniz' Rule ）：
如果y = u(x)v(x)，則對於x的n階導數為：
由於萊布尼茲所創的微積分符號（dx/dy，∫）優於牛頓的符號（
），所以他的微積分在歐洲大陸迅速傳開，第一本微積分課本是1696洛必達（Marquis de L’Hospital）寫的，書名是＜闡明曲線的無窮小分析＞。
三、 邏輯發展
邏輯的發展成為科學，大致分為三階段，弟一階段是古希臘最先開始真正的分析推理過程，代表人是亞理斯多德，他被稱為「傳統邏輯學之父」，所謂傳統邏輯學就是三段論法，它的典型例子是：凡人都會死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底會死。弟二階段是邏輯學的轉變期，以萊布尼茲為代表人物，他曾認真試圖將「符號邏輯」引入邏輯學，使邏輯成為推理的通用語言。可惜他始終未能提出一套可用的符號邏輯。唯一的一個符號是他用" "來表示四則運算的「乘」，但不被採用，反而被集合論採用了。邏輯發展的第三階段，也是最重要的階段是十九世紀，代表人布爾（George Boole）的符號邏輯是當中的佼佼者。
四、 研究懸鏈線和最短時間曲線
1.懸鏈線研究：
萊布尼茲受惠更斯（C. Huygens ）的影響也研究懸鏈線的幾何問題，懸鏈線問題是微分方程論中一個著名問題，它是：將一根柔軟不能伸縮的均勻密度鍊，將兩端掛在不在同一垂足線上的兩支點上，求鍊子所成的曲線。萊布尼茲、惠更斯及約翰.柏努力（Johann Bernoulli）各用不同方法給了解答。
2.最短時間曲線
1630年義大利科學家—伽利略（G. Galilei）提出最速降線 （brachistochrone）問題：設A、B是不在鉛直線上的兩點，一質點在重力作用下以最短的時間自A點運動到B點，請問質點所通過的路徑該是什麼曲線？伽利略在提出當初誤認為是圓弧。1696年，瑞士數學家約翰.伯努利重新提出向他的兄長雅各.伯努利（Jacob Bernoulli）以及世界上所有數學名家挑戰。由於問題困難度極高且具內涵和富有挑戰性，因此引起當時數學家們極大興趣。解出來的人，除了萊布尼茲外，還有伯努利兄弟、牛頓、和名數學家洛必達等人，正確的答案原來是一條擺線（cycloid）的一段弧（如圖3）。
圖3：最速降線的問題。答案是擺線的一段弧。
五、 引入行列式概念
行列式理論是萊布尼茲考慮關於齊次線性方程式的形式時創立的，1693年，他在致洛必達的一封信說他有一個創新，是利用雙重碼的方程係數。可惜並沒有發表，因而它們究竟長什麼樣子，不得而知。
六、 二項式定理的推廣
把二項式定理(a+b)n推廣到(a+b+c………+m)n的多項展開式定理，首先由萊布尼茲開始。
七、 函數概念引入
函數是萊布尼茲於1694年最先從拉丁文引進的術語，它最初是表示與曲線相關連繫的量，例子：曲線上點的座標；曲線的斜率；曲線的曲率半徑……等等。函數最終，也是目前通行的定義是由狄利克雷（L. Dirichlet）所定義的，它的定義是：對x的每一個值，如果y有完全確定的值與之對應，則稱y為x的函數。
八、 單子論
單子(Monad)的理論，是說宇宙是由一些基本單位所組成的複合體。單子的觀念，文藝復興時代的古撒努斯(Nicolaus Cusanus)，認為個物是反映宇宙的單位。布魯諾(Giodano Bruno)區分三種「最小」概念：數學的極微是點，點是構成線，線構成面、體；物理學的極微是原子，它們構成所有物體；哲學上的極微是單子。單子是無限的世界活力，永恆的原動力；一切物體都有生滅變化，單子本身則是不滅。以上的說法都尚欠完整的系統，直到近代，德國大哲萊布尼茲才完成嚴密的單子論體系。他在其大作單子論(Monadology)一書的開頭說：「單子是構成複合組織的單純實體；所謂單純意指不具部分。」根據這個定義，單子既沒有部分，則當然就不能具有延伸和形式，也不可分，因此，不是通常所稱的原子。單子是事物的要素，就每一個單子內在本質而言，都完全不同於其他的單子，但整個宇宙卻構成多元的單子之調和系統。每一個單子都有其本身的內在結構與作用法則。每個單子都是一個獨立自主的小宇宙，雖然彼此無直接關係，但卻在上帝的安排下，有著預定的調和秩序（柏拉圖的宇宙觀）。上帝是單子中的單子；依單子之知覺程度而言，上帝最高，物質最低，其間綿密地連續著的，因此非心物二元論。低度知覺的單子只具有「混雜或微小的知覺」，既不明晰，也無記憶和意識等作用，例如植物就是由此類單子構成。至於動物則為具有較高度知覺的單子，稱之為靈魂。至於人的靈魂，由於具有意識作用所伴隨的知覺，故稱之為理性靈魂或精神。