可惜书本空白太少，无法将证明写出 江铭辉 五梦网
每个人都知道32+42=52，52+122=132…….等勾股定理的式子，它的数学公式是x2+y2=z2。但对于日常生活中是不是也存在有x3+y3=z3, x4+y4=z4的数学公式，及其证明方法，不得而知。费尔马在刁潘图书本的空白处写下这样的一句话:「将一个立方数分为两个立方数，将一个四次方数分为两个四次方数，或者一般地将一个高于两次幂的数分为两个同次幂的数，这是不可能的。我已得到正确而巧妙的证明了，可惜这书的空白边缘太少而不能容纳全部的证明。」
人们找遍费马的文稿和笔记，都找不出这个巧妙的证明，因此怀疑费马是不是真的证明出来，此成为历史上的一个谜，但无论如何，它已造成许多数学才子呕心沥血拼命追求答案，许多研究机构甚至重金悬赏。
图1：费马是法国大数学家有业余数学家之王的美称，他提出许多定理，最著名的是费马大定理（也叫费马最后定理，或费马猜想）和费马小定理。
业余数学家
1601年8月，费马（Pierre de Fermat）（图1）出生于法国南部的图卢滋（Toulouse），父亲是皮革商人，由于家境富裕，父亲特地给他请了二位家庭教师，不到学校上课。小时候的费马称不上是天才儿童，但也很聪明。1617年他接受父亲的建议，到土鲁斯大学读法律。毕业以后，他接受一间法律事务所的聘请，成为律师。由于工作认真和热心社会福利，30岁被选为家乡图卢滋议会的议员。他是个不求名利的人，因此平时清闲，空余时间，他常看古书，尤其爱读古希腊的数学名著，不时作数学题目，并通信与数学名家如帕斯卡尔、笛卡尔通信，切磋问题 。
最短光时
他在光学及数学都有非凡的成就，光学方面，他在1660年提出「最短光时」原理。也就是说光的进行路径总是沿最少时间。
「光」是奇妙的大自然产物，它有双重性质既是「波动」也是「粒子」，此外它每秒钟能跑三十万公里（约可绕地球的七圈半），是世界上跑得最快的物质。相传名满天下的古希腊学者希罗家里，有一天来了一个朴实的农夫，向他请教。农夫说：「这件事情困惑了我好久，我想每天早上出门到河边提一桶水，然后走到我的牛棚（和我家都在河的同一边）。请问，我如何找到河边的一点，使我所走的路程最短。」
图2：农夫从家里提桶到河边取水，再到牛棚。
希罗当场就画了一个如图3的图，他划出笔直的河岸和同一侧的“家”（A点）和“牛棚”（B点），河岸线则以MN表示，现在要在河岸上找一定点P，使AP＋PB为最小。
图3：希罗发现光的反射原理可应用到农夫的最短路径问题
希罗根据古希腊人深信不疑的大自然法则：大自然总是遵循最简单和最经济的准则在进行。光是大自然产物，因此光所走的路程应该最短，时间也最少。他首先将MN想成镜面，那末，光从A点射出，反射到B点所构成的入射角必等于反射角（即，图3中的α＝β），于是，只需对MN取B的对称点B'，联AB'交MN的点P便是所求的点了。这样，农夫就应该沿着光行进路线去走自己的路了，按这条路线就可得最短路程。希罗发现的这条路线后来被称为“希罗最短路径”原理。
这个故事一直流传下去，一千多年后，有一次一位将军在A地操兵，忽然看到营区B失火，立即命令士兵每人用钢盔至MN河流装水到B地灭火。事后，将军自鸣得意说：「他选择一条至河边取水再到营区灭火的最短路径。」这条路径当然是按照希罗光线最短路径原理。
17世纪法国数学家费马（P. De Fermat）听了这故事后说：「那将军的决策是错误的，实际上应该有一条比较好的路线。因为兵士们跑去河边是空着双手，速度较快，而从河边奔向营区时，钢盔里盛满水，速度变慢，在这情况下，希罗光线最短原理就无效了。」
费马的观点是正确的，他继续说：让图3的P点往右移动，就会缩短PB的距离，此时AP虽然会增长，却因速度快，因此全部的
时间可减少。但P点也不能无限制往右移，以免过份增长AP，使全部距离（AP＋PB）增加太多，反而又变慢。
图4：费马试图寻求将军灭火的最佳路线
费马根据上述构想先划如图4的草图并假设全程所费的时间为T，AP、PB段内的速度分别为V1、V2，则：
T=（AP/V1）+（PB/V2）即： 
要解这个问题相当棘手，费马于是再度想到希罗光线最短原理，但是他不是使用光的反射原理〈入射角等于反射角〉，费马想到的是光的折射原理，也就是物理学上的斯涅尔定律（Snell's law）：sini/sinr= Vi/ Vr（i, r分别为入射角和折射角，Vi、Vr为光在入射介质与折射界质时的速度）（图5）
实际上，费马的想法是正确的，因为“光”之有反射及折射特性，且都是因为“光”在寻找最短时间的前进路径，今日我们也将“光的最短时间”原理称之为“费马原理”。
图5：费马理想中的救火路径，即士兵以速度V1从A点到P点取水，再以速度V2从P点到B点灭火。图中sinα:sinβ= V1: V2符合光线的折射定理（斯涅尔定律）
或然率与解析几何的奠基
在数学方面，虽然号称他是业于数学家，但是成就与职业数学家相比，毫不逊色。费马在数学上的贡献是很大的。譬如它笛卡尔的「几何学」只涉及平面解析几何的问题，费马进一步扩充至空间解析几何，并对笛卡尔的解析几何提出许多意见。使笛卡尔折服，并与费马建立深厚友谊。此外他和帕斯卡尔通过书信讨论赌博问题中的数学规律，二人成为古典概率论的基本理论的奠基者。他研究希腊阿波罗尼的圆锥曲线理论，而建立了坐标几何的一些原理，可以说和笛卡尔同样是解析几何的创立人，他利用曲线的性质，研究极大极小的问题，是微积分的先驱者。
费马大、小定理
不过费马显赫的成就还是在「数论」方面，数论上有许多重要的事项都和费马的名字相连。他不愧是近代数论的开创者。他的重要数论有二：费马小定理、费马最后定理（费马大定理）。
1. 费马小定理
1640年，费马写信给朋友，说：「如果整数a不能被质数p整除，那么ap-1，能被p整除。」这是初等数论中有名的费马小定理。
譬如：我们知道26 -1这个数是否能被7整除。根据费马小定理，
26－1= 27-1－1，故知26 -1能被7整除。事实上26 -1= 64 -1 = 63 = 9 × 7
2. 费马最后定理
公元前六世纪，希腊数学家毕达哥拉斯(Pythacoras)发现了一条定律:在直角三角形中，斜边的平方等于它两直角边的平方之和。若用z，x，y来代表上述的三边．便可写成z2= x2+ y2
这是著名的勾股定理，据说毕达哥拉斯发现这定理后，宰杀了一百头牛庆祝。
我们很容易找出三个数。例如5，3，4得到52= 42+ 32。
然而更进一步的问，我们是否能找到三个大于零的正整数x,y．z，使得z3= x3+ y3
，甚至z4= x4+ y5……乃至于zn= xn+ yn
隔了一干四百午后，在1637年法国一名业余数学家叫费马才回答了这问题。这位"业余"数学家的贡献实可媲美任何一位伟大的数学家。然而，他的论文只有一篇正式公开发表的．而且是以M.P.E.A.S.为笔名在他去世前五年发表。他的数学创作多存于和其他数学家的通讯以及他的藏书的空白书边上。他的大部份著作均在去世(1665年)后由其儿子奇利曼．森辽尔(CLEMENT-SAMNEL)整理重新印发的。
在1621年丢番图(DIOPHANTUS)的 「算术」一书之拉丁译本，成为当时最畅销书籍之一。1637年巴切(BACHET)校订的 「丢番图算术」一书成了费马的笔记本，因为他经常利用这书的空白边缘写下他的数学研究。在该书的第二卷第八命题:「将一个平方数分为两个平方数」那一页的空白处，费尔马写下这样的字句:「将一个立方数分为两个立方数，一个四次方数分为两个四次方数，或者一般地将一个高于两次幂的数分为两个同次幂的数。这是不可能的。我已得到正确而巧妙的证明了，可惜这书的空白边缘太少而不能容纳全部的证明。」
费马的意思是:我们不可能找出三个大于零的正个数x， y，z满足 zn= xn+ yn (n>3)这就是著名的「费尔马最后定理」(或称费尔马大定理)。由于他提出的所有定理或猜测，后来有的被证明是对的，有些发现是错的，只有这一定理至今仍末被肯定或否定，故称为「最后定理」（LAST THEOREM）。由于费马没有留下证明，故后世不少著名数学家如欧拉、高斯、勒建德（LEGENDRE）、阿贝尔（ABELL）、何西（CAUCHY）、狄利克雷（DlRICHLET）等都曾试图证明这定理，可借都未成功。后来，由瓦格斯塔夫（SAMUEL WAGSTAFF）)以电于计算器计算得的结果，证明了这定理由3至125000都成立。但对更大的数仍是一个谜。
对该问题研究成就最大的应算在柏林大学任教的法国数学家库麦(KUMMER）。在他的一篇论文中．证明了费马最后定理对所有的n都成立。可惜证明中的一个假设未能保证百分之百正确，实在一大憾事。
费马最后定理拯救数学家
这时有一个年轻的数学家叫佛尔夫斯克尔(PAUL WOLFSKEHL)对多姿多采而繁复的数论甚感兴趣，也加入研究行列。他全力研究费马最后定理及库麦未能解决的部份。经过不少努力，他失败了，但他仍不气馁，不断的探讨其他学者所用的方法及研究中所遇的困难。很可惜，他的研究工作仍毫无进展。更令他重受打击的是，这时他深爱的女友离他而去，费马最后定理又研究没有成果。在数学研究和恋爱的双重失败下，他觉得世上已无可恋之处，便决定以自杀来结束自己的生命。
于是．他编好了一个时间表，安排各种应做的事并写下遗嘱。一切都按照他的计划进行。最后的一天来临了，他写好了最后一封给其好友的信，当距离结束自己生命的几小时前，他步入书房，一时不知做些什么，于是随意在书架上翻阅一些书籍。无意中，他翻到库麦有关费尔马最后定理的论文。仔细阅读之下，他发现在论文开头处存在一些逻辑疑点。后来发现库麦在极具关键性的地方有错误。就埋头研究下去，一小时，二小时，三小时，时间不知不觉地过去。最后，他还是不得不承认库麦所论的仍是对的。此时，他猛然想起自杀的事，但看看钟表，自己所定的自杀时刻已过了。这样一来，他反而觉得不用自杀，因为他感到上帝利用费尔马最后定理使他错过自杀的时刻，这时他对重新生活充满与趣，甚至他感到上天似乎不让他就此离开人世。于是，他把想寄给朋友的信撕掉，将遗嘱毁去，决心继续活下去。
悬赏十万马克
佛尔夫斯克尔终于在1908年病逝了。在他的新遗嘱中写道:「我委托哥丁根皇家科学会十万马克，赠送最先证明费尔马最后定理的人。」在当时十万马克是个巨大的数字。在他之前，这项奖金最高的金额 亦不过是五千马克而已，他竟送出十万马克，这或许是为了报答该定理会救了他性命的缘故。当哥丁根皇家科学会宣读了佛氏的遗嘱后，立即掀起研究费马最后定理的热潮，其中包括工程师、银行职员、学生、教师及各阶层的人物，有的在空间时研究，有的甚至辞职专心研究。这热潮持续了数年之久，直到第一次世界大战，才冷却下来。根据佛尔夫斯克尔的遗言．该奖金直至2007年即他逝世一百周年仍有效的，但这个问题却在2007年之前的第十四年，即1993年，由英国数学家韦尔斯（Andrew Wiles）证明出来了。可惜由于德国在二次大战都是战败国，马克大幅贬值，当时悬赏的十万马克折算今天的马克已一文不值了。