可惜書本空白太少，無法將證明寫出 江銘輝 五夢網
每個人都知道32+42=52，52+122=132…….等畢氏定理的式子，它的數學公式是x2+y2=z2。但對於日常生活中是不是也存在x3+y3=z3, x4+y4=z4的數學公式及如何證明，不得而知。費爾馬在刁潘圖書本的空白處寫下這樣的一句話:「將一個立方數分為兩個立方數，將一個四次方數分為兩個四次方數，或者一般地將一個高於兩次冪的數分為兩個同次冪的數，這是不可能的。我已得到正確而巧妙的證明了，可惜這書的空白邊緣太少而不能容納全部的證明。」
人們找遍費馬的文稿和筆記，都找不出這個巧妙的證明，因此懷疑費馬是不是真的証明出來，此成為歷史上的一個謎，但無論如何，它已造成許多數學才子嘔心瀝血拼命追求答案，許多研究機構甚至重金懸賞。
圖1：費馬是法國大數學家有業餘數學家之王的美稱，他提出許多定理，最著名的是費馬大定理（也叫費馬最後定理，或費馬猜想）和費馬小定理。
業餘數學家
1601年8月，費馬（Pierre de Fermat）（圖1）出生於法國南部的圖盧滋（Toulouse），父親是皮革商人，由於家境富裕，父親特地給他請了二位家庭教師，不到學校上課。小時候的費馬稱不上是天才兒童，但也很聰明。1617年他接受父親的建議，到土魯斯大學讀法律。畢業以後，他接受一間法律事務所的聘請，成為律師。由於工作認真和熱心社會福利，30歲被選為家鄉圖盧滋議會的議員。他是個不求名利的人，因此平時清閒，空餘時間，他常看古書，尤其愛讀古希臘的數學名著，不時作數學題目，並與數學名家如巴斯卡、笛卡爾通信，切磋問題。
最短光時
「光」是奇妙的大自然產物，它有雙重性質既是「波動」也是「粒子」，此外它每秒鐘能跑三十萬公里（約可繞地球的七圈半），是世界上跑得最快的物質。
相傳名滿天下的古希臘學者希羅家裡，有一天來了一個樸實的農夫，向他請教。農夫說：「這件事情困惑了我好久，我想每天早上出門到河邊提一桶水，然後走到我的牛棚（和我家都在河的同一邊）。請問，我如何找到河邊的一點，使我所走的路程最短。」
圖2：農夫從家裡提桶到河邊取水，再到牛棚。
希羅當場就畫了一個如圖3的圖，他劃出筆直的河岸和同一側的“家”（A點）和“牛棚”（B點），河岸線則以MN表示，現在要在河岸上找一定點P，使AP＋PB為最小。
圖3：希羅發現光的反射原理可應用到農夫的最短路徑問題
希羅根據古希臘人深信不疑的大自然法則：大自然總是遵循最簡單和最經濟的準則在進行。光是大自然產物，因此光所走的路程應該最短，時間也最少。他首先將MN想成鏡面，那末，光從A點射出，反射到B點所構成的入射角必等於反射角（即，圖3中的α＝β），於是，只需對MN取B的對稱點B'，聯AB'交MN的點P便是所求的點了。這樣，農夫就應該沿著光行進路線去走自己的路了，按這條路線就可得最短路程。希羅發現的這條路線後來被稱為“希羅最短路徑”原理。
這個故事一直流傳下去，一千多年後，有一次一位將軍在A地操兵，忽然看到營區B失火，立即命令士兵每人用鋼盔至MN河流裝水到B地滅火。事後，將軍自鳴得意說：「他選擇一條至河邊取水再到營區滅火的最短路徑。」這條路徑當然是按照希羅光線最短路徑原理。
17世紀法國數學家費馬（P. De Fermat）聽了這故事後說：「那將軍的決策是錯誤的，實際上應該有一條比較好的路線。因為兵士們跑去河邊是空著雙手，速度較快，而從河邊奔向營區時，鋼盔裡盛滿水，速度變慢，在這情況下，希羅光線最短原理就無效了。」
費馬的觀點是正確的，他繼續說：讓圖3的P點往右移動，就會縮短PB的距離，此時AP雖然會增長，卻因速度快，因此全部的
時間可減少。但P點也不能無限制往右移，以免過份增長AP，使全部距離（AP＋PB）增加太多，反而又變慢。
圖4：費馬試圖尋求將軍滅火的最佳路線
費馬根據上述構想先劃如圖4的草圖並假設全程所費的時間為T，AP、PB段內的速度分別為V1、V2，則：
T=（AP/V1）+（PB/V2）即： 
要解這個問題相當棘手，費馬於是再度想到希羅光線最短原理，但是他不是使用光的反射原理〈入射角等於反射角〉，費馬想到的是光的折射原理，也就是物理學上的斯涅爾定律（Snell's law）：sini/sinr= Vi/ Vr（i, r分別為入射角和折射角，Vi、Vr為光在入射介質與折射界質時的速度）（圖5）
實際上，費馬的想法是正確的，因為“光”之有反射及折射特性，且都是因為“光”在尋找最短時間的前進路徑，今日我們也將“光的最短時間”原理稱之為“費馬原理”。
圖5：費馬理想中的救火路徑，即士兵以速度V1從A點到P點取水，再以速度V2從P點到B點滅火。圖中sinα:sinβ= V1: V2符合光線的折射定理（斯涅爾定律）
或然率與解析幾何的奠基
在數學方面，雖然號稱他是業於數學家，但是成就與職業數學家相比，毫不遜色。費馬在數學上的貢獻是很大的。譬如它笛卡爾的「幾何學」只涉及平面解析幾何的問題，費馬進一步擴充至空間解析幾何，並對笛卡爾的解析幾何提出許多意見。使笛卡爾折服，並與費馬建立深厚友誼。此外他和巴斯卡通過書信討論賭博問題中的數學規律，二人成為古典概率論的基本理論的奠基者。他研究希臘阿波羅尼的圓錐曲線理論，而建立了座標幾何的一些原理，可以說和笛卡爾同樣是解析幾何的創立人，他利用曲線的性質，研究極大極小的問題，是微積分的先驅者。
費馬大、小定理
不過費馬顯赫的成就還是在「數論」方面，數論上有許多重要的事項都和費馬的名字相連。他不愧是近代數論的開創者。他的重要數論有二：費馬小定理、費馬最後定理（費馬大定理）。
1. 費馬小定理
1640年，費馬寫信給朋友，說：「如果整數a不能被質數p整除，那麼ap-1，能被p整除。」這是初等數論中有名的費馬小定理。
譬如：我們知道26 -1這個數是否能被7整除。根據費馬小定理，
26－1= 27-1－1，故知26 -1能被7整除。事實上26 -1= 64 -1 = 63 = 9 × 7
2. 費馬最後定理
西元前六世紀，希臘數學家畢達哥拉斯(Pythacoras)發現了一條定律:在直角三角形中，斜邊的平方等於它兩直角邊的平方之和。若用z，x，y來代表上述的三邊．便可寫成z2= x2+ y2
這是著名的畢氏定理，據說畢達哥拉斯發現這定理後，宰殺了一百頭牛慶祝。
我們很容易找出三個數。例如5，3，4得到52= 42+ 32。
然而更進一步的問，我們是否能找到三個大於零的正整數x,y．z，使得z3= x3+ y3
，甚至z4= x4+ y5……乃至於zn= xn+ yn
隔了一干四百午後，在1637年法國一名業餘數學家叫費馬才回答了這問題。這位"業餘"數學家的貢獻實可媲美任何一位偉大的數學家。然而，他的論文只有一篇正式公開發表的．而且是以M.P.E.A.S.為筆名在他去世前五年發表。他的數學創作多存於和其他數學家的通訊以及他的藏書的空白書邊上。他的大部份著作均在去世(1665年)後由其兒子奇利曼．森遼爾(CLEMENT-SAMNEL)整理重新印發的。
在1621年丟番圖(DIOPHANTUS)的 「算術」一書之拉丁譯本，成為當時最暢銷書籍之一。1637年巴切(BACHET)校訂的 「丟番圖算術」一書成了費馬的筆記本，因為他經常利用這書的空白邊緣寫下他的數學研究。在該書的第二卷第八命題:「將一個平方數分為兩個平方數」那一頁的空白處，費爾馬寫下這樣的字句:「將一個立方數分為兩個立方數，一個四次方數分為兩個四次方數，或者一般地將一個高於兩次冪的數分為兩個同次冪的數。這是不可能的。我已得到正確而巧妙的證明了，可惜這書的空白邊緣太少而不能容納全部的證明。」
費馬的意思是:我們不可能找出三個大於零的正個數x， y，z滿足 zn= xn+ yn (n>3)這就是著名的「費爾馬最後定理」(或稱費爾馬大定理)。由於他提出的所有定理或猜測，後來有的被證明是對的，有些發現是錯的，只有這一定理至今仍末被肯定或否定，故稱為「最後定理」（LAST THEOREM）。由於費馬沒有留下證明，故後世不少著名數學家如歐拉、高斯、勒建德（LEGENDRE）、阿貝爾（ABELL）、何西（CAUCHY）、狄利克雷（DlRICHLET）等都曾試圖證明這定理，可借都未成功。後來，由瓦格斯塔夫（SAMUEL WAGSTAFF）)以電于計算機計算得的結果，證明了這定理由3至125000都成立。但對更大的數仍是一個謎。
對該問題研究成就最大的應算在柏林大學任教的法國數學家庫麥(KUMMER）。在他的一篇論文中．證明了費馬最後定理對所有的n都成立。可惜證明中的一個假設未能保證百分之百正確，實在一大憾事。
費馬最後定理拯救數學家
這時有一個年輕的數學家叫佛爾夫斯克爾(PAUL WOLFSKEHL)對多姿多采而繁複的數論甚感興趣，也加入研究行列。他全力研究費馬最後定理及庫麥未能解決的部份。經過不少努力，他失敗了，但他仍不氣餒，不斷的探討其他學者所用的方法及研究中所遇的困難。很可惜，他的研究工作仍毫無進展。更令他重受打擊的是，這時他深愛的女友離他而去，費馬最後定理又研究沒有成果。在數學研究和戀愛的雙重失敗下，他覺得世上已無可戀之處，便決定以自殺來結束自己的生命。
於是．他編好了一個時間表，安排各種應做的事並寫下遺囑。一切都按照他的計劃進行。最後的一天來臨了，他寫好了最後一封給其好友的信，當距離結束自己生命的幾小時前，他步入書房，一時不知做些什麼，於是隨意在書架上翻閱一些書籍。無意中，他翻到庫麥有關費爾馬最後定理的論文。仔細閱讀之下，他發現在論文開頭處存在一些邏輯疑點。後來發現庫麥在極具關鍵性的地方有錯誤。就埋頭研究下去，一小時，二小時，三小時，時間不知不覺地過去。最後，他還是不得不承認庫麥所論的仍是對的。此時，他猛然想起自殺的事，但看看鐘錶，自己所定的自殺時刻已過了。這樣一來，他反而覺得不用自殺，因為他感到上帝利用費爾馬最後定理使他錯過自殺的時刻，這時他對重新生活充滿與趣，甚至他感到上天似乎不讓他就此離開人世。於是，他把想寄給朋友的信撕掉，將遺囑毀去，決心繼續活下去。
懸賞十萬馬克
佛爾夫斯克爾終於在1908年病逝了。在他的新遺囑中寫道:「我委託哥丁根皇家科學會十萬馬克，贈送最先證明費爾馬最後定理的人。」在當時十萬馬克是個巨大的數字。在他之前，這項獎金最高的金額亦不過是五千馬克而已，他竟送出十萬馬克，這或許是為了報答該定理會救了他性命的緣故。當哥丁根皇家科學會宣讀了佛氏的遺囑後，立即掀起研究費馬最後定理的熱潮，其中包括工程師、銀行職員、學生、教師及各階層的人物，有的在空間時研究，有的甚至辭職專心研究。這熱潮持續了數年之久，直到第一次世界大戰，才冷卻下來。根據佛爾夫斯克爾的遺言．該獎金直至2007年即他逝世一百周年仍有效的，但這個問題卻在2007年之前的第十四年，即1993年，由英國數學家威爾斯（Andrew Wiles）證明出來了。可惜由於德國在二次大戰都是戰敗國，馬克大幅貶值，當時懸賞的十萬馬克折算今天的馬克已一文不值了。