非欧几何学漫谈 江铭辉 五梦网
一、欧几理德几何学的矛盾
欧几理德几何学最脍炙人口的地方有二点：
1.三角形的三个内角和等于180度。
2.过已知点，仅能划一直线与另一已知线平行。
不错，在直觉上或在一张白纸上作图，我们会发现“三角形的内角和等于180度”，“过线外一点仅能划一直线与此线平行”。但是有些事情，直觉上是对的，可是在某些场合却不能适用，例如（图1-b）有两人分别从地球赤道的两点（O及O'）向北极划两条并行线。虽然这两个人至始至终都将两条线保持平行，但是毫无疑问的，这两条并行线相交于北极PP'点，同时所形成的三角形OO'PP'之三个内角和也大于180度。如果这两个人在平面纸上，划OP和O'P'两平行直线，则两条直线绝不相交（图1-a）。到底欧几理德几何发生什么毛病呢？我们将在下一节详细解释。
图1-a：在平面上划两条并行线 图1-b：在球面上划两条并行线
图1：在平面纸上OP和O'P'两直线是平行的绝不相交，但在球面上两条由不同点出发的两条直线虽然始终是保持平行的，但最后却相交。
二、非欧几理德几何学的兴起
由于欧几理德几何学有上述的缺点，长期以来，就有数学家对欧几理德 的五个公设，特别是对于第五公设的“平行公设”产生怀疑。认为它可以由其他公设或公理来证明，但是数千年来没有人成功。最后在高斯（C.F. Gauss）、波耶（J. Bolyai）、罗巴切夫斯基（N.I. Lobatschewsky）及黎曼（G.F.B. Riemann）等人的努力下，发现欧几理德的第五条公设，可用别的公设来取代，或另立一种阐新的几何架构，这就是所谓“非欧几理德几何学”（简称为非欧几何）。这几个人的理论和最先的欧几理德几何学，又可区分为三种几何体系，兹将这三种几何体系简述如下：
(1) 欧几理德几何
● 过已知直线外的一点，仅有一直线可经此点且与此已知直线平行（图2-a）。
● 三角形之三内角和等于180度（图2-a）。
(2)高斯、波耶、罗巴切夫斯基（图3）之非欧几何
● 过一直线外一点，有无限多条并行线平行此已知直线。（图2-b）
● 三角形之三内角和小于180度（图2-b）。
(3)黎曼（图4）非欧几何
● 过直线外一点，不能作出一条平行此已知直线的直线，因为此两条直线最后会相交。（图2-c）
●三角形之三内角之和大于180度（图2-c）。
图2-a：欧几理德的几何体系：三角形之三内角和等于180度，过已知点仅作一直线与已知线相平行。
图2-b：罗巴切夫斯基的几何体系：三角形之三内角和小于180度，过线外一点，有无限多条并行线平行此已知直线。
图2-c：黎曼的几何体系：三角形之三内角和大于180度，过线外一点，不能作出一条直线，平行此已知直线。
图2：三种几何体系的特性。
图3-a：高斯（德国人，1777～1855年），高斯是近代数奠基者之一，和阿基米得、牛顿并列。称为历史三大数学家。
图3-b：波耶（匈牙利人，1802～1860年）曾为军人，1833年因伤退伍回家，他是非欧几何的创始人之一。
图3-c：罗巴切夫斯基（俄国人，1792～1856年）曾任喀山大学校长，也是非欧几何的创始人之一，创立喀山数学派。
图3：高斯、波耶和罗巴切夫斯基发现同一型的非欧几何体系
图4：黎曼（德国人，1826～1866年），黎曼是高斯晚年学生，他把单值解析函数推广到多值解析函数，把拓朴学的概念引入复变函数论中，发展成黎曼曲面论，并以黎曼空间，黎曼Zeta函数闻名全世界。
三、欧几理德及非欧几何体系的适用性
有人会问：「这三种几何体系，那一种几何体系较符合真实的物理世界呢﹖」我们的回答如下：
1、欧几理德几何体系较适用于地球上。
数学家高斯作了一个实验：他在德国境内三大山顶边缘用放射光束的方法得到一个大三角形，然后计算这大三角形的内角和。所得的结果与180度相差仅几秒而已。这微小的偏差可视作仪器的误差。故欧几理德几何似乎较适用于地球的环境上。
事实上，在地球上我们应用欧几理德几何来搭桥梁、开隧道、建高楼大厦、筑高速公路及设计各种机械零件。
2、非欧几何体系较适合用于宇宙空间。
宇宙的构造究境如何？是有限的？还是无限的？是封闭的？还是开放的？这些疑问都和「宇宙有尽头吗？」息息相关。我们先来看看在相对论之前以牛顿为首的宇宙观，再看看爱因斯坦如何改它。最后再看爱因斯坦提出宇宙观后，天文学家对宇宙膨胀论的看法。
(1)伽利略的宇宙观：有尽头的宇宙。
从亚理斯多德（Aristotle）、托勒密（Ptolemy）、哥白尼（N. Copernicus）至伽利略（G. Galielei），传统的宇宙结构是一个有限体积和边的世界，宇宙的最外层是由恒星天构成，恒星天是宇宙的边，在它之外就没有空间了。
(2)牛顿的宇宙观：无限大小与边的宇宙论。
牛顿用万有引力的法则，来解释宇宙，他认为宇宙的所有天体，彼此都有万有引力，而保持均衡。也就是天体在一样的分布密度中持续到无限。换言之，他倡导一个三维的欧几理德「无限空间宇宙论」。但是牛顿的宇宙间天体均匀分布且无限空间的理论有二个矛盾：
其一：如果宇宙真的无限大，而且天体分布的一样均匀，那么位于宇宙中的任意点，例如地球，以地球为中心，划一个半径无穷大的球，则大球内的质量将无穷大，在球内质量无限大的球面上之星球，其所接收的重力也是无限大。这是随便假设的一点，因此我们可想到宇宙的任何一个角落它的重力都一定是无限大。
其二：以地球为中心所描出的同心球，如果逐渐增加，同时宇宙天体的分布是均匀且无限的，那么恒星的数量也会增加至无限大，最后地球所接受的恒星光能会增至无限大。换言之，地球是没有黑夜万丈光茫的球体了。
(3)爱因斯坦倡导「具有正曲率且封闭宁静的宇宙」。
爱因斯坦参照自己的「一般相对论」，解决牛顿的宇宙论所存在的许多疑点。除了怀疑前述宇宙天体是均匀分布且无限的两个悖论外，他也想：如果星球之间是仅借着万有引力互相拉曳，倘若它们之间有一点点差错，则所有星球将呈现一片混乱，瞬间将毁了整个宇宙。因此爱因斯坦倡导「正曲率且封闭宁静的宇宙」的新概念。他说：宇宙本身会借着宇宙全体的重力构成如球一般的封闭时空。宇宙所有的天体就在里面互相持有宁静且安定的关系。这就「宇宙是有限，但无尽头」的概念。根据这种说法，宇宙就是有限的，不会有无限质量、无限光源的说法，也不会引起前面那两种悖论了。而且因为时空是封闭的，如果有人从地球上出发一直往前走，一定会沿着时空的弯曲面不知不觉回到了自己的地球上。如果想藉用超强力望远镜看宇宙的尽头，将会看见自己的背影，但是在看见自己背影之前，得花上十几亿年的时间（光绕封闭宇宙一圈所须的时间）（如图5）。
图5：封闭的宇宙直径相当于4亿光年，如果想藉用超强力望远镜看宇宙的尽头，将会看见自己的背影。
(4)爱因斯坦的宁静说被推翻了
1922年、苏联的数学家佛里曼（A. Friedmann）表示宇宙决不是在静止状态下，它时时刻刻在动着。他运用了“一般相对论”算出了两个基本宇宙型态：大爆炸型和脉动型。就在此理论发表后的第七年（1929年），美国的天文学家哈伯（E.P. Hubble）（图(6)）观测了银河系外的18个星云，发现它们正以和地球距离成比例的极大速度远离地球，这表示宇宙一直在膨胀着。时到今日几乎没有人对于宇宙是膨胀的这个事实，提出异论。
图6：哈伯（美国人，1889～1953年）美国天文学家，星系天文学的奠基人，观测宇宙学的开创人，哈伯对二十世纪天文学作出了许多贡献，被尊为一代宗师，其中最大贡献有二：一是确认星系是与银河系相当的恒星系统，并创了星系天文学建立了大尺度宇宙结构的新概念；二是发现星系的红外移与距离关系，促使现代宇宙学的诞生。
(5)宇宙的三种模式
对宇宙的模式最近三十年有三种不同的理论出现。所有这三项理论都同意一个要点：宇宙是膨胀的，因为人类能见到的大多数星球都彼此远离。这三种模式是：“定常态理论”、“大爆炸理论”、“脉动理论”。
● 定常态理论
它认为宇宙一直在以不变的速率（图7-a）膨胀，还有新的物质不断产生。因此，某一空间里总是有同量的物质（图7-b）。按照这一说，宇宙间永远不会有“大爆炸”，而各星系也永远不会回到一个假设的宇宙中心。
图7-a：宇宙一直以 图7-b：膨胀后的宇宙，
不变的速率膨胀。 不断有新的物质产生。
图7：定常态的宇宙论
●大爆炸理论
它说宇宙起源于一次大爆炸（图8-a）而各星系会无限膨胀，不会回到一个假设的宇宙中心（8-b）。因为宇宙的全部元素供应都在爆发的头半个小时之内产生齐备，所以它假定了新的物质不会产生。
图8-a：宇宙起源于一次大爆炸。图8-b：大爆炸以后一直膨胀永不回头。
图8：大爆炸的宇宙论
● 脉动理论
它认为所有的物质都从一团原先压紧的物质向外飞离（图9-a），经过长久时间宇宙本身就会藉重力紧急剎车，终于缓慢下来。在运动停止后即在所有星球引力互拉下，逆转过来朝中心开始收缩（图9-b）。到了最后，全宇宙的质量就又集中在一点了。全宇宙的质量集中在一点后就会引起另一次的大爆炸，宇宙再次转而膨胀，宇宙就这样膨胀，收缩有周期性的反复的持续着。且在这种过程中，物质既没有产生，也没有毁灭，只是重新编排、交换位置罢了。
图9-a：宇宙最先是从一团紧缩的物质向外飞离。 图9-b：膨胀后的宇宙因宇宙整体质量超过某限制值，宇宙会再度缩收。
图9：脉动的宇宙论
(6) 不弯曲、正弯曲、负弯曲的宇宙空间
图10：爱因斯坦发现由于重力的关系，光线经过太阳旁边时，会产生弯曲。
爱因斯坦的宁静型宇宙，虽然被膨胀型宇宙所取代，但是爱因斯坦的“一般相对论”仍然是人类了解整个宇宙的最有利工具，其实爱因斯坦本人在哈伯发现宇宙膨胀现象之前十年，即已表明宇宙不是膨胀就是收缩，然而他不知是什么原因，不相信这个结论，再重写其方程式时，竟提出宇宙是静止不动的理论。爱因斯坦本人也承认这是他一生中最大的错误，因为“宇宙膨胀”就是他的一般相对论的自然结果。爱因斯坦是在1916年发表“一般相对论”取代了牛顿万有引力的概念。
“一般相对论”的理论是说：在宇宙空间中，若光一直沿着直线前进，我们称为这个宇宙没有弯曲，但是宇宙间由于物质的存在会使空间发生畸变从而使之弯曲，也就是说光经过某巨大星球时，前进路线不再是直线而会有弯曲迹象。爱因斯坦因此预测了从其他星球发出的光线，在经过太阳附近时会产生偏折的现象，而观测出来的结果也正是如此（图10）。此结果震惊当时的科学家，因为他们一直认为光是沿直线行进的。
依据一般相对论的解释，宇宙空间可能是属于“不弯曲的”、“正弯曲的”与“负弯曲”三种形态之其中一种。
● 不弯曲的宇宙空间：
如图11-a，平面的欧几里德几何空间代表不弯曲空间，其中光线沿直线传播，也就是说在宇宙距离非常大的空间（A、B、C）三点用光测量此三点，得到三形三内角的和为180度。早期的牛顿宇宙模型及所有以等速度拉开天体间隔的开放式宇宙模型都属于此类。
● 正弯曲的宇宙空间：
如图11-b，球面的黎曼非欧几何空间代表正弯曲空间，这种空间，光将循圆圈一样的封闭曲线传播，也就是说，在宇宙距离非常大的空间（A、B、C）三点，用光测量此三点，得到三角形三内角的和大于180度。
早期的爱因斯坦封闭型宁静宇宙及今日天文界的宇宙论宠儿“脉动理论”都是属于正弯曲的封闭式宇宙空间。
● 负弯曲的宇宙空间：
如图11-c马鞍式曲面的罗巴切夫斯基非欧几何空间代表负弯曲空间，在这种空间，光将顺着双曲线那样的开放曲线传播，也就是在宇宙距离非常大的空间（A、B、C）三点，用光测量此三点，得到三角形三内角的和小于180度。今日天文界中的大爆炸理论是属于负弯曲的开放式宇宙空间。
图11-a：不弯曲的欧几理德空间
图11-b：正弯曲的黎曼空间
图11-c：负弯曲的罗巴切夫斯基空间
图11：欧几理德几何及非欧几何模型
(7)科学家倾向用黎曼非欧几何来解释整个宇宙。
宇宙论的三派“定常态理论”、“大爆炸理论”、“脉动理论”，首先被判出局的是“定常态理论”，原因如下：
●天体的年龄：
大爆炸宇宙理论主张宇宙在一百多亿年开始爆炸，因此所有天体的年龄都应当小于一百多亿年，事实上从各方面的证据都显示星球年龄在100多亿年之内。
●热辐射电波
大爆炸理论预言宇宙中应该可找到爆炸初期留下来的热辐射。这种摄氏零下270度的热辐射电波也在1965年被美国贝尔研究所的研究人员找到了。
至于大爆炸以后，宇宙究竟是属于开放式的负弯曲空间（天体一直无限膨胀）或是属于封闭式正弯曲空间（天体从爆炸到缩收反复不断进行）呢﹖原先科学家在估算可观测的宇宙中所有的质量之后，认为宇宙现存的总质量太少，以致于不足使目前膨胀的宇宙有再收缩的重力。换言之，宇宙是开放的，宇宙在很久很久以后，天体将一直远离地球而消失在视野中。但是，宇宙真的是开放吗﹖事实上，科学家最近又发现宇宙中还有许多以前我们所不知的未知质量例如：微中子和磁气单极子、及大大小小的各种黑洞（注二）、大量之低温小质量天体和巨大星、云之间的气云（此地区原本人们认为是空虚的）。
这些新发现的质量迫使科学家们重新考虑脉动的宇宙论。换句话说，大多数天文学家们已相信，宇宙仍是正弯曲的，因此再度倾向用黎曼非欧几何来解释整个宇宙。
注二：所谓黑洞，就是能把周围所有的物质及能量吸进去的宇宙陷阱一般的洞。