非歐幾何學漫談 江銘輝 五夢網
一、歐幾理德幾何學的矛盾
歐幾理德幾何學最膾炙人口的地方有二點：
1.三角形的三個內角和等於180度。
2.過已知點，僅能劃一直線與另一已知線平行。
不錯，在直覺上或在一張白紙上作圖，我們會發現“三角形的內角和等於180度”，“過線外一點僅能劃一直線與此線平行”。但是有些事情，直覺上是對的，可是在某些場合卻不能適用，例如（圖1-b）有兩人分別從地球赤道的兩點（O及O'）向北極劃兩條平行線。雖然這兩個人至始至終都將兩條線保持平行，但是毫無疑問的，這兩條平行線相交於北極PP'點，同時所形成的三角形OO'PP'之三個內角和也大於180度。如果這兩個人在平面紙上，劃OP和O'P'兩平行直線，則兩條直線絕不相交（圖1-a）。到底歐幾理德幾何發生什麼毛病呢？我們將在下一節詳細解釋。
圖1-a：在平面上劃兩條平行線 圖1-b：在球面上劃兩條平行線
圖1：在平面紙上OP和O'P'兩直線是平行的絕不相交，但在球面上兩條由不同點出發的兩條直線雖然始終是保持平行的，但最後卻相交。
二、非歐幾理德幾何學的興起
由於歐幾理德幾何學有上述的缺點，長期以來，就有數學家對歐幾理德 的五個公設，特別是對於第五公設的“平行公設”產生懷疑。認為它可以由其他公設或公理來證明，但是數千年來沒有人成功。最後在高斯（C.F. Gauss）、波耶（J. Bolyai）、羅巴切夫斯基（N.I. Lobatschewsky）及黎曼（G.F.B. Riemann）等人的努力下，發現歐幾理德的第五條公設，可用別的公設來取代，或另立一種闡新的幾何架構，這就是所謂“非歐幾理德幾何學”（簡稱為非歐幾何）。這幾個人的理論和最先的歐幾理德幾何學，又可區分為三種幾何體系，茲將這三種幾何體系簡述如下：
(1) 歐幾理德幾何
● 過已知直線外的一點，僅有一直線可經此點且與此已知直線平行（圖2-a）。
● 三角形之三內角和等於180度（圖2-a）。
(2) 高斯、波耶、羅巴切夫斯基（圖3）之非歐幾何
● 過一直線外一點，有無限多條平行線平行此已知直線。（圖2-b）
● 三角形之三內角和小於180度（圖2-b）。
(3)黎曼（圖4）非歐幾何
● 過直線外一點，不能作出一條平行此已知直線的直線，因為此兩條直線最後會相交。（圖2-c）
● 三角形之三內角之和大於180度（圖2-c）。
圖2-a：歐幾理德的幾何體系：三角形之三內角和等於180度，過已知點僅作一直線與已知線相平行。
圖2-b：羅巴切夫斯基的幾何體系：三角形之三內角和小於180度，過線外一點，有無限多條平行線平行此已知直線。
圖2-c：黎曼的幾何體系：三角形之三內角和大於180度，過線外一點，不能作出一條直線，平行此已知直線。
圖2：三種幾何體系的特性。
圖3-a：高斯（德國人，1777～1855年），高斯是近代數奠基者之一，和阿基米德、牛頓並列。稱為歷史三大數學家。
圖3-b：波耶（匈牙利人，1802～1860年）曾為軍人，1833年因傷退伍回家，他是非歐幾何的創始人之一。
圖3-c：羅巴切夫斯基（俄國人，1792～1856年）曾任喀山大學校長，也是非歐幾何的創始人之一，創立喀山數學派。
圖3：高斯、波耶和羅巴切夫斯基發現同一型的非歐幾何體系
圖4：黎曼（德國人，1826～1866年），黎曼是高斯晚年學生，他把單值解析函數推廣到多值解析函數，把拓樸學的概念引入複變函數論中，發展成黎曼曲面論，並以黎曼空間，黎曼Zeta函數聞名全世界。
三、歐幾理德及非歐幾何體係的適用性
有人會問：「這三種幾何體系，那一種幾何體系較符合真實的物理世界呢﹖」我們的回答如下：
1、歐幾理德幾何體系較適用於地球上。
數學家高斯作了一個實驗：他在德國境內三大山頂邊緣用放射光束的方法得到一個大三角形，然後計算這大三角形的內角和。所得的結果與180度相差僅幾秒而已。這微小的偏差可視作儀器的誤差。故歐幾理德幾何似乎較適用於地球的環境上。
事實上，在地球上我們應用歐幾理德幾何來搭橋樑、開隧道、建高樓大廈、築高速公路及設計各種機械零件。
2、非歐幾何體系較適合用於宇宙空間。
宇宙的構造究境如何？是有限的？還是無限的？是封閉的？還是開放的？這些疑問都和「宇宙有盡頭嗎？」息息相關。我們先來看看在相對論之前以牛頓為首的宇宙觀，再看看愛因斯坦如何改它。最後再看愛因斯坦提出宇宙觀後，天文學家對宇宙膨脹論的看法。
(1)伽利略的宇宙觀：有盡頭的宇宙。
從亞理斯多德（Aristotle）、托勒密（Ptolemy）、哥白尼（N. Copernicus）至伽利略（G. Galielei），傳統的宇宙結構是一個有限體積和邊的世界，宇宙的最外層是由恆星天構成，恆星天是宇宙的邊，在它之外就沒有空間了。
(2)牛頓的宇宙觀：無限大小與邊的宇宙論。
牛頓用萬有引力的法則，來解釋宇宙，他認為宇宙的所有天體，彼此都有萬有引力，而保持均衡。也就是天體在一樣的分佈密度中持續到無限。換言之，他倡導一個三維的歐幾理德「無限空間宇宙論」。但是牛頓的宇宙間天體均勻分布且無限空間的理論有二個矛盾：
其一：如果宇宙真的無限大，而且天體分佈的一樣均勻，那麼位於宇宙中的任意點，例如地球，以地球為中心，劃一個半徑無窮大的球，則大球內的質量將無窮大，在球內質量無限大的球面上之星球，其所接收的重力也是無限大。這是隨便假設的一點，因此我們可想到宇宙的任何一個角落它的重力都一定是無限大。
其二：以地球為中心所描出的同心球，如果逐漸增加，同時宇宙天體的分佈是均勻且無限的，那麼恆星的數量也會增加至無限大，最後地球所接受的恆星光能會增至無限大。換言之，地球是沒有黑夜萬丈光茫的球體了。
(3)愛因斯坦倡導「具有正曲率且封閉寧靜的宇宙」。
愛因斯坦參照自己的「一般相對論」，解決牛頓的宇宙論所存在的許多疑點。除了懷疑前述宇宙天體是均勻分佈且無限的兩個悖論外，他也想：如果星球之間是僅藉著萬有引力互相拉曳，倘若它們之間有一點點差錯，則所有星球將呈現一片混亂，瞬間將毀了整個宇宙。因此愛因斯坦倡導「正曲率且封閉寧靜的宇宙」的新概念。他說：宇宙本身會藉著宇宙全體的重力構成如球一般的封閉時空。宇宙所有的天體就在裡面互相持有寧靜且安定的關係。這就「宇宙是有限，但無盡頭」的概念。根據這種說法，宇宙就是有限的，不會有無限質量、無限光源的說法，也不會引起前面那兩種悖論了。而且因為時空是封閉的，如果有人從地球上出發一直往前走，一定會沿著時空的彎曲面不知不覺回到了自己的地球上。如果想藉用超強力望遠鏡看宇宙的盡頭，將會看見自己的背影，但是在看見自己背影之前，得花上十幾億年的時間（光繞封閉宇宙一圈所須的時間）（如圖5）。
圖5：封閉的宇宙直徑相當於4億光年，如果想藉用超強力望遠鏡看宇宙的盡頭，將會看見自己的背影。
(4)愛因斯坦的寧靜說被推翻了
1922年、蘇聯的數學家佛里曼（A. Friedmann）表示宇宙決不是在靜止狀態下，它時時刻刻在動著。他運用了“一般相對論”算出了兩個基本宇宙型態：大爆炸型和脈動型。就在此理論發表後的第七年（1929年），美國的天文學家哈伯（E.P. Hubble）（圖(6)）觀測了銀河系外的18個星雲，發現它們正以和地球距離成比例的極大速度遠離地球，這表示宇宙一直在膨脹著。時到今日幾乎沒有人對於宇宙是膨脹的這個事實，提出異論。
圖6：哈伯（美國人，1889～1953年）美國天文學家，星系天文學的奠基人，觀測宇宙學的開創人，哈伯對二十世紀天文學作出了許多貢獻，被尊為一代宗師，其中最大貢獻有二：一是確認星系是與銀河系相當的恆星系統，並創了星系天文學建立了大尺度宇宙結構的新概念；二是發現星系的紅外移與距離關係，促使現代宇宙學的誕生。
(5)宇宙的三種模式
對宇宙的模式最近三十年有三種不同的理論出現。所有這三項理論都同意一個要點：宇宙是膨脹的，因為人類能見到的大多數星球都彼此遠離。這三種模式是：“定常態理論”、“大爆炸理論”、“脈動理論”。
● 定常態理論
它認為宇宙一直在以不變的速率（圖7-a）膨脹，還有新的物質不斷產生。因此，某一空間裡總是有同量的物質（圖7-b）。按照這一說，宇宙間永遠不會有“大爆炸”，而各星系也永遠不會回到一個假設的宇宙中心。
圖7-a：宇宙一直以 圖7-b：膨脹後的宇宙，
不變的速率膨脹。 不斷有新的物質產生。
圖7：定常態的宇宙論
● 大爆炸理論
它說宇宙起源於一次大爆炸（圖8-a）而各星系會無限膨脹，不會回到一個假設的宇宙中心（8-b）。因為宇宙的全部元素供應都在爆發的頭半個小時之內產生齊備，所以它假定了新的物質不會產生。
圖8-a：宇宙起源於一次大爆炸。 圖8-b：大爆炸以後一直膨脹永不回頭。
圖8：大爆炸的宇宙論
● 脈動理論
它認為所有的物質都從一團原先壓緊的物質向外飛離（圖9-a），經過長久時間宇宙本身就會藉重力緊急剎車，終於緩慢下來。在運動停止後即在所有星球引力互拉下，逆轉過來朝中心開始收縮（圖9-b）。到了最後，全宇宙的質量就又集中在一點了。全宇宙的質量集中在一點後就會引起另一次的大爆炸，宇宙再次轉而膨脹，宇宙就這樣膨脹，收縮有週期性的反覆的持續著。且在這種過程中，物質既沒有產生，也沒有毀滅，只是重新編排、交換位置罷了。
圖9-a：宇宙最先是從一團緊縮的物質向外飛離。 圖9-b：膨脹後的宇宙因宇宙整體質量超過
某限制值，宇宙會再度縮收。
圖9：脈動的宇宙論
(6) 不彎曲、正彎曲、負彎曲的宇宙空間
圖10：愛因斯坦發現由於重力的關係，光線經過太陽旁邊時，會產生彎曲。
愛因斯坦的寧靜型宇宙，雖然被膨脹型宇宙所取代，但是愛因斯坦的“一般相對論”仍然是人類了解整個宇宙的最有利工具，其實愛因斯坦本人在哈伯發現宇宙膨脹現象之前十年，即已表明宇宙不是膨脹就是收縮，然而他不知是什麼原因，不相信這個結論，再重寫其方程式時，竟提出宇宙是靜止不動的理論。愛因斯坦本人也承認這是他一生中最大的錯誤，因為“宇宙膨脹”就是他的一般相對論的自然結果。愛因斯坦是在1916年發表“一般相對論”取代了牛頓萬有引力的概念。
“一般相對論”的理論是說：在宇宙空間中，若光一直沿著直線前進，我們稱為這個宇宙沒有彎曲，但是宇宙間由於物質的存在會使空間發生畸變從而使之彎曲，也就是說光經過某巨大星球時，前進路線不再是直線而會有彎曲跡象。愛因斯坦因此預測了從其他星球發出的光線，在經過太陽附近時會產生偏折的現象，而觀測出來的結果也正是如此（圖10）。此結果震驚當時的科學家，因為他們一直認為光是沿直線行進的。
依據一般相對論的解釋，宇宙空間可能是屬於“不彎曲的”、“正彎曲的”與“負彎曲”三種形態之其中一種。
●不彎曲的宇宙空間：
如圖11-a，平面的歐幾里德幾何空間代表不彎曲空間，其中光線沿直線傳播，也就是說在宇宙距離非常大的空間（A、B、C）三點用光測量此三點，得到三形三內角的和為180度。早期的牛頓宇宙模型及所有以等速度拉開天體間隔的開放式宇宙模型都屬於此類。
●正彎曲的宇宙空間：
如圖11-b，球面的黎曼非歐幾何空間代表正彎曲空間，這種空間，光將循圓圈一樣的封閉曲線傳播，也就是說，在宇宙距離非常大的空間（A、B、C）三點，用光測量此三點，得到三角形三內角的和大於180度。
早期的愛因斯坦封閉型寧靜宇宙及今日天文界的宇宙論寵兒“脈動理論”都是屬於正彎曲的封閉式宇宙空間。
●負彎曲的宇宙空間：
如圖11-c馬鞍式曲面的羅巴切夫斯基非歐幾何空間代表負彎曲空間，在這種空間，光將順著雙曲線那樣的開放曲線傳播，也就是在宇宙距離非常大的空間（A、B、C）三點，用光測量此三點，得到三角形三內角的和小於180度。今日天文界中的大爆炸理論是屬於負彎曲的開放式宇宙空間。
圖11-a：不彎曲的歐幾理德空間
圖11-b：正彎曲的黎曼空間
圖11-c：負彎曲的羅巴切夫斯基空間
圖11：歐幾理德幾何及非歐幾何模型
(7)科學家傾向用黎曼非歐幾何來解釋整個宇宙。
宇宙論的三派“定常態理論”、“大爆炸理論”、“脈動理論”，首先被判出局的是“定常態理論”，原因如下：
● 天體的年齡：
大爆炸宇宙理論主張宇宙在一百多億年開始爆炸，因此所有天體的年齡都應當小於一百多億年，事實上從各方面的證據都顯示星球年齡在100多億年之內。
●熱輻射電波
大爆炸理論預言宇宙中應該可找到爆炸初期留下來的熱輻射。這種攝氏零下270度的熱輻射電波也在1965年被美國貝爾研究所的研究人員找到了。
至於大爆炸以後，宇宙究竟是屬於開放式的負彎曲空間（天體一直無限膨脹）或是屬於封閉式正彎曲空間（天體從爆炸到縮收反覆不斷進行）呢﹖原先科學家在估算可觀測的宇宙中所有的質量之後，認為宇宙現存的總質量太少，以致於不足使目前膨脹的宇宙有再收縮的重力。換言之，宇宙是開放的，宇宙在很久很久以後，天體將一直遠離地球而消失在視野中。但是，宇宙真的是開放嗎﹖事實上，科學家最近又發現宇宙中還有許多以前我們所不知的未知質量例如：微中子和磁氣單極子、及大大小小的各種黑洞（註二）、大量之低溫小質量天體和巨大星、雲之間的氣雲（此地區原本人們認為是空虛的）。
這些新發現的質量迫使科學家們重新考慮脈動的宇宙論。換句話說，大多數天文學家們已相信，宇宙仍是正彎曲的，因此再度傾向用黎曼非歐幾何來解釋整個宇宙。
註二：所謂黑洞，就是能把周圍所有的物質及能量吸進去的宇宙陷阱一般的洞。