阿波羅尼奧斯與〈圓錐曲線〉的巨著 江銘輝 五夢網
圖：阿 圖：波羅尼奧斯（Apollonius of perga，希臘人，西元前262～190年）
阿波羅尼奧斯（圖）在數學上最大的成就是著作〈圓錐曲線〉一書。該書建立了完善的圓錐曲線理論。書中他總結了門內馬斯（Menaechmus）、阿利斯泰奧斯（Aristaeus）、歐幾里德、阿基米德諸名家在圓錐曲線理論方面的成果，再加上自己傑出的創見著作而成。此書在歐洲長期被視為數學經典大作與歐幾里德的〈原本〉並駕其驅。全書共分八卷487個命題，現存有七卷，382個命題。原希臘文本只有前四卷保存到現在，其後面三卷為阿拉伯文譯本，第八卷失傳。其中前三卷可能以歐幾里德的〈二次曲線〉及前人著作為基礎，改寫而成。
圖左：笛卡爾（法國人，1596～1650）
哲學、數學、物理學家，喜歡晚睡晚起，許多發現都在清晨躺在床上發現。主張“系統的懷疑”，提出“我思故我在”主張。經典著作是〈方法論〉，書中的附錄〈幾何學〉闡明他關於解析幾何的思想，使他贏得解析幾何的創造人。
圖右：巴斯卡（法國人，1623～1662）
哲學、神學、數學名家，從小就表現對數學的非凡才能，16歲時發表“巴斯卡六邊形定理”，為射影幾何的基本理論。他也是概率論的創始人之一。製造世界第一台的加、減計算器。哲學名言是：人只不過是會思考的蘆葦罷了！一生只活39歲。
圖1：著名數學家兼哲學家笛卡爾和巴斯卡
〈圓錐曲線論〉是一部經典巨著，它可說代表希臘幾何學的高超水準，自此以後，希臘人在幾何學上便沒有實質性的進步。直到十七世紀的〈笛卡兒〉（R. Descartes）和巴斯卡（B. Pascal）（圖1），圓錐曲線的理論才再度被廣泛討論，以後便朝著兩個方向發展，一是解析幾何，另一個是射影幾何，兩者幾乎同時出現。其實兩大領域的思想和基本原理，可說在阿波羅尼奧斯時，就已經開始萌芽。與阿基米德比較，阿波羅尼奧斯注意圖形的幾何性質，而阿基米德注重圖形的數值計算，這使阿波羅尼奧斯成為解析幾何工作的先驅著，而阿基米德為微積分工作的先驅者。茲將〈圓錐曲線論〉八卷的內容詳述如下：
(一) 圓錐曲線論的第一卷
第一卷的序言是給他在帕加摩認識的朋友尤德莫斯（Eudemus）（此人不是名數學史家尤德莫斯）的信，信說：「幾何學家諾克拉底斯（Naucrates）有一次來到亞歷山大城，鼓勵我寫出這本書。我匆忙的趕在他乘船離開之前寫成草稿交給他。當時並沒有來得及推敲。事後重新逐卷修訂，並分批寄給你。」序言之後，他給出8個定義，包括正圓錐、斜圓錐、直徑、共軛直徑……等的定義。在定義之後再給出60個命題。本卷書的詳細內容如下：
1.圓錐曲線的定義
（1）母線定義：
圖2a：若母線在移動中始終保持方向不變並沿著圓形準線運動則成圓柱面。
圖2b：若母線在移動中始終通過某一定點S，則產生錐面。
圖2：母線繞準線產生曲面
一條直線沿一定曲線（準線）運動，生成直紋曲面，那末這直線便叫母線。若母線在移動中始終保持方向不變沿著圓形的準線運動，則生成圓柱面，若母線在移動中始終通過某一定點S，並沿著一封閉準線運動則生成錐面（如圖2）（註一）。
註一：此處的準線定義與解析幾何中的圓錐曲線的準線定義不同。解析幾何的圓錐曲線的準線定義是：平面上一個動點到某定點的距離，與這動點到某定直線的距離之比是一個定數e，則動點的軌跡是一圓錐曲線，定直線叫做圓錐曲線的準線。橢圓和雙曲線各有兩準線l1和l2（每一條準線對應著一個焦點），拋物線有一條準線（圖3）。
圖3：橢圓的標準方程式為x2/a2 +y2/b2=1，其準線方程式為x=±a/e,a為半軸，e為離心率，又由於e<1，所以二條準線與其中心的距離均大於d。
(2)錐面：
圖4：母線l通過定點繞準線DCE連動，形成錐面。
如圖4設空間有一定點S和一條曲線CDE，通過點S且與曲線CDE相交的所有直線組成的曲面叫做錐面；點S稱為錐面的頂點；曲線CDE稱為錐面的準線；錐面上通過頂點S的直線l叫做錐面的母線。顯然任一與所有母線都相交的曲線都可以作為錐面的準線，例如C’D’E’是另一條準線，因此錐面的準線不是唯一的，它有好多條。在初等幾何中準線為圓的
錐體叫做圓錐，若圓錐頂點S在其底的射影與底心重合，則圓錐為直圓錐，若S射影不在底心，則圓錐稱為斜圓錐（圖5a），直圓錐可以由一直角三角形繞其一直角邊旋轉而生成（如圖5b），通常人們也把直圓錐簡稱為圓錐。
圖5a：圖右：若圓錐點S在其底的射影與底心重合稱為直圓錐，
圖左：若圓錐點S的射影不在底心，則為斜圓錐。
圖 
圖5b：直圓錐簡稱為圓錐，它可以由一直角三角形繞其一直角邊旋轉而生成。
圖5：直圓錐與斜圓錐
(3)直角、鈍角、銳角圓錐
將直角三角形的一條直角邊固定，並以此邊為軸旋轉可形成直圓錐，如果固定的一直角邊等於另一直角邊時，所形成的圓錐稱為直角圓錐；如果小於另一邊，則稱為鈍角圓錐，如果大於另一邊，則稱為銳角圓錐。此直角、鈍角、銳角圓錐的圓錐頂分別為直角、鈍角、銳角（圖6）。
圖6：直角圓錐是A10=B0，所以∠CA1B為直角， 鈍角圓錐是A20<B0，所以∠CA2B 大於直角，銳角圓錐是A30>B0，所以∠CA3B小於直角。
(4)圓錐曲線的定義
(a)圓錐曲線的發現
圓錐曲線起源於西元前四世紀柏拉圖的學生門內馬斯，當時他用垂直於一母線的平面去截割三種形狀的圓錐體（銳角圓錐、鈍角圓錐和直角圓錐）所產生三種不同的圓錐曲線，他稱為銳角圓錐曲線，直角圓錐曲線和鈍角圓錐曲線。 阿波羅尼奧斯首先證明這三種圓錐曲線，都可用平面截同一個 圓錐體而產生（圖7）。
圖8：圓錐曲線可由α與β角度來判斷：α＝β為拋物線，α＞β為雙曲線，α＜β為橢圓。
他說：如圖8，設l1，l2是相交於O點的兩條直線，讓l2以l1為軸旋轉，所得的曲面就是一個圓錐面，再用不經過O點的平面去切割圓錐面，所得的曲線叫做圓錐曲線。設l1，l2的夾角為α，切割平面和軸線l1夾角為β，若β＞α，平面與圓錐截面為橢圓，若β＝α則平面與圓錐截面為拋物線，若β＜α時則平面與圓錐截面為雙曲線。
(b)圓錐曲線的名稱由來：
圓錐曲線的發現者門內馬斯（Menaechmus）最初給它命名為：銳角圓錐曲線、直角圓錐曲線和鈍角圓錐曲線。但阿波羅尼奧斯借用畢達哥拉斯學派的矩形貼合觀念，將直角圓錐曲線命名為拋物線（Parabola），將鈍角圓錐曲線命名為雙曲線（hyperbola），將銳角圓錐曲線命名為橢圓曲線（ellipse）。ellipse的希臘文意思是“不足”，hyperbola的希臘文意思是“超越”，Parabola的希臘文意思是相等。
阿波羅尼奧斯為什麼會有這種命名呢？原來，畢達哥拉斯（Pythagoras）學派把一個矩形貼合於一線段（即把矩形的底放在線段上，令其底的一個端點與線段的一個端點重合）時，則依所貼合的矩形短於重合或超過該線段，得到ellipse, parabola, hyperbola三種情況。
圖9：圓錐曲線是由(PC)2/AC⋚AE的三種情況命名的
如圖9中，令AB為圓錐曲線的主軸，P為圓錐曲線上的任何一點，C為從P點向AB所作垂線的垂足。過圓錐曲線的頂點A作AB的垂線，取截線AE長度等於我們現代所說的圓錐曲線的正焦弦（latus rectum）（註二）或參數p。比較線段AE貼合以AC為一邊且其面積等於矩形的情況。依此矩形短於、重合或長於線段AE。阿波羅尼奧斯稱該圓錐曲線為橢圓（ellipse）、拋物線（parabola）或雙曲線（hperbola）。
註二：正焦弦：過焦點且垂直於焦點軸的弦。
換句話說，如果我們把圓錐曲線放在以AB為X軸，以AE為y軸的直角坐標系上，取點P點的座標為(x,y)則由P(x,y)、C(x,o)、A(O,O)三點及AE=p（p是參數），及(PC2)/ (AC2)=y2/x⋚ p=AE可判斷該曲線是否為橢圓，拋物線或雙曲線。
當y2/x<p該曲線為橢圓；y2/x=p該曲線為拋物線；y2/x>p該曲線為雙曲線。實際上應用笛卡爾（R. Descartes）直角座標所導出的橢圓、拋物線和雙曲線的方程式也是y2=px±px2/a（a是過頂點A的直徑之長）。即y2 =px-px2/a<px是橢圓；y2=px（當a是無窮大）是拋物線，y2 =px+px2/a>px是雙曲線。
由於阿波羅泥所導出的圓錐曲線幾何性質與現代人使用笛卡爾的直角座標導出的圓錐曲線的幾何性質相同。這種吻合的事實，使某些人甚至懷疑，古希臘人已經發明了解析幾何。
現在以第一冊命題13來說明阿波羅尼奧斯的貼合思想，該命題是講橢圓與矩形的貼合情形，同理可推至雙曲線及拋曲線的貼合情形。我們也可發現此命題所推出的結果竟與用解析幾何所得結果，完全一樣。
圖10：以幾何方法所證明的橢圓方程y2 =px-px2/a完全相同
如圖10，設有斜圓錐ABC，作任一平面截此圓錐，並與圓錐的底平面相交於FG，與圓錐面交於曲線DEL，作底圓的直徑BC^FG。 DABC是通過直徑BC及頂點A的平面與圓錐相交而成的三角形。D、E是ABC三角形與圓錐曲線的交點，E、D、F均在三角形平面上且又在截平面上，故EDF是ABC三角形的平面與截圓錐圓曲平面的交線。
在圓錐曲線上任取一點L，作ML平行FG，交DE於M。過M作PR平行BC，則PR與ML所形成的平面與底平面平行。因此PR與ML所形成的平面與斜圓錐ABC的截線是一個圓（圖中未畫出）。P、L、R是此圓周上三點，且PR是直徑，而ML^PR（ML//FG，FG^BC，BC//PR），則ML2= PM.MR……(1)
在三角形ABC平面內，作AH//DF交BC的延長線於H，
因為DDPM與DABH相似，故PM/DM= BH/AH ……(2)
又DMRE與DACH相似，故MR/ME= CH/AH…… (3)
（2）、(3)兩式左右相乘，得：
(PM.MR)/(DM.ME)= (BH.CH)/(AH)2 ……(4)
設DM=x，ML=y，DE=a，則ME=a-x。
式(4)中，BH、CH、AH都是固定，所以(BH.CH)/(AH)2 是常數令此常數為p/a，再由式(1)、(4)可寫成：
y2=(p/a).x(a-x)……(5)
過D作DK^DF，使DK=p，連接EK，作MN與DK平行且相等，交EH於Q，作OQ^DK，在DDKE中，DO/DK= MQ/DK=ME/DE=(a-x)/a
即DO=(p/a)(a-x)，代入(5)，得y2=DO.x
此式表明DO、DM構成的矩形面積等於ML上的正方形。現在我們考慮貼合（application）的情形。即以DM為一邊作一個矩形，貼合到DK上去，使其面積等於一個已知正方形。貼合情形就是比較矩形的一條邊與DK重合，其長度大於、小於或等於DK。此處以DM為一邊，貼合到DK上，使其面積等於ML上的正方形即DO邊。我們發現矩形DOQM的一邊DO＜DK，得到“不足”。本命題貼合到DK上的矩形的邊是不足的，阿波羅尼奧斯（稱為橢圓）。如果從直角座標系來看，問題就更清楚。以D為座標原點，DEF為橫軸，過D作平行於ML的直線為縱軸，這樣就得笛卡兒斜角座標系。ML^PR，但一般不垂直DE，故為斜角座標。y是L點的橫、縱座標，滿足y2=px-(p/a)x2… (6)
在解析幾何中這正是橢圓的方程。
用類似的方法可以得到另外兩種圓錐曲線。如果截平面和底圓相交，而且和圓錐面的另一支（位於頂點A的另一側）也相交，便得到雙曲線，其方程式為：
y2=px+(p/a)x2 ……(7)，如截平面平行於一條母線，則與底圓相交，但只與圓錐的一支相交，則得到拋物線，其方程式為y2=px……(8)。
圖中，EH是矩形的豎直邊（erect side），相當於現在的正焦弦（註三），式(6)、(7)、(8)說明橢圓、雙曲線、拋物線上任一點的縱坐標的平方分另小於、大於、等於正焦弦乘以橫座標。
註三：正焦弦：過焦點且垂直於焦點軸的弦，如圖11拋物線、橢圓、雙曲線的AB。
11-1 橢圓方程式：x2/a2+y2/b2=1，正焦弦ïABï=2b2/a, p=2b2/a
11-2 雙曲線方程式：x2/a2-y2/b2=1(a>0, b>0)，正焦弦ïABï=2b2/a, p=2b2/a
11-3 拋物線方程式：y2=px (p>0)正焦弦ïABï=p
圖11：橢圓、雙曲線、拋物線的正焦弦。
2.圓錐曲線直徑與共軛直徑等問題
第一卷後面的命題很多涉及到直徑與共軛直徑的問題，這個概念和現今解析幾何中的概念是一致的。今日的數學對於圓錐曲線的直徑與共軛直徑的定義如下：
(1)圓錐曲線直徑：一組平行弦的中點的軌跡叫做圓錐曲線在這一平行弦方向的直徑。依此定義，橢圓和雙曲線的直徑是通過中心的線段，拋物線的直徑是平行對稱軸的射線。
(2)共軛直徑：若圓錐曲線的兩條直徑中，每一條直徑都平分與另一條直徑平行的弦，則稱此兩直徑為共軛直徑。阿波羅尼奧斯在〈圓錐曲線論〉第一卷中證明了圓錐曲線平行弦的中點都在一條直線上，該直線叫做直徑（如圖12），他還證明拋物線直徑必平行於其軸，而橢圓、雙曲線的直徑必過中心（圖13）。
圖12：圓錐曲線上所有弦的中間點都在一直線上
圖13：拋物線直徑必平行其軸，橢圓、雙曲線的直徑必過中心點
對於共軛直徑，阿波羅尼奧斯也提出了類似今日共軛直徑的定義，依此定義橢圓的兩條共軛直在橢圓內相交於中心點，如圖12之AB及CD兩條共軛直徑。雙曲線的情況稍有不同，任兩條共軛直徑有一條與雙曲線相交，另一條則不相交。拋物線的每條直徑都與其對稱軸相交，因此它沒有共軛直徑。
3.圓錐曲線的切線問題
除直徑之外，阿波羅尼奧斯也處理切線問題，若一直線在錐線之外且與錐線僅有一共同點，則該直線稱為此錐線的切線，共同的交點稱為切點。例如命題33給出拋物線切線如圖14，GH為拋物線對稱軸，AB為EF弦所決定的直徑，延長AB至T使TA=AD，則TF是拋物線的切線，F是切點。若過A作AC//EF則AC也是切線。
圖14：將直徑AB延長至Ｔ，使AT=AD則TF是切線
(二)圓錐曲線第二卷
第二卷探討如何作一雙曲線的漸近線，如何找一錐線的直徑，有心錐線的心，拋物線的軸，有心錐線的軸。第二卷也有前言，前言敘述：阿波羅尼奧斯說他曾將這一卷書由他的兒子交給尤德莫斯，並說如果見到菲隆尼德斯（Philonides）時，請尤德莫斯將此卷書請他一閱。菲隆尼德斯是阿波羅尼奧斯在小亞細亞西岸的以弗所（Ephesus）結識的幾何學家，對〈圓錐曲線論〉頗感興趣，阿波羅尼奧斯曾介紹過他與尤德莫斯認識。
1.雙曲線的漸近線
第二卷用很大的篇幅來討論雙曲線的漸近線，命題1給出定義並證明其存在。這是阿波羅尼奧斯的獨創，前人沒有論述過，“漸近線”（asymptote），希臘文的原意是“不可能相交的”，其名稱也是他引入的。命題14證明如果將雙曲線和漸近線無限延長，可使兩者的距離任意小（圖15）。命題17證明共軛的雙曲線具有相同的漸近線（圖16）。
圖15：線段AB及線段DC往兩邊任意延長，可以和雙曲線任意的接近。
圖16：共軛的雙曲線有共同的漸近線。
2.有心圓錐線的心
第2卷第44-53命題是一些作圖題，包括求作有心圓錐曲線的中心，求作圓錐曲線的對稱軸、直徑，從曲線外一點向曲線作切線，還有作滿足某種條件的切線等。例如圖17，T為圓錐線外一點，TA、TB為切線，AB為切點，AB中點為C，則TC為一直徑。任二直徑的交點是有心錐線的心。
圖17：TA、TB是切線，C為AB中點，則TC是直徑
(三)圓錐曲線第三卷
第三卷論述了由弦、漸近線、切線等構成的三角形、四邊形、矩形之間的相等、和、差比例的關係，以及橢圓和雙曲線的焦點問題。阿波羅尼奧斯認為第三卷是他的得意傑作，他在全書的序言中特別提到：“第三卷包含許多出色的定理，……其中最優美的是我新發現的，我注意到歐幾里德並沒有解決“3或4條直線的軌跡”問題，他僅是處理某些特例，而且並不成功。因為沒有我發現的定理是無法徹底解決此類問題的。”五百年後，帕波斯（Pappus of Alexandria，約300～350年）將“3或4直線”的軌跡問題推廣至4條以上的直線，他認為阿波羅尼奧斯仍未完全解決這一問題。並且指責阿波羅尼奧斯採用了許多前人（包括歐幾里德）在圓錐曲線的成果，而從未歸功於這些先驅者。
1.切線與弦之間的比例關係
下列的命題是討論兩條切線與兩條弦之間所構的比例關係，如圖18，TR、TS為橢圓之二切線，AB、CD為二弦，相交於E，且AB//TS，CD//TR，則(AE.EB)/(CE.ED)=TS2/TR2
圖18：(AE.EB)/(CE.ED)= TS2/TR2
2.極與極軸的問題
第三冊也討論極與極軸的調和性質，如圖19所示：
TR、TS為橢圓之二切線，R、S為切點，TUP為任一割線而與橢圓交於U、P，與RS相交於V，則：TU/TP= UV/ VP。
RS稱為T的一極軸，T、U、V、P稱為調和點。
若令C為RS的中點，BCD為任一線與橢圓交於B、D，並與過T且平行於RS之線交於A點，則AB/AD= BC/CD，則TA是C的極軸，而A、B、C、D稱為調和點。
圖19：T、U、V、P四點稱為調和點
3.有心圓錐線的焦點
第三冊命題45以後討論橢圓與雙軸線的焦點性質，但沒有給出焦點的術語，只把焦點成是“由貼合產生的點”。數學的發展，焦點（focus）這一術語，直到1604才由德國天文學家克卜勒（Johannes Kepler, 1571～1630）首先使用。
有心圓錐曲線之焦點可由下述找出。
如圖20，設FF'在有心錐線的軸上，且滿足
AF.FA’= AF’.FA’.F’A’= (p/4).A’A
式中，A'、A是對稱軸與圓錐曲線交點，P是正焦弦。
第三卷，命題48證明了著名的焦點切線性質:過有心錐線上的一點S作該圓錐線之切線則SF、SF'必與切線成等角，即∠F’ST’=∠FST（圖20-a），或∠F’ST’=∠FST’（圖20-b）。
圖20-a：橢圓焦點為則F’ST’=∠FST
圖20-b：雙曲線焦點為則∠F’ST’=∠FST’
圖20：橢圓與雙曲線的焦點
至於為什麼只討論到橢圓和雙曲線的焦點，而全書竟沒有提到拋物線的焦點，更沒有焦點與準線的關係：一動點到一定點（焦點）的距離與這動點到某定直線（準線）的距離比是常數，書中也沒有出現離心率的概念。這是一個謎，可能有兩種解釋：一是數學史家康托爾（M.B. Cantor, 1829～1920）說：在帕波斯之前，希臘人並不知道拋物線有焦點，當然也不知道焦點、準線定義。二是雖然歐幾里德已知焦點及準線（帕波斯推測），但阿波羅尼奧斯可能在別的已失傳的著作中作了專門的論述，所以無需在此書重複。這兩種解釋都被懷疑。
4.三或四條直線的軌跡問題
第三卷還有幾個命題是非常有名的問題：在平面上給定3條固定的直線，一動點與一直線距離的平方比與另外兩條直線距離之積，求動點的軌跡。在給定4條固定的直線下，則動點與其中兩條直線距離之積，正比於另外兩條直線距離之積。所謂距離是指垂直距離，或著量距離的直線與固定直線交於一定的角度。例如求一點P的軌跡，使P到四條定直線的距離滿足ab=acd，α為定數（圖21）。
圖21：求滿足ab=acd的P點軌跡
這類問題阿波羅尼奧斯說歐幾里德只解決一些特例，沒有很成功解答問題，他已發現了定理，徹底解決問題，帕波斯認為阿波羅尼奧斯仍未完全解決問題。 今日此類問題在一千年後，笛卡爾用代數方法證明了這個點P的軌跡為二次圓錐曲線。以3直線為例，用解析幾何方法很容易看出軌跡是圓錐曲線。證明如下：
設直線方程式為：aix+biy+ci=0(i= 1,2,3)
又量距離的直線分別與固定直線交於θi(i=1,2,3)角，於是根據點與直線距離的公式，則：
這是x、y的2次方程式，因此必定為圓錐曲線。同理4條直線的情況下，為：
仍然是x，y的2次方式程式，也是圓錐曲線。
(四)圓錐曲線第四卷
第四卷繼續第三卷討論圓錐曲線的極點與極線的調和性質 之外，也探討圓錐曲線交點的個數，證明了兩圓錐曲線相交至多有4個交點。
圖22：若TC/TA=BC/BA,TC’/TA’=B’C’/B’A’，則TS、TR為橢圓的切線。
例如圖22，設T為橢圓外一點，作TCA，TC’A’與橢圓交於C’C， A’A，令B、B'分別在TA、TA'線上，且滿足：
TC/TA= BC/BA，TC’/TA’=B’C’/B’A’
連結B，B'與橢圓交於R、S兩點，則TR與TS為橢圓的切線。
(五)圓錐曲線第五卷
第五卷充分顯示了阿波羅尼奧斯在數學上的精深造諧和 獨創精神，他詳盡地探討了十分困難的極大、極小問題，研究的主題就是今天所稱的法線有關的內容，但書中還沒有把法線看成是垂直於切線的直線，而是看成從圓錐曲線的內點或外點到圓錐曲線所能作的最長和最短的線。他證明了：若O為固定點，P在圓錐線上，OP為最短或是最長，則過P點的垂線必為錐線的切線。
然後他指出怎樣從圓錐曲線的內部或外部的任一點作該曲線的法線，他還進一步注意到，平面上不同區域的點所能作的法線的數目是不同的。
圖23：橢圓形可作一個漸屈線，在漸屈線的內部有4條法線，外部有2條法線。
例如，如圖23，設橢圓的長軸上取一點P，P可向橢圓作4條法線（包括長軸本身），現將點的位置向著縱座標的方向向上（或向下）移動至達G2點（或G1點）處，法線仍然是4條，但過了G2（G1），法線突然變成2條。這種分界點的集合構成一個封閉的圖形，在圖形內部的點可向橢圓作4條法線，在圓形外部的點可作兩條法線。阿波羅尼奧斯並沒有引入這一類的曲線，他只是針對每一點P作分析並確定對應的分界點G1、G2。
阿波羅尼奧斯雖然當時並沒有將決定法線數目的曲線劃出來。但今日我們已經知道判斷“某一定點到圓錐曲線法線的數目”所組
成的曲線是該圓錐曲線的漸屈線。漸屈線的定義是：曲線的曲率中心的軌跡叫做該曲線的漸屈線。曲線稱做其漸屈線的漸伸線或切展線。漸屈線的切線是漸伸線的法線，漸屈線亦叫法包線（圖24）。
圖24：漸屈線的切線是漸伸線的法線
對於橢圓x2/a2+ y2/b2=1來說，漸屈線是(ax)2/3+(by)2/3=( a2 -b2)2/3，拋物線也有漸屈線，它是：y=(kx)2/3，稱為半立方拋物線。
即y=(kx)3/2是拋物線的漸屈線如圖25，它也可決定平面上之任意點到拋物線的數目。如圖25中，從半立方拋物線上的任一點可向拋物線作兩條法線。而從其上方平面的任何一點能作拋物線的三條法線，從其下方平面的任何一點卻只能作一條。
圖25：拋物線與其漸屈線
(六)圓錐曲線第六卷
第六卷前半段是講述全等及相似的圓錐曲線及圓錐曲線的弓形。後半段是一些作圖題，如何從一個正圓錐截取一條曲線與已知圓錐曲線相等。
(七)圓錐曲線第七卷
第七卷是關於共軛直徑的定理的論述，例如：命題12，橢圓兩個共軛直徑上的正方形之和等於兩個對稱軸上的正方形之和。命題13，雙曲線兩個共軛直徑上的正方形之差等於對稱軸上的正方形之差。命題31，橢圓或雙曲線的兩條共軛直徑所構成的平行四邊形等於兩條對稱軸所構成的矩形。
圖26：橢圓共軛直徑上的四點M、M'、N、N'分別為M(a cosφ, b sinφ)、M'(-a cosφ, -b sinφ)、N(a sinφ, -b cosφ)、N'(-a sinφ, b cosφ)
茲以解析幾何證明命題12如下：
已知橢圓x2/a2 +y2/b2=1的一直徑的端點為M (acosφ, bsinφ), M'(-acosφ, -bsinφ)，如圖26，直徑MM'的方程式是y=(b/a)xtan φ，它的共軛直徑NN'的方程式是y=(b/a)xcotφ，代入橢圓方程式得：
x2/a2+ x2cot2φ/a2=1,即x2csc2φ/a2=1；x=±asinφ, y=∓bcosφ
所以共軛直徑和橢圓交點N、N'的座標為：
M(ａsinφ, -bcosφ), M'(-ａsinφ,-bcosφ)
命題12是要證明(M’M)2+(NN’)2 = 4a2+4b2，在解析幾何中，我們知道任意兩點P1(x1,y1), P2(x2,y2)的P1 P2距離是 
，因此從M、M'、N、N'四點的座標，我們知道：
所以：(M’M)2+(NN’)2= 4a2+4b2；因為：M’M共軛直徑所作成的正方形面積是(M’M)2，NN’共軛直徑所作成的正方形面積是(NN’)2，橢圓的一個軸所做成的正方形面積是4a2，另一個軸所做成的正方形面積是4b2。所以：橢圓兩個共軛直徑上的正方形之和等於兩個對稱軸上的正方形之和。
(八) 圓錐曲線第八卷
第八卷已失傳，它大概是第七卷的繼續或補充。
哈雷（Edmond Halley, 1656～1743）（圖27）根據帕波斯（Pappus, 300～350）所提供的線索，對失傳的第八卷進行了卓越且有成效的復原工作。
圖27：哈雷〈英國人，1656～1743〉，英國人的天文學家、 數學家，以發現哈雷彗星聞名於世，哈雷在數學上研究過阿波羅尼奧斯的著作，並計劃翻譯出版。他對高等幾何學，對數計算及三角數進行分類，並將數學大量應用於天文學研究。