芝诺与芝诺悖论 江铭辉 五梦网
图：芝诺（Zeno of Elea，希腊人，公元前490～430年）
一、芝诺生平
希腊哲学家芝诺〈图〉生于意大利半岛南部卢卡尼亚（Lucania）的耶利亚（Elea）城邦，生平不详。他是耶利亚学派的代表人物。耶利亚学派出现了师徒三位哲学巨子，创始人是赞诺芬尼斯（Xenophanes，公元前570～475年）；巴曼尼德斯（Parmenides，公元前540～470年）他是赞诺芬尼斯的弟子。巴曼尼德斯出生于贵族家庭，生活富裕，曾在雅典与青年时候的苏格拉底（Socrates）有过交往，曾经为耶利亚草拟法律，促使耶利亚的繁荣和康乐，他早期曾参加毕达哥拉斯学派，后来才拜赞诺芬尼斯为师，成为耶利亚学派的代表人物。
芝诺是巴曼尼德斯的弟子，同时他也认巴曼德尼斯为义父，曾着有「论自然」以及「致哲学派系」二书，可惜现只存断简残篇。芝诺有辩论天才，且在辩论时常时对方哑口莫辩。因反对当时的暴君德米罗斯（Demylos）而被处死，受审时咬破舌头，含血喷在暴君脸上。
芝诺一生精心设计来维护老师巴曼尼德斯的理论。巴曼尼德斯继承赞诺芬尼斯的主张，认为「唯一」、「不动、不变」才是万物的真象。他曾抨击多元论，并宣称变化与运动皆是幻象。但是多样性与运动的现象，又是一般人感官经验明显可见到的事实。巴曼尼德斯的大胆假设，招引人们的讪笑。芝诺挺身而出，坚信老师的理论，并试图加以证明。芝诺今日为人所津津乐道的是：记载在亚理斯多德（Aristotle）“物理”著作中的四个违背常识的悖论。这是关于时间和空间的无穷分割所产生违背逻辑的叙述。这四个悖论除了第四条悖论被人证明是错误以外，其余三条，无论对当代学者甚至后代学术界都造成极大的骚动，至今余波未息。
二、芝诺四个运动悖论
芝诺最著名的论证是有关「运动」的问题。他之所以提出这些论证其目的是替他的老师的「不动、不变」理论作辩解。跟据芝诺的理论，要想从A地到B地，必须在有限时间内，越过无限数目的点，但是，你怎么可能在有限的时间内，越过无限数目的点呢？结论是：你无法越过，所以一切运动都是幻觉且不可能存在的。芝诺的四个著名运动论证被记载在亚理斯多德“物理”著作中。现在一一详述如下：
（一）二分说（dichotomy）：一个人从A地到B地，永远不能达到
图1：一个人从A地到B地，永远留在原点，不能达到B点。
有人想从A地到B地，首先他要通过道路的一半；但要通过一半，必须通过一半的一半，即道路的1/4；要通过1/4，必先通过1/8，这样永无止境的分下去，将有无穷的点。芝诺的结论是此人根本无法跨越此无数的点，所以他永远不能开始，一直停留在原点的位置（如图1）。
芝诺在“二分说”犯有错误，因为一切连续事物被说成是“无限的”，都属下列两种涵义之一：或有限的物体它可分成是无限的，或无限的延伸，这两者的无限的涵义是不相同的。芝诺在“二分说”中的“距离”是分起来是无限的，它是将固定有限的一段距离分成无限个点。而时间是无限的延伸。因此两者无限是不相同的，的确在“二分说”里的人最后也会从“Ａ地”走到“Ｂ地”。现在如将“二分说”里的时间也换成无限延伸的空间则更容易了解芝诺对无限细分及无限延长的误解，譬如：有一立方公尺的物质，要放入十立方公尺的容器，毫无疑间的，必能放进容器；若将一立方公尺的这个物质切成无穷多块，这些细分后的小方块应该也能全部放入十立方公尺的容器；若将一立方公尺的这个物质切成无穷多块，而此十立方公尺的容器一直增大，直到无穷，当然这个细分后的物质更容易放入一直增大的容器。
上述的解说最早见诸于亚理斯多德对芝诺的批评，应该可以解释“二分说”所犯的错误。
(二) 阿基利斯追龟说（Achilles and a tortoise）
芝诺说：阿基利斯追海龟，永远追不上。阿基利斯（Achilles）是古希腊最伟大诗人〈荷马〉（Homer，公元前8世纪）（图2）史诗〈埃利奥特〉（Iliad）中的希腊英雄，他传是海之女神和凡人的儿子，出生之后被母亲倒提脚跟在冥河水中浸过，因此除了脚根外，全身刀枪不入。以善跑著称，而龟是在动物界中，少数跑得很慢的动物之一。
图2-a：荷马（希腊人，公元前8世纪）
关于荷马的事迹在史籍上记载的很少，但流传至今有关他的传说却不少。据说荷马是个双目失明的人，他经常一城又一城的旅游和吟诵诗歌。他留下的作品「埃利奥特」及「奥德赛」被认为是世界最古、最长的叙事诗，并且这些诗对后世文坛的影响也十分深远。
图2-b：阿基利斯
希腊神话中的英雄，海之女神特提斯和凡人所生的儿子。他出生后被母亲倒提脚跟在冥河水中浸过，因此除了脚根外，全身刀枪不入。但他的这个弱点被敌人所识除，用毒箭射入他的脚后跟，他中箭身亡。在英文的谚语中“阿基利斯的脚跟”（Archilles's heel）就指致命的弱点。
图2：荷马及荷马笔下的阿基利斯
芝诺的四个时间和运动的悖论中，最著名的悖论就是阿基利斯追龟的悖论，这个悖论是：
阿基利斯想要追上100公尺外的一只海龟。（如图3）
图3：阿基利斯想追上100公尺外的一只海龟
假设阿基利斯跑的速度是海龟的十倍。他每秒跑10公尺，而海龟每秒跑1公尺。
当阿基利斯跑了10秒钟，到海龟原来所在位置时，海龟已向前爬了10公尺。（如图4）
图4：当阿基利斯跑了100公尺时，海龟又向前爬了10公尺
当阿基利斯又跑了10公尺时，海龟又向前爬了1公尺
阿基利斯再追1公尺，海龟又前进了1/10公尺，这样……，如此只要阿基利斯走到海龟原先所在的地方，海龟就又向前移动一小距离。由于海龟永远在阿基利斯前面这么一点点距离，所以阿基利斯一直无法追上海龟。
芝诺当然也知道阿基利斯最后能够追上海龟，但是他这种无穷级数的距离和时间的观念，困惑了当代及后世的学者。
阿基利斯追不到海龟的悖论，其主要原因是希腊人将空间与时间混为一谈。事实上，生活在三度空间的动物，无论是海龟或人类都不能控制时间，也就是说时间与空间是独立的，换言之：不管阿基利斯与海龟如何的跑，时间都会继续前进，不曾停顿，阿基利斯可以一直以每秒10公尺的速度向前跑，不管他与海龟的距离是如何接近，也不管海龟是停跑或每秒跑多远。
图5：阿基利斯追海龟的曲线图
用我们现在数学的计算，海龟在被阿基利斯追上时，海龟与阿基利斯所跑的路程为：
海龟路程：10公尺+1公尺+1/10公尺+1/100公尺+1/1000公尺+……
=11.11111……公尺=11.i公尺（用11. i秒）
阿基利斯路程：100公尺+10公尺+1公尺+1/10公尺+1/100公尺+1/1000公尺+……=111. i公尺（用11. i秒）
如图5，很显然的，阿基利斯如以比11. i秒多一点的时间一定可追上海龟。
这是生活在时间和空间互不相干的三度空间的人类皆会感受得到的自然结果。但是如果在空间随时间变化的世界里譬如爱因斯坦的四度空间理论，也许阿基利斯就真的追不到海龟了。我们用下面二个例子来解释：
1. 阿基利斯如何在橡皮跑道拿到苹果
图6：阿基利斯可否拿到100公尺以外的金苹果？
如图6，阿基利斯在橡皮跑道的一端，橡皮跑道长100公尺，他奉令要跑到橡皮跑道的一端拿金苹果。阿基利斯以每秒10公尺的稳定速度沿橡皮跑道往前急奔，但在1秒钟之后，橡皮跑道就像橡皮筋一样拉长为200公尺，再过一秒钟后，它又拉长为300公尺，如此下去，阿基利斯最后究竟会不会拿到金苹果呢？
根据直觉你会说，阿基利斯拿不到金苹果，可是我们说：他可办到。解决这个问题的关键是橡皮跑道的伸长是均匀的，在橡皮跑道伸长时，阿基利斯也随着橡皮的拉伸向前挪移了。因此：在第一秒内，阿基利斯跑了10公尺为橡皮跑道长度的1/10，在第二秒内阿基利斯又在长度为200公尺的橡皮跑道跑了1/20，第三秒内，他又跑了300公尺橡皮跑道的1/30，如此继续的跑，假设橡皮跑道最后的长度是S，则阿基利斯的全部跑程是：
〈1/10+1/20+1/30+1/40……〉S=1/10（1+1/2+1/3+1/4……）S
1+1/2+1/3+1/4……＋1/n……是调和级数，它的“和”我们要它多大，就可以有多大，所以我们说阿基利斯在n秒时，可拿到金苹果，即：
1/10（1+1/2+1/3+1/4……＋1/n……）S≧S；
1+1/2+1/3+1/4……＋1/n……≧10
1+1/2+1/3+1/4……＋1/n……的和在n非常大时是㏒n所以只要㏒n=10 即 n=e01=22027（秒）时阿基利斯可以拿到金苹果。
2. 阿基利斯追不上海龟
现在，我们假设在橡皮跑道的尽端不是放置一颗金苹果，而是一只每秒走1公尺的海龟如图7，请问阿基利斯是否仍可追上海龟？我们可以告诉你，他不但永远追不上海龟，而且越追越远。
这问题答案也很容易解答，首先阿基利斯跑到海龟现在的100公尺位置，须要发费22027秒。在这22027秒之间，海龟又前进了全部橡皮跑道的：
1/100+1/200+1/300+……+1/2202700=1/100(1+1/2+1/3+1/4+……+1/2202700)=1/100(4.343)= 4.343/100（这时橡皮跑道的长度为22027×100公尺）
所以海龟前进的路程为100公尺×22027×4.343/100=95663公尺，也就是说阿基利斯追海龟越追越远。
图7：阿基利斯在橡皮跑道上永远追不到海龟
(三) 飞箭（arrow）静止说
飞箭在任何一个确定的时刻只能占据空间的一个特定的位置，因此在这一瞬间它就静上在这个位置上，于是所谓运动，只是许多静止的总和。对于这个悖论，亚理斯多德首先提出批评，他说：时间不是由不可分的“现在”组成的，正如别的任何量，也都不是由不可分的“部分组合”，又说：在时间里，确有一种不可分的东西，我们把它称之为“现在”。因此这个问题就便成讨论“现在”究竟是什么？这个问题对于只知道“数”只有“有理数”的公元前五世纪的希腊人飞箭会发生短暂的停顿是有它的道理地，因为有理数（1,1/2,1/3,1/4……）之两数间是不连续且可数的，若将飞箭所飞行的距离分割成无限个有理数的点（X1，X2，……Xn……），同时也把飞箭所经过的时间也分成无限个有理数点（t1，t2，t3……tn……）。将距离的点与时间的点做“一对一”对映，即(X1，t1)，(X2，t2)，……（Xn，tn）……。因为X1，X2……Xn是不连续的，且两数中间还有一大堆无理数，譬如X1和X2之间有许多无理数。所以对每个距离Xn来讲它有一个现在的时间tn与之对映，也就是飞箭的在tn这个时刻，它是静止的。一直要等到tn+1时，它才会再移动到Xn+1的位置（如图8）。
图8：将距离分为x1，x2……xn，xn+1……x∞的点，时间也分为t1，t2……tn，tn+1……t∞的点。则在时间tn时，飞箭来到距离xn的点，往后有一段非常微小的时间（tn+1，tn），飞箭是静止的，一直到时间变成tn+1时，飞箭才从距离xn跳到距离xn+1。
芝诺的飞箭静止说是居于“有理数”的观点来解释的，如果自然界只存在有理数而没有无理数存在，则的确飞箭有一段时间是可用“静止”不动来解释。但是由于距离和时间都可分割为无限不可数的点且这些点是连续的，因此在任一给定的瞬刻飞箭虽然是不动的，但在由无限多瞬间组成的连续体上飞箭是不停在动的。这个观念我们可从伽利略（Galilei Galelieo）在他于1638年出版的〈新科学对话〉中所说明的关于使二在线的点正确的对应及康托尔（Georg Cantor）的实数集的连续体假设得到满意的解释。
图9：二在线的点正确的对应
如图9，于图中设CD是飞箭从起始点到终点的距离，AB是飞箭起时到终点的时间，若从点Ｏ向AB上的点P划一条直线时，此直线必定通过CD上的一点P1，也就是说在时间轴AB上的任一点P，必然有距离轴CD之一点与之对应。由于时间在AB时间轴上是从A点开始无限的延伸，因此飞箭也跟着从C点开始经无限连续点到达终点D。也就是说在任一给定的瞬刻P点飞箭是不动的静止在P1点，但在无限多的“瞬刻”组成的连续体上飞箭是随时间的延伸而运动的。
(四) 运动场（Stadium）悖论
这个问题叙述有关运动场上运动物体的悖论：如图10，运动场跑道上有A、B、C三队选手，选手体形相同、人数一样，他们排成三对，A对从起点到中点，B队从中点往左右排开，C对从中点到终点。此时A、C两队向中点奔跑、B对则留在原地静止不动，芝诺从此出发说明：一段时间和它的一半时间相等。
芝诺论的悖论可用以下来说明：
图10：A、B、C三对选手，B对往前奔跑、A对向后奔跑、另C对留在原地静止不动
如图10，设有A、B、C三对选手，每对各5人，每队分为4等分(每位选手相距d公尺)。用a0，…，a4；b0，…，b4；c0，…，c4来代表这三对选手。现在A、C各向中央方向以等速运动，而B不动。经过时间t之后，A、B、C三对全部对齐（如图11）。
图11：三队选手整齐排成三队
这时A上的a2和B上的b2对齐，而原先a2是和b0对齐的，故a2通过了距离2d。另一方面，c4原先是和a0对齐的，现在却和a4对齐（图11），可见a4已通过4d的距离。由此看来，c4要想通过2d的距离（和a3对齐），只要一半时间就够了。齐诺因此得到一个结论：时间的一半和它的全体时间相等。这问题错误的地方很容易看出，亚理斯多德首先指出错误之处，他说：1.芝诺把运动着的物体将要通过的两个物体的状态混在一起，一个是静止的，一个是反相运动的；2.他把运动着的物体要通过的所有时间（通过一个是静止的时间及通过一个是反相运动的时间）皆当作应该相等。