芝諾與芝諾悖論 江銘輝 五夢網
圖：芝諾（Zeno of Elea，希臘人，西元前490～430年）
一、芝諾生平
希臘哲學家芝諾〈圖〉生於意大利半島南部盧卡尼亞（Lucania）的耶利亞（Elea）城邦，生平不詳。他是耶利亞學派的代表人物。耶利亞學派出現了師徒三位哲學鉅子，創始人是讚諾芬尼斯（Xenophanes，西元前570～475年）；巴曼尼德斯（Parmenides，西元前540～470年）他是讚諾芬尼斯的弟子。巴曼尼德斯出生於貴族家庭，生活富裕，曾在雅典與青年時候的蘇格拉底（Socrates）有過交往，曾經為耶利亞草擬法律，促使耶利亞的繁榮和康樂，他早期曾參加畢達哥拉斯學派，後來才拜讚諾芬尼斯為師，成為耶利亞學派的代表人物。
芝諾是巴曼尼德斯的弟子，同時他也認巴曼德尼斯為義父，曾著有「論自然」以及「致哲學派系」二書，可惜現只存斷簡殘篇。芝諾有辯論天才，且在辯論時常時對方啞口莫辯。因反對當時的暴君德米羅斯（Demylos）而被處死，受審時咬破舌頭，含血噴在暴君臉上。
芝諾一生精心設計來維護老師巴曼尼德斯的理論。巴曼尼德斯繼承讚諾芬尼斯的主張，認為「唯一」、「不動、不變」才是萬物的真象。他曾抨擊多元論，並宣稱變化與運動皆是幻象。但是多樣性與運動的現象，又是一般人感官經驗明顯可見到的事實。巴曼尼德斯的大膽假設，招引人們的訕笑。芝諾挺身而出，堅信老師的理論，並試圖加以證明。芝諾今日為人所津津樂道的是：記載在亞理斯多德（Aristotle）“物理”著作中的四個違背常識的悖論。這是關於時間和空間的無窮分割所產生違背邏輯的敘述。這四個悖論除了第四條悖論被人證明是錯誤以外，其餘三條，無論對當代學者甚至後代學術界都造成極大的騷動，至今餘波未息。
二、芝諾四個運動悖論
芝諾最著名的論證是有關「運動」的問題。他之所以提出這些論證其目的是替他的老師的「不動、不變」理論作辯解。跟據芝諾的理論，要想從A地到B地，必須在有限時間內，越過無限數目的點，但是，你怎麼可能在有限的時間內，越過無限數目的點呢？結論是：你無法越過，所以一切運動都是幻覺且不可能存在的。芝諾的四個著名運動論證被記載在亞理斯多德“物理”著作中。現在一一詳述如下：
（一）二分說（dichotomy）：一個人從A地到B地，永遠不能達到
圖1：一個人從A地到B地，永遠留在原點，不能達到B點。
有人想從A地到B地，首先他要通過道路的一半；但要通過一半，必須通過一半的一半，即道路的1/4；要通過1/4，必先通過1/8，這樣永無止境的分下去，將有無窮的點。芝諾的結論是此人根本無法跨越此無數的點，所以他永遠不能開始，一直停留在原點的位置（如圖1）。
芝諾在“二分說”犯有錯誤，因為一切連續事物被說成是“無限的”，都屬下列兩種涵義之一：或有限的物體它可分成是無限的，或無限的延伸，這兩者的無限的涵義是不相同的。芝諾在“二分說”中的“距離”是分起來是無限的，它是將固定有限的一段距離分成無限個點。而時間是無限的延伸。因此兩者無限是不相同的，的確在“二分說”裡的人最後也會從“Ａ地”走到“Ｂ地”。現在如將“二分說”裡的時間也換成無限延伸的空間則更容易了解芝諾對無限細分及無限延長的誤解，譬如：有一立方公尺的物質，要放入十立方公尺的容器，毫無疑間的，必能放進容器；若將一立方公尺的這個物質切成無窮多塊，這些細分後的小方塊應該也能全部放入十立方公尺的容器；若將一立方公尺的這個物質切成無窮多塊，而此十立方公尺的容器一直增大，直到無窮，當然這個細分後的物質更容易放入一直增大的容器。
上述的解說最早見諸於亞理斯多德對芝諾的批評，應該可以解釋“二分說”所犯的錯誤。
(二) 阿基里斯追龜說（Achilles and a tortoise）
芝諾說：阿基里斯追海龜，永遠追不上。阿基里斯（Achilles）是古希臘最偉大詩人〈荷馬〉（Homer，西元前8世紀）（圖2）史詩〈伊里亞德〉（Iliad）中的希臘英雄，他傳是海之女神和凡人的兒子，出生之後被母親倒提腳跟在冥河水中浸過，因此除了腳根外，全身刀槍不入。以善跑著稱，而龜是在動物界中，少數跑得很慢的動物之一。
圖2-a：荷馬（希臘人，西元前8世紀）
關於荷馬的事蹟在史籍上記載的很少，但流傳至今有關他的傳說卻不少。據說荷馬是個雙目失明的人，他經常一城又一城的旅遊和吟誦詩歌。他留下的作品「伊里亞德」及「奧德賽」被認為是世界最古、最長的敘事詩，並且這些詩對後世文壇的影響也十分深遠。
圖2-b：阿基里斯
希臘神話中的英雄，海之女神特提斯和凡人所生的兒子。他出生後被母親倒提腳跟在冥河水中浸過，因此除了腳根外，全身刀槍不入。但他的這個弱點被敵人所識除，用毒箭射入他的腳後跟，他中箭身亡。在英文的諺語中“阿基里斯的腳跟”（Archilles's heel）就指致命的弱點。
圖2：荷馬及荷馬筆下的阿基里斯
芝諾的四個時間和運動的悖論中，最著名的悖論就是阿基里斯追龜的悖論，這個悖論是：
阿基里斯想要追上100公尺外的一隻海龜。（如圖3）
圖3：阿基里斯想追上100公尺外的一隻海龜
假設阿基里斯跑的速度是海龜的十倍。他每秒跑10公尺，而海龜每秒跑1公尺。
當阿基里斯跑了10秒鐘，到海龜原來所在位置時，海龜已向前爬了10公尺。（如圖4）
圖4：當阿基里斯跑了100公尺時，海龜又向前爬了10公尺
當阿基里斯又跑了10公尺時，海龜又向前爬了1公尺
阿基里斯再追1公尺，海龜又前進了1/10公尺，這樣……，如此只要阿基里斯走到海龜原先所在的地方，海龜就又向前移動一小距離。由於海龜永遠在阿基里斯前面這麼一點點距離，所以阿基里斯一直無法追上海龜。
芝諾當然也知道阿基里斯最後能夠追上海龜，但是他這種無窮級數的距離和時間的觀念，困惑了當代及後世的學者。
阿基里斯追不到海龜的悖論，其主要原因是希臘人將空間與時間混為一談。事實上，生活在三度空間的動物，無論是海龜或人類都不能控制時間，也就是說時間與空間是獨立的，換言之：不管阿基里斯與海龜如何的跑，時間都會繼續前進，不曾停頓，阿基里斯可以一直以每秒10公尺的速度向前跑，不管他與海龜的距離是如何接近，也不管海龜是停跑或每秒跑多遠。
圖5：阿基里斯追海龜的曲線圖
用我們現在數學的計算，海龜在被阿基里斯追上時，海龜與阿基里斯所跑的路程為：
海龜路程：10公尺+1公尺+1/10公尺+1/100公尺+1/1000公尺+……
=11.11111……公尺=11.i公尺（用11. i秒）
阿基里斯路程：100公尺+10公尺+1公尺+1/10公尺+1/100公尺+1/1000公尺+……=111. i公尺（用11. i秒）
如圖5，很顯然的，阿基里斯如以比11. i秒多一點的時間一定可追上海龜。
這是生活在時間和空間互不相干的三度空間的人類皆會感受得到的自然結果。但是如果在空間隨時間變化的世界裡譬如愛因斯坦的四度空間理論，也許阿基里斯就真的追不到海龜了。我們用下面二個例子來解釋：
1. 阿基里斯如何在橡皮跑道拿到蘋果
圖6：阿基里斯可否拿到100公尺以外的金蘋果？
如圖6，阿基里斯在橡皮跑道的一端，橡皮跑道長100公尺，他奉令要跑到橡皮跑道的一端拿金蘋果。阿基里斯以每秒10公尺的穩定速度沿橡皮跑道往前急奔，但在1秒鐘之後，橡皮跑道就像橡皮筋一樣拉長為200公尺，再過一秒鐘後，它又拉長為300公尺，如此下去，阿基里斯最後究竟會不會拿到金蘋果呢？
根據直覺你會說，阿基里斯拿不到金蘋果，可是我們說：他可辦到。解決這個問題的關鍵是橡皮跑道的伸長是均勻的，在橡皮跑道伸長時，阿基里斯也隨著橡皮的拉伸向前挪移了。因此：在第一秒內，阿基里斯跑了10公尺為橡皮跑道長度的1/10，在第二秒內阿基里斯又在長度為200公尺的橡皮跑道跑了1/20，第三秒內，他又跑了300公尺橡皮跑道的1/30，如此繼續的跑，假設橡皮跑道最後的長度是S，則阿基里斯的全部跑程是：
〈1/10+1/20+1/30+1/40……〉S=1/10（1+1/2+1/3+1/4……）S
1+1/2+1/3+1/4……＋1/n……是調和級數，它的“和”我們要它多大，就可以有多大，所以我們說阿基里斯在n秒時，可拿到金蘋果，即：
1/10（1+1/2+1/3+1/4……＋1/n……）S≧S；
1+1/2+1/3+1/4……＋1/n……≧10
1+1/2+1/3+1/4……＋1/n……的和在n非常大時是㏒n所以只要㏒n=10 即 n=e01=22027（秒）時阿基里斯可以拿到金蘋果。
2. 阿基里斯追不上海龜
現在，我們假設在橡皮跑道的盡端不是放置一顆金蘋果，而是一隻每秒走1公尺的海龜如圖7，請問阿基里斯是否仍可追上海龜？我們可以告訴你，他不但永遠追不上海龜，而且越追越遠。
這問題答案也很容易解答，首先阿基里斯跑到海龜現在的100公尺位置，須要發費22027秒。在這22027秒之間，海龜又前進了全部橡皮跑道的：
1/100+1/200+1/300+……+1/2202700=1/100(1+1/2+1/3+1/4+……+1/2202700)=1/100(4.343)= 4.343/100（這時橡皮跑道的長度為22027×100公尺）
所以海龜前進的路程為100公尺×22027×4.343/100=95663公尺，也就是說阿基里斯追海龜越追越遠。
圖7：阿基里斯在橡皮跑道上永遠追不到海龜
(三) 飛箭（arrow）靜止說
飛箭在任何一個確定的時刻只能佔據空間的一個特定的位置，因此在這一瞬間它就靜上在這個位置上，於是所謂運動，只是許多靜止的總和。對於這個悖論，亞理斯多德首先提出批評，他說：時間不是由不可分的“現在”組成的，正如別的任何量，也都不是由不可分的“部分組合”，又說：在時間裡，確有一種不可分的東西，我們把它稱之為“現在”。因此這個問題就便成討論“現在”究竟是什麼？這個問題對於只知道“數”只有“有理數”的西元前五世紀的希臘人飛箭會發生短暫的停頓是有它的道理地，因為有理數（1,1/2,1/3,1/4……）之兩數間是不連續且可數的，若將飛箭所飛行的距離分割成無限個有理數的點（X1，X2，……Xn……），同時也把飛箭所經過的時間也分成無限個有理數點（t1，t2，t3……tn……）。將距離的點與時間的點做“一對一”對映，即(X1，t1)，(X2，t2)，……（Xn，tn）……。因為X1，X2……Xn是不連續的，且兩數中間還有一大堆無理數，譬如X1和X2之間有許多無理數。所以對每個距離Xn來講它有一個現在的時間tn與之對映，也就是飛箭的在tn這個時刻，它是靜止的。一直要等到tn+1時，它才會再移動到Xn+1的位置（如圖8）。
圖8：將距離分為x1，x2……xn，xn+1……x∞的點，時間也分為t1，t2……tn，tn+1……t∞的點。則在時間tn時，飛箭來到距離xn的點，往後有一段非常微小的時間（tn+1，tn），飛箭是靜止的，一直到時間變成tn+1時，飛箭才從距離xn跳到距離xn+1。
芝諾的飛箭靜止說是居於“有理數”的觀點來解釋的，如果自然界只存在有理數而沒有無理數存在，則的確飛箭有一段時間是可用“靜止”不動來解釋。但是由於距離和時間都可分割為無限不可數的點且這些點是連續的，因此在任一給定的瞬刻飛箭雖然是不動的，但在由無限多瞬間組成的連續體上飛箭是不停在動的。這個觀念我們可從伽利略（Galilei Galelieo）在他於1638年出版的〈新科學對話〉中所說明的關於使二線上的點正確的對應及康托爾（Georg Cantor）的實數集的連續體假設得到滿意的解釋。
圖9：二線上的點正確的對應
如圖9，於圖中設CD是飛箭從起始點到終點的距離，AB是飛箭起時到終點的時間，若從點Ｏ向AB上的點P劃一條直線時，此直線必定通過CD上的一點P1，也就是說在時間軸AB上的任一點P，必然有距離軸CD之一點與之對應。由於時間在AB時間軸上是從A點開始無限的延伸，因此飛箭也跟著從C點開始經無限連續點到達終點D。也就是說在任一給定的瞬刻P點飛箭是不動的靜止在P1點，但在無限多的“瞬刻”組成的連續體上飛箭是隨時間的延伸而運動的。
(四) 運動場（Stadium）悖論
這個問題敘述有關運動場上運動物體的悖論：如圖10，運動場跑道上有A、B、C三隊選手，選手體形相同、人數一樣，他們排成三對，A對從起點到中點，B隊從中點往左右排開，C對從中點到終點。此時A、C兩隊向中點奔跑、B對則留在原地靜止不動，芝諾從此出發說明：一段時間和它的一半時間相等。
芝諾論的悖論可用以下來說明：
圖10：A、B、C三對選手，B對往前奔跑、A對向後奔跑、另C對留在原地靜止不動
如圖10，設有A、B、C三對選手，每對各5人，每隊分為4等分(每位選手相距d公尺)。用a0，…，a4；b0，…，b4；c0，…，c4來代表這三對選手。現在A、C各向中央方向以等速運動，而B不動。經過時間t之後，A、B、C三對全部對齊（如圖11）。
圖11：三隊選手整齊排成三隊
這時A上的a2和B上的b2對齊，而原先a2是和b0對齊的，故a2通過了距離2d。另一方面，c4原先是和a0對齊的，現在卻和a4對齊（圖11），可見a4已通過4d的距離。由此看來，c4要想通過2d的距離（和a3對齊），只要一半時間就夠了。齊諾因此得到一個結論：時間的一半和它的全體時間相等。這問題錯誤的地方很容易看出，亞理斯多德首先指出錯誤之處，他說：1.芝諾把運動著的物體將要通過的兩個物體的狀態混在一起，一個是靜止的，一個是反相運動的；2.他把運動著的物體要通過的所有時間（通過一個是靜止的時間及通過一個是反相運動的時間）皆當作應該相等。