中国的规和矩与古希腊三大作图难题 江铭辉 五梦网
一、规和矩在中国的发展
「规」与「矩」相传为伏羲所制造，规就是圆规，甲骨文早已有规这个字，它的含意是一个人正在用圆规划半圆。矩这个字在甲骨文中也出现过。矩是由长、短两尺合成，相交成直角（图1），尺上有刻度，短尺叫勾，长尺叫股。为了坚固起见，长、短两尺之间常用一条杆连接。
图1：矩是由长、短两尺相交成直角合成，短的叫勾，长的叫股。
矩的造形可由山东嘉祥县汉武梁祠石室（公元129～147年）的伏羲氏和女娲氏的造像图见到，在该图中伏羲氏右手所执的就是矩（图2）。规、矩的全部造形也可从新疆阿斯塔那出土的汉朝彩帛规矩图中（图3）看到，在这张图里男的左手拿的是矩，女的右手拿的是规。
图2：伏羲和女娲像。
中国汉代的石刻画像中，常有人首蛇身伏羲和女娲的画像，图中的伏羲和女娲其腰身以上为人形，穿袍子、戴冠帽、腰身以下为蛇躯，两条尾巴紧紧地缠绕。两人的脸相向，伏羲手持矩，画像中间一个天真的小孩，手拉两人的衣袖。
图3：新疆阿斯塔那出土中国汉朝的彩帛规矩图，男的左手持矩，女的右手持规。
矩的使用，是中国古代数学及工程学的特长，它不但可以用来画直线，作直角，有时还可以用来代替圆规，堪称是万能的工具，在中国历史上最先提到使用规、矩于工程上的人，要算是大禹了。〈史记‧夏本纪〉记载禹治水时“左准绳、右规矩”。〈周髀算经〉有：故折矩，以为勾广三、股修四、径隅五。……故禹之所以治天下此数之所生也。三国时代吴国数学家赵爽（Zhao Shuang）在为〈周髀算经〉作注时，注：禹治洪水……望山川之形，定高下之势……乃勾股之所由生也。也就是说禹治洪水，必定要先测量地势的高低，这是他使用规矩的道理。
2.中国规矩与古希腊三大作图难题
(1) 古希腊人研究几何作图问题，限制只能用直尺和圆规当作图的工具。所谓直尺就是没有刻度只能画任意长直线的尺，圆规亦没有划圆的大小限制，但也只能画圆或圆弧。最先明确地提出作图只能使用直尺与圆规的人，大概就是欧诺皮德斯（Oenopides）（约公元前465年），以后经过柏拉图（Plato）的大力提倡及欧几里德（Euclid）在他的经典著作〈几何原本〉中，只允许使用直尺与圆规来证明命题。从此以后，几何绘图只能使用直尺与圆规当工具的限制成为希腊几何学作图及证明的金科玉律。在直尺与圆规的限制下，产生许多种种高难度的作图问题，这些难题中又以古希腊三大几何难题“三等分任意角”（即任意给一个角θ，求作一角等于θ/3）、“倍立方体”（即求作一立方体，使其体积等于已知立方体体积的二倍）、“化圆为方”（即求作一正方形，使其面积等于已知圆的面积）最为人们津津乐道（图4）。
图4：古希腊三大几何作图难题。
综观整个数学史中，很难找出像古希腊三大几何难题那么有魅力，主要原因是它看起来似乎不必具备高深数学知识就可解决。因此二千多年来，吸引无数的数学才俊，甚至一般贩夫俗卒皆浸淫在这三个问题之中而得不到丝毫结果，1637年大数学家及哲学家笛卡尔（R. Descartes,1596-1650）为想解决此三大问题因而创立了解析几何，1837年王采尔（P.L.Wantzel，1814-1848）证明三等分任意角和倍立方体这两个问题不能用尺、规作图完成，1882年，林德曼（F.Lindemann，1822-1939）在赫米特（C.Hermite，1822-1901）证明e是超越数的基础上，证明π也是超越数，因而证明了化圆为方也无法用尺、规作图来完成。最后德国数学家克莱因（C.F.KLElN，公元1849～1925年）（图5）在1895年总结了前人的研究，给出这三大几何作图问题不可能用尺与圆规来作图的简单而明析的证法，如此两千多年来的悬案得到彻底解决。
图5：克莱因及其成名的克莱因瓶
(2) 古希腊三大作图难题皆可用中国规、矩得到解决
古希腊三大作图问题如果不限于尺、规的限制，其解决是轻而易举的。
a.三等分任意角
要三等分任意角，如果不限于直尺，只要在直尺上添加一点就可达成。矩的特点是有刻度，因此用矩三等分任意角是轻而易举的。“在直尺上加一点”这是阿基米得首先发现作出三等分任意角的方法，他的作法如下：
如图6，在尺上记一点P，命尺端为O，设所要三等分的角是∠ACB；以C为圆心，OP为半径作半圆交角的两边于A,B；O点在CA的延在线移动，P点在圆周上移动，当尺通过B时，连OPB。由于OP＝PC＝CB，得∠ACB＝∠COP＋∠CBO＝∠COP＋CPB＝∠COP＋2∠COP ＝3∠COP＝3∠COB，即∠COB＝1/3∠ACB。故用阿基米得方法可得到三等分任意角。
图6：使用「矩」画三等分任意角
b.倍立方问题
倍立方问题是做一个立方体使它的体积是已知立方的两倍。它起源于希腊的第罗斯（Delos）岛，因此又称为第罗斯问题。
在公元前四百年左右，第罗斯岛发生瘟疫，人们束手无策，请教阿波罗太阳神的结果是：把太阳神庙正立方体的祭坛扩增为两倍，瘟疫就会消除。人们最初把神谕误解，将祭坛每边放大两倍变成八倍的体积，后来瘟疫仍一直肆虐，才知道弄错了神谕，但仍然束手无策，无法将祭坛的体积扩张成二倍。于是去请教柏拉图，但柏拉图也百思不解，最后由柏拉图的一个学生在直尺上加一刻痕解决此问题，他的解决方法如下：
图7：柏拉图的学生在直尺上加一痕解决了倍立方体积的问题。
如图7，做一个互相垂直的两直线AC与BD，相交于O点。
在 AC直线上，取OC＝a（用有刻度的直尺量OC的距离等于a），在BD直线上取OD＝2a（用有刻度的直尺量OD的距离等于2a）连接ABCD成一直角梯形。设AO长为y，BO长为x，在直角△BAD中，∠BAD为直角，AO⊥BD，根据比例中项定理得：
y2＝2ax……………………………………(1)
在直角△ABC中，∠ABC为直角，BO⊥AC，再根据比例中项定理得：
x2＝ay，即x4＝a2y2 ……………………(2)
将(1)，(2)两式的两边相乘，得：
x3＝2a3
如此倍立方体的问题得到解决。
这个问题也可用两个「矩」来解决，如图8，先作AC⊥BD，取OC＝a，OD＝2a将两个矩ABC 和BAD如图放置，使直角顶B、A分别落在这两根垂在线，而且两矩的AB边重合，另外两边分别通过A、B二点，由x＝OB，y＝OA可得x3＝2a3。
虽然，祭坛可扩充成两倍的问题得到解决，但柏拉图的学生不按照标准尺、规的原则绘出，却得到柏拉图极大的批驳。
图8：使用两个矩也可以解决倍立方体
c.化圆为方问题
三个古希腊问题中看起来最难解决的要算是化圆为方的问题了，这个问题是：求作一个正方形，使它的面积等于一个已知圆的面积。
此问题难在圆周率π是超越数，而问题的圆面积公式πr2要使用到圆周率。但欧洲文艺复兴时期的艺术大师达文西（L. da Vinci）就曾发现一种用圆柱来解决化圆为方问题的巧妙方法。
图9：达文西（L. da Vinci）发现解决化圆为方问题的巧妙方法
如图9，他取一圆柱，使其底和已知圆相等，用“矩”量该柱的高，使圆柱的高是圆半径的一半。将这圆柱在平面上滚动一周，产生一个长方形，其面积等于。正好是已知圆的面积。剩下，是将长方形化为正方形的问题，如何将一个长方形化为正方形呢？也就是说我们如何做一个正方形使其面积等于已知的长方形。我们的作法如下：
如图10-a，设ABCD为一长方形，将AB延长使BC＝BE，二等分AE，得中点O，以O点为圆心，OA为半径，作一圆。将CB向上延长交此圆于F，则BF为所求正方形之一边，即长方形ABCD面积等于正方形FBHI。
这个问题的证明如下：
如图10-a设G为BC延长线和圆弧AFE的交点。将A,F,E,G四点重写成图10-b，由图10-b，知：AB×BE＝FB×BG，又FB＝BG，BE＝BC
因此 AB×BC＝FB2
也就是说长方形ABCD可化成边长为FB之正方形。
图10-a：将长方形化成正方形 图10-b：AB×BE=FB×BG
图10：将长方形化成正方形的作图及证明
以上所述是使用圆规与直尺作图的古代三大数学难题发展的经过，虽然它曾经风光2000余年，但也到了落幕的时候，近代数学枝叶茂盛，科目繁多，每种科目都有其难题，综观最近一、二百来流传较广，公认影响最大的数学难题是：四色地图问题、费马大定理和哥德巴赫猜想。这三道难题无疑可称为近代数学三大难题，它们是：
1.四色地图问题：在一张划有国别的地图上图色，要使共同边界的国家着不同的颜色，只要四种颜色就够了。
2.费马大定理： 形如xn + yn =zn 的方程式，当n大于2时，不可能有正整数解。
3.哥德巴赫猜想：每个6以上的偶数，都可以表为两个质数的和，9以上的奇数，都可以表示为三个奇质数的合。
此三大数学难题中的四色地图问题是1852年英国数学家摩根（Augustus De Morgan）在写给爱尔兰数学家哈密尔顿（William Rowan Hamilton）时，提到：有一个叫做费雷敖克（Frederick）的学生问他：为什么无论多复杂的地图都可以仅用四种颜色将相邻两国区分开？希望在数学上得到证明。这个问题在1976年终于由伊利诺大学两位数学家阿佩尔（Kenneth Appel）、哈肯（Wolfgang Haken）在计算计的协助下证明出来。费马大定理（Fermat's Last Theorem）是1670年由费马家属公诸于世，已故的费马在其心爱的刁潘图（Diophantus）"算学书"上写了这样一段话：任何数的立方不能分解为两个数的立方和，任何数的四方也不能分成两个数的四方和，一般说来，除了平方外，任何数的次方皆不能分解为两个数的同次方和。我想出这个断言的绝妙证明，但是书上空白太少，无法将证明写出。这个问题亦于1993年由英国数学家韦尔斯（Andrew Wiles）证明了。硕果仅存尚未被完全证出的仅哥德巴赫猜想，哥德巴赫（C. Goldbach，公元1690-1764）是德国业余数学家，1742年移居莫斯科，与尤拉（Euler）交友亲密，1742年6月给尤拉的一封信写道："我的问题是这样：随便一个奇数，譬如77，都可用三个质数相加。77=53+17+7；再取一个奇数，如461，461=449+7+5；或461=257+199+5仍然如此。这样我发现：任何大于5的奇数都是三个质数的和。怎么证明呢?"
本道难题尚未被证出，最有成就且居于领先地位者，是中国人陈景润先生。