中國的規和矩與古希臘三大作圖難題 江銘輝 五夢網
一、規和矩在中國的發展
「規」與「矩」相傳為伏羲所製造，規就是圓規，甲骨文早已有規這個字，它的含意是一個人正在用圓規劃半圓。矩這個字在甲骨文中也出現過。矩是由長、短兩尺合成，相交成直角（圖1），尺上有刻度，短尺叫勾，長尺叫股。為了堅固起見，長、短兩尺之間常用一條桿連接。
圖1：矩是由長、短兩尺相交成直角合成，短的叫勾，長的叫股。
矩的造形可由山東嘉祥縣漢武梁祠石室（西元129～147年）的伏羲氏和女媧氏的造像圖見到，在該圖中伏羲氏右手所執的就是矩（圖2）。規、矩的全部造形也可從新疆阿斯塔那出土的漢朝彩帛規矩圖中（圖3）看到，在這張圖裡男的左手拿的是矩，女的右手拿的是規。
圖2：伏羲和女媧像。
中國漢代的石刻畫像中，常有人首蛇身伏羲和女媧的畫像，圖中的伏羲和女媧其腰身以上為人形，穿袍子、戴冠帽、腰身以下為蛇軀，兩條尾巴緊緊地纏繞。兩人的臉相向，伏羲手持矩，畫像中間一個天真的小孩，手拉兩人的衣袖。
圖3：新疆阿斯塔那出土中國漢朝的彩帛規矩圖，男的左手持矩，女的右手持規。
矩的使用，是中國古代數學及工程學的特長，它不但可以用來畫直線，作直角，有時還可以用來代替圓規，堪稱是萬能的工具，在中國歷史上最先提到使用規、矩於工程上的人，要算是大禹了。〈史記‧夏本紀〉記載禹治水時“左准繩、右規矩”。〈周髀算經〉有：故折矩，以為勾廣三、股修四、徑隅五。……故禹之所以治天下此數之所生也。三國時代吳國數學家趙爽（Zhao Shuang）在為〈周髀算經〉作註時，註：禹治洪水……望山川之形，定高下之勢……乃勾股之所由生也。也就是說禹治洪水，必定要先測量地勢的高低，這是他使用規矩的道理。
2.中國規矩與古希臘三大作圖難題
(1) 古希臘人研究幾何作圖問題，限制只能用直尺和圓規當作圖的工具。所謂直尺就是沒有刻度只能畫任意長直線的尺，圓規亦沒有劃圓的大小限制，但也只能畫圓或圓弧。最先明確地提出作圖只能使用直尺與圓規的人，大概就是歐諾皮德斯（Oenopides）（約西元前465年），以後經過柏拉圖（Plato）的大力提倡及歐幾里德（Euclid）在他的經典著作〈幾何原本〉中，只允許使用直尺與圓規來證明命題。從此以後，幾何繪圖只能使用直尺與圓規當工具的限制成為希臘幾何學作圖及證明的金科玉律。在直尺與圓規的限制下，產生許多種種高難度的作圖問題，這些難題中又以古希臘三大幾何難題“三等分任意角”（即任意給一個角θ，求作一角等於θ/3）、“倍立方體”（ 即求作一立方體，使其體積等於已知立方體體積的二倍）、“化圓為方”（即求作一正方形，使其面積等於已知圓的面積）最為人們津津樂道（圖4）。
圖4：古希臘三大幾何作圖難題。
綜觀整個數學史中，很難找出像古希臘三大幾何難題那麼有魅力，主要原因是它看起來似乎不必具備高深數學知識就可解決。因此二千多年來，吸引無數的數學才俊，甚至一般販夫俗卒皆浸淫在這三個問題之中而得不到絲毫結果，1637年大數學家及哲學家笛卡爾（R. Descartes,1596-1650）為想解決此三大問題因而創立了解析幾何，1837年王採爾（P.L.Wantzel，1814-1848）證明三等分任意角和倍立方體這兩個問題不能用尺、規作圖完成，1882年，林德曼（F.Lindemann，1822-1939）在赫米特（C.Hermite，1822-1901）證明e是超越數的基礎上，證明π也是超越數，因而證明了化圓為方也無法用尺、規作圖來完成。最後德國數學家克萊因（C.F.KLElN，西元1849～1925年）（圖5）在1895年總結了前人的研究，給出這三大幾何作圖問題不可能用尺與圓規來作圖的簡單而明析的證法，如此兩千多年來的懸案得到徹底解決。
圖5：克萊因及其成名的克萊因瓶
(2) 古希臘三大作圖難題皆可用中國規、矩得到解決
古希臘三大作圖問題如果不限於尺、規的限制，其解決是輕而易舉的。
a.三等分任意角
要三等分任意角，如果不限於直尺，只要在直尺上添加一點就可達成。矩的特點是有刻度，因此用矩三等分任意角是輕而易舉的。“在直尺上加一點”這是阿基米德首先發現作出三等分任意角的方法，他的作法如下：
如圖6，在尺上記一點P，命尺端為O，設所要三等分的角是∠ACB；以C為圓心，OP為半徑作半圓交角的兩邊於A,B；O點在CA的延線上移動，P點在圓周上移動，當尺通過B時，連OPB。由於OP＝PC＝CB，得∠ACB＝∠COP＋∠CBO＝∠COP＋CPB＝∠COP＋2∠COP ＝3∠COP＝3∠COB，即∠COB＝1/3∠ACB。故用阿基米德方法可得到三等分任意角。
圖6：使用「矩」畫三等分任意角
b.倍立方問題
倍立方問題是做一個立方體使它的體積是已知立方的兩倍。它起源於希臘的第羅斯（Delos）島，因此又稱為第羅斯問題。
在西元前四百年左右，第羅斯島發生瘟疫，人們束手無策，請教阿波羅太陽神的結果是：把太陽神廟正立方體的祭壇擴增為兩倍，瘟疫就會消除。人們最初把神諭誤解，將祭壇每邊放大兩倍變成八倍的體積，後來瘟疫仍一直肆虐，才知道弄錯了神諭，但仍然束手無策，無法將祭壇的體積擴張成二倍。於是去請教柏拉圖，但柏拉圖也百思不解，最後由柏拉圖的一個學生在直尺上加一刻痕解決此問題，他的解決方法如下：
圖7：柏拉圖的學生在直尺上加一痕解決了倍立方體 積的問題。
如圖7，做一個互相垂直的兩直線AC與BD，相交於O點。
在 AC直線上，取OC＝a（用有刻度的直尺量OC的距離等於a），在BD直線上取OD＝2a（用有刻度的直尺量OD的距離等於2a）連接ABCD成一直角梯形。設AO長為y，BO長為x，在直角△BAD中，∠BAD為直角，AO⊥BD，根據比例中項定理得：
y2＝2ax……………………………………(1)
在直角△ABC中，∠ABC為直角，BO⊥AC，再根據比例中項定理得：
x2＝ay，即x4＝a2y2 ……………………(2)
將(1)，(2)兩式的兩邊相乘，得：
x3＝2a3
如此倍立方體的問題得到解決。
這個問題也可用兩個「矩」來解決，如圖8，先作AC⊥BD，取OC＝a，OD＝2a將兩個矩ABC 和BAD如圖放置，使直角頂B、A分別落在這兩根垂線上，而且兩矩的AB邊重合，另外兩邊分別通過A、B二點，由x＝OB，y＝OA可得x3＝2a3。
雖然，祭壇可擴充成兩倍的問題得到解決，但柏拉圖的學生不按照標準尺、規的原則繪出，卻得到柏拉圖極大的批駁。
圖8：使用兩個矩也可以解決倍立方體
c.化圓為方問題
三個古希臘問題中看起來最難解決的要算是化圓為方的問題了，這個問題是：求作一個正方形，使它的面積等於一個已知圓的面積。
此問題難在圓周率π是超越數，而問題的圓面積公式πr2要使用到圓周率。但歐洲文藝復興時期的藝術大師達文西（L. da Vinci）就曾發現一種用圓柱來解決化圓為方問題的巧妙方法。
圖9：達文西（L. da Vinci）發現解決化圓為方問題的巧妙方法
如圖9，他取一圓柱，使其底和已知圓相等，用“矩”量該柱的高，使圓柱的高是圓半徑的一半。將這圓柱在平面上滾動一周，產生一個長方形，其面積等於。正好是已知圓的面積。剩下，是將長方形化為正方形的問題，如何將一個長方形化為正方形呢？也就是說我們如何做一個正方形使其面積等於已知的長方形。我們的作法如下：
如圖10-a，設ABCD為一長方形，將AB延長使BC＝BE，二等分AE，得中點O，以O點為圓心，OA為半徑，作一圓。將CB向上延長交此圓於F，則BF為所求正方形之一邊，即長方形ABCD面積等於正方形FBHI。
這個問題的證明如下：
如圖10-a設G為BC延長線和圓弧AFE的交點。將A,F,E,G四點重寫成圖10-b，由圖10-b，知：AB×BE＝FB×BG，又FB＝BG，BE＝BC
因此 AB×BC＝FB2
也就是說長方形ABCD可化成邊長為FB之正方形。
圖10-a：將長方形化成正方形 圖10-b：AB×BE=FB×BG
圖10：將長方形化成正方形的作圖及證明
以上所述是使用圓規與直尺作圖的古代三大數學難題發展的經過，雖然它曾經風光2000餘年，但也到了落幕的時候，近代數學枝葉茂盛，科目繁多，每種科目都有其難題，綜觀最近一、二百來流傳較廣，公認影響最大的數學難題是：四色地圖問題、費馬大定理和哥德巴赫猜想。這三道難題無疑可稱為近代數學三大難題，它們是：
1.四色地圖問題：在一張劃有國別的地圖上圖色，要使共同邊界的國家著不同的顏色，只要四種顏色就夠了。
2.費馬大定理： 形如xn + yn =zn 的方程式，當n大於2時，不可能有正整數解。
3.哥德巴赫猜想：每個6以上的偶數，都可以表為兩個質數的和，9以上的奇數，都可以表示為三個奇質數的合。
此三大數學難題中的四色地圖問題是1852年英國數學家摩根（Augustus De Morgan）在寫給愛爾蘭數學家漢米爾頓（William Rowan Hamilton）時，提到：有一個叫做費雷敖克（Frederick）的學生問他：為什麼無論多複雜的地圖都可以僅用四種顏色將相鄰兩國區分開？希望在數學上得到證明。這個問題在1976年終於由伊利諾大學兩位數學家阿佩爾（Kenneth Appel）、哈肯（Wolfgang Haken）在計算計的協助下證明出來。費馬大定理（Fermat's Last Theorem）是1670年由費馬家屬公諸於世，已故的費馬在其心愛的刁潘圖（Diophantus）"算學書"上寫了這樣一段話：任何數的立方不能分解為兩個數的立方和，任何數的四方也不能分成兩個數的四方和，一般說來，除了平方外，任何數的次方皆不能分解為兩個數的同次方和。我想出這個斷言的絕妙證明，但是書上空白太少，無法將證明寫出。這個問題亦於1993年由英國數學家威爾斯（Andrew Wiles）證明了。碩果僅存尚未被完全證出的僅哥德巴赫猜想，哥德巴赫（C. Goldbach，西元1690-1764）是德國業餘數學家，1742年移居莫斯科，與尤拉（Euler）交友親密，1742年6月給尤拉的一封信寫道："我的問題是這樣：隨便一個奇數，譬如77，都可用三個質數相加。77=53+17+7；再取一個奇數，如461，461=449+7+5；或461=257+199+5仍然如此。這樣我發現：任何大於5的奇數都是三個質數的和。怎麼證明呢?"
本道難題尚未被證出，最有成就且居於領先地位者，是中國人陳景潤先生。