数学史上三次危机 江铭辉 五梦网
数学史上的危机（Crises in the foundations of mathematics）是指数学发展过程中整个数学理论体系的逻辑基础发生根本性的矛盾。危机的发生促使人们去克服这种逻辑的矛盾，从而使数学有新的发展。至今已发生过三次数学危机。前两次危机都已经安然渡过，第三次数学危机仍未能全部解决，但可以预料，问题终会得到圆满解决且在此解决过程中，数学必将获得更大的发展。
一、数学第一次危机
毕达哥拉斯学派在古希腊的世界里是最有影响力的学派，他们相信万物皆数的最高信条。也就是宇宙的一切现象都能归结为整数或整数比。表现在几何上，当然是任何两条线段长度比都是整数比的可公度假设。
图1：
无理数的发现，推翻了“万物皆数”的信条。
毕达哥拉斯在数学上的最大贡献是证明了毕达哥拉斯定理。这个定理是：直角三角形，斜边长度的平方等于其余两边长度的平方之和。但很遗憾的！毕达哥拉斯学派的弟子〈希帕萨斯〉（Hippasus），利用此定理,发现有些直角三角形的三边比不能用整数来表达，例如等腰直角三角形，两边长度都是1，则斜边为 ，推翻了毕达哥拉斯学派的“万物皆数”的最高信条（图1）。这个发现，对古希腊的数学观点产生极大的冲击。第一次数学危机就这样诞生了。
这次的危机使希腊人认为几何学与算术有所差别。万物都是
整数的崇高地位受到挑战。希腊人开始只作几何方面的研究工作，放弃“数”的研究。这次危机也反映出直觉和经验不一定靠得住，只有推理与证明才是最可靠。从此希腊人开始由“公设”、“公理”出发，经过演绎、推理，建立了严密的几何学体系。这不能不说是数学思想上的一次巨大革命， 第一次数学危机并没有很快地被解决。一直到公元前370年，才由柏拉图（Plato）的学生尤多克萨斯（Eudoxus），暂时化解。尤多克萨斯创立了“比例理论”微妙地处理了几何
学上的可公度和不可公度问题。他的处理方法被欧几里德（Euclid），在〈原本〉书中第五卷“比例论”所采用。整个数学危机到十九世纪才在戴德金（J.W.R. Dedekind，德国人，公元1831～1916年）及康托尔（G. Cantor，德国人，公元1845～1918年）（图2）等二人建立了现代实数理论才算彻底解决。
图2：戴德金（左）是实数理论的奠基人，写了〈连续性与无理数〉一书，康托尔（右）是集合论的创始人，引进基数与序数的理论。
二、数学第二次危机
十七世纪牛顿（I. Newton，英国人，公元1642～1727年）和莱布尼兹（G.W. Leibniz，德国人，公元1646～1716年）（图3）发明微积分，微积分的最大特色是使用“无穷小”的方法，例如“微分”是“无穷小的比”，“积分”是“无穷小的和”。
牛顿（Isaac Newton） 莱布尼兹（G.W. Leibniz）
图3：牛顿和莱布尼兹是发明微积分的二位大师
至于什么是“无穷小”，当初并没有一个公认的严格定义。而是随着运算的进行，“无穷小”时而为零，时而又非零。微积分遇到如此严重的逻辑上困难，被一些唯心主义的人士抓住这个缺点，强攻猛打。英国大主教柏克莱（Berkely）是攻击微积分的典型代表。他在1734年发表了一本叫做〈分析学家与一个不信神的数学家的对话〉的书。书中他骂牛顿的微积分是诡辩和招摇撞骗的惑论，会把世人引入歧途。莱布尼兹在欧洲大陆也遭到相同境遇。荷兰纽汶提特（B. Nieuwentijdt）责难莱布尼兹搞不清楚“无穷小”和“0”的区别。在柏克莱等人的挑战下，造成数学史上的第二次危机，展开了一场长达10年之久的“微积分”大论战。
当时的著名物理学家朱林（J. Jurin）、数学家马克劳林（C. Maclaurin）、泰勒（B. Taylor）等，对柏克莱进行了强烈的反驳。也激励着大批数学家如法国的达朗贝尔（J.L.R. D'Alembert）、拉格朗曰（J.L. Lagrange）等开始对微积分基础概念作深入研究，促进了微积分理论基础的建设。微积分在实践中的胜利，迫使柏克莱后来也不得不承认“微积分是一把万能的钥匙，借着它近代数学家打开了大自然的秘密”。
微积分的严密性，终于在十九世纪由捷克的波尔查诺（B. Bolzano，捷克人，公元1781～1848年）、法国的柯西（A.L. Cauchy，法国人，公元1789～1857年）及德国的魏尔斯特拉斯（图4）（K.T.W. Weierstrass，德国人，公元1815～1897年）等数学家的努力下，建立起来。
其中又以魏尔斯特拉斯的定义，把“无穷小”分析的严格化带至无懈可击的地步。今日的微积分及其他数学科目，在处理“无穷小”问题时，都借助此定义。
柯西 魏尔斯特拉斯 波尔查诺
（A.L. Cauchy） （K.T.W. Weierstrass） （B. Bolzano）
图4：波尔查诺、柯西及魏尔斯特拉斯等数学家建立了微积分学的严密性，化解了第二次数学危机。
三、数学第三次危机
第三次数学危机发生在十九世纪末二十世纪初。当时，康托尔创立的集合论（Set theory）已成为整个现代的数学逻辑的基础。
这次危机是由康托尔的集合论开始爆发的，1897年意大利数学家福尔蒂（B. Forti）揭示了集合论的第一个悖论（参考注一），这一悖论与两年后康托尔所提的悖论相似（参考注二）。
图5：罗素（Arthur William Bertrand Russel，英国人，1872～1970年），哲学家、逻辑学家、社会思想家、数学家。1950年荣获诺页尔文学奖，着有〈数学哲学引论〉、〈西洋哲学史〉
这个悖论大意是：
对于任何给定的超限数，总存在一个比它大的超限数，以致：像「不存在最大的自然数」那样也「不存在最大的超限数」。最著名的悖论是1902年，罗素（B. Russell）（图5）所发现的一个悖论（参考注三），它直接撼摇了集合论本身的概念，据说，罗素正好在德国符号逻辑名家福雷格（G. Frege, 公元1848-1925）将要完成其有关算术基础两大巨册的最后一册时，将此悖论写信告诉他，福雷格感到一阵哀痛，并在其论著的末页悲哀并相当拘谨的字眼告诉读者他收到这封信时的心情：”一个科学家所遭遇最悲哀的是，当他快完成巨大工作时，发现基础有问题，须丢弃。在这部书的著作即将付梓时，我接到罗素先生信时的心情，就是这样的处境。
罗素的悖论用数学描述如下：
设对于一类集合：A1={a11, a12 ,a13 …a1j…}, Ai={a21, a22 ,a23 …a2j…}，……，Ai={ai1, ai2 ,ai3 …aij…}都满足条件aijÎAi (I=1, 2, ……；j=1, 2, ……)，但AiÏ Ai，一切这类集合物成新集合A={A1, A2 A3……Aj……}且AiÎA，问AÎA？如果认为AÎA，则A应该不是自身集合的元素，即AÎA，如果AÎA，A就应是本集合的元素，即AÎA，岂非矛盾?!
罗素为了说明这个悖论，他于1919年提出著名的「理发师悖论」：这个悖论是说，有一个理发师在他的招牌上写着：我给城里一切不自己刮脸者刮脸，我也只给这些人刮脸。请问这位理发师是否自己刮脸呢？
我们对这个问题的解答如下：
图6：理发师自己刮脸？
1. 如图6，如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说“他不给这种人刮脸，因此他不能自己刮脸。”
2. 如图7，如果他请人替他刮脸，那他就属于“不自己刮脸者”，但是他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此别人不能替他刮脸，他要自己刮脸。
图7：别人替理发师刮脸？
上述三种集合论中存在着不可克服的逻辑矛盾，它们在根本上已经危及了整个数学体系的确定性和严密性，形成了新的数学危机。为了消除集合论的种种悖论，数学家们曾提出各种解决方案，在解决过程中它促进了数学基础和数理逻辑的发展，也为电子计算器提供了理论基础。时至今日，第三次数学危机仍未全部解决。但可以预料，问题终会得到完满解决，在解决过程中，数学必将获得更大的发展。
注一：福尔蒂悖论：
设W为一切序数所组成的集合。因为W按自然数大小顺序排成一良序集合。故W有一序数Ω。由序数性质，这Ω必比W中任一序数都大，但由定义，Ω也出现于W中，从而Ω＞Ω，得到予盾的结果。
‧有序集定义：
若在集合Ω中规定顺序关系，即对于任意二元素aÎΩ,bÎΩ， 或者a在b前（记为aRb），或者b在a前（记为bRa），二者只择其一。并且顺序关系，具有：自反性，即对任何aÎΩ，有aRa；反对称性，即若aRb且bRa，则a＝b；传递性，即若aRb，bRc，则aRc。那末集合Ω就叫做有序集。
例如，如果顺序关系取作≦（不大于）关系，则实数集的任一子集都是序集。如果不是对集合的所有元素，而仅对某些元素规定顺序关系，或者aRb，或者bRa，二者必择其一，且aRa；若aRb且bRa，则a＝b；若aRb，bRc，则aRc。那末称该集合为部分有序集。
例如，已知集合Ω，考察其所有子集组成的集合A。可以在A中规定部分顺序关系，使A成为部分有序集。具体方法是：若Ω的子集a包含于Ω的子集b，则规定a＜b。这时，若两个子集中每一个都不完全包含于另一个，则对于它们没有规定顺序关系。
有序集中若其每一个非空子集都有一个最开始的元素（它在这一子集所有元素之前），则称该有序集为良序集。
例如，按任何顺序排起来的有限集合，按自然顺序的自然数集，将所有奇数排在前面，所有偶数排在后面的自然数集｛1, 3, 5,……2, 4, 6｝都是良序集的例子。
注二：康托尔悖论：
设S为一切集合所组成之集合。考虑S的势P(S)。因为任何集合都是S的子集，故不存在S的子集的势大于P(S)，但由康托尔定理可知，S的势P(S)的势
大于P(S)，这就得到矛盾。
势的定义：以一个集合S的全部子集为元素所构成的集合叫做S的势集或S的幂集（Powerset），记为P(S)。
例如，S＝{1,2}，P(S)＝{Ø,{1},{2},{1,2}}，Ø是空集合。
对于有限元素的集合S，若S有n个元素，则其势集P(S)就恰有2n元素，对于无穷元素的集合亦有类似关系。若无穷集合S的基数是C，则其势集P(S)的基数就2c。
注三：有关集合论中的悖论，在古代早就有人说出，例如：公元前四世纪的欧布利德斯（Eubulides）的陈述：「我现在正在作的这个陈述是假的」；公元前六世纪克里克的哲学家伊比孟德斯（Epimenides）的陈述：「克里特人（Crete）总是说谎的人」；十九世纪末期德国哲学家尼采（Frau Foster Nietzsche）也有类似陈述：如果世界上有万能的人，请问他是否能造一颗他举不动的石头。