數學史上三次危機 江銘輝 五夢網
數學史上的危機（Crises in the foundations of mathematics）是指數學發展過程中整個數學理論體系的邏輯基礎發生根本性的矛盾。危機的發生促使人們去克服這種邏輯的矛盾，從而使數學有新的發展。至今已發生過三次數學危機。前兩次危機都已經安然渡過，第三次數學危機仍未能全部解決，但可以預料，問題終會得到圓滿解決且在此解決過程中，數學必將獲得更大的發展。
一、數學第一次危機
畢達哥拉斯學派在古希臘的世界裡是最有影響力的學派，他們相信萬物皆數的最高信條。也就是宇宙的一切現象都能歸結為整數或整數比。表現在幾何上，當然是任何兩條線段長度比都是整數比的可公度假設。
圖1：
無理數的發現，推翻了“萬物皆數”的信條。
畢達哥拉斯在數學上的最大貢獻是證明了畢達哥拉斯定理。這個定理是：直角三角形，斜邊長度的平方等於其餘兩邊長度的平方之和。但很遺憾的！畢達哥拉斯學派的弟子〈希帕薩斯〉（Hippasus），利用此定理,發現有些直角三角形的三邊比不能用整數來表達，例如等腰直角三角形，兩邊長度都是1，則斜邊為 ，推翻了畢達哥拉斯學派的“萬物皆數”的最高信條（圖1）。 這個發現，對古希臘的數學觀點產生極大的沖擊。第一次數學危機就這樣誕生了。
這次的危機使希臘人認為幾何學與算術有所差別。萬物都是
整數的崇高地位受到挑戰。希臘人開始只作幾何方面的研究工作，放棄“數”的研究。這次危機也反映出直覺和經驗不一定靠得住，只有推理與證明才是最可靠。從此希臘人開始由“公設”、“公理”出發，經過演繹、推理，建立了嚴密的幾何學體系。這不能不說是數學思想上的一次巨大革命， 第一次數學危機並沒有很快地被解決。一直到西元前370年，才由柏拉圖（Plato）的學生尤多克薩斯（Eudoxus），暫時化解。尤多克薩斯創立了“比例理論”微妙地處理了幾何
學上的可公度和不可公度問題。他的處理方法被歐幾里德（Euclid），在〈原本〉書中第五卷“比例論”所採用。整個數學危機到十九世紀才在戴德金（J.W.R. Dedekind，德國人，西元1831～1916年）及康托爾（G. Cantor，德國人，西元1845～1918年）（圖2）等二人建立了現代實數理論才算徹底解決。
圖2：戴德金（左）是實數理論的奠基人，寫了〈連續性與無理數〉一書，康托爾（右）是集合論的創始人，引進基數與序數的理論。
二、數學第二次危機
十七世紀牛頓（I. Newton，英國人，西元1642～1727年）和萊布尼茲（G.W. Leibniz，德國人，西元1646～1716年）（圖3）發明微積分，微積分的最大特色是使用“無窮小”的方法，例如“微分”是“無窮小的比”，“積分”是“無窮小的和”。
牛頓（Isaac Newton） 萊布尼茲（G.W. Leibniz）
圖3：牛頓和萊布尼茲是發明微積分的二位大師
至於什麼是“無窮小”，當初並沒有一個公認的嚴格定義。而是隨著運算的進行，“無窮小”時而為零，時而又非零。微積分遇到如此嚴重的邏輯上困難，被一些唯心主義的人士抓住這個缺點，強攻猛打。英國大主教柏克萊（Berkely）是攻擊微積分的典型代表。他在1734年發表了一本叫做〈分析學家與一個不信神的數學家的對話〉的書。書中他罵牛頓的微積分是詭辯和招搖撞騙的惑論，會把世人引入歧途。萊布尼茲在歐洲大陸也遭到相同境遇。荷蘭紐汶提特（B. Nieuwentijdt）責難萊布尼茲搞不清楚“無窮小”和“0”的區別。在柏克萊等人的挑戰下，造成數學史上的第二次危機，展開了一場長達10年之久的“微積分”大論戰。
當時的著名物理學家朱林（J. Jurin）、數學家馬克勞林（C. Maclaurin）、泰勒（B. Taylor）等，對柏克萊進行了強烈的反駁。也激勵著大批數學家如法國的達朗貝爾（J.L.R. D'Alembert）、拉格朗曰（J.L. Lagrange）等開始對微積分基礎概念作深入研究，促進了微積分理論基礎的建設。微積分在實踐中的勝利，迫使柏克萊後來也不得不承認“微積分是一把萬能的鑰匙，借著它近代數學家打開了大自然的秘密”。
微積分的嚴密性，終於在十九世紀由捷克的波爾查諾（B. Bolzano，捷克人，西元1781～1848年）、法國的柯西（A.L. Cauchy，法國人，西元1789～1857年）及德國的魏爾斯特拉斯（圖4）（K.T.W. Weierstrass，德國人，西元1815～1897年）等數學家的努力下，建立起來。
其中又以魏爾斯特拉斯的定義，把“無窮小”分析的嚴格化帶至無懈可擊的地步。今日的微積分及其他數學科目，在處理“無窮小”問題時，都借助此定義。
柯西 魏爾斯特拉斯 波爾查諾
（A.L. Cauchy） （K.T.W. Weierstrass） （B. Bolzano）
圖4：波爾查諾、柯西及魏爾斯特拉斯等數學家建立了微積分學的嚴密性，化解了第二次數學危機。
三、數學第三次危機
第三次數學危機發生在十九世紀末二十世紀初。當時，康托爾創立的集合論（Set theory）已成為整個現代的數學邏輯的基礎。
這次危機是由康托爾的集合論開始爆發的，1897年意大利數學家福爾蒂（B. Forti）揭示了集合論的第一個悖論（參考註一），這一悖論與兩年後康托爾所提的悖論相似（參考註二）。
圖5：羅素（Arthur William Bertrand Russel，英國人，1872～1970年），哲學家、邏輯學家、社會思想家、數學家。1950年榮獲諾頁爾文學獎，著有〈數學哲學引論〉、〈西洋哲學史〉
這個悖論大意是：
對於任何給定的超限數，總存在一個比它大的超限數，以致：像「不存在最大的自然數」那樣也「不存在最大的超限數」。最著名的悖論是1902年，羅素（B. Russell）（圖5）所發現的一個悖論（參考註三 ），它直接撼搖了集合論本身的概念，據說，羅素正好在德國符號邏輯名家福雷格（G. Frege, 西元1848-1925）將要完成其有關算術基礎兩大巨冊的最後一冊時，將此悖論寫信告訴他，福雷格感到一陣哀痛，並在其論著的末頁悲哀並相當拘謹的字眼告訴讀者他收到這封信時的心情：”一個科學家所遭遇最悲哀的是，當他快完成巨大工作時，發現基礎有問題，須丟棄。在這部書的著作即將付梓時，我接到羅素先生信時的心情，就是這樣的處境。
羅素的悖論用數學描述如下：
設對於一類集合：A1={a11, a12 ,a13 …a1j…}, Ai={a21, a22 ,a23 …a2j…}，……，Ai={ai1, ai2 ,ai3 …aij…}都滿足條件aijÎAi (I=1, 2, ……；j=1, 2, ……)，但AiÏ Ai，一切這類集合物成新集合A={A1, A2 A3……Aj……}且AiÎA，問AÎA？如果認為AÎA，則A應該不是自身集合的元素，即AÎA，如果AÎA，A就應是本集合的元素，即AÎA，豈非矛盾?!
羅素為了說明這個悖論，他於1919年提出著名的「理髮師悖論」：這個悖論是說，有一個理髮師在他的招牌上寫著：我給城裡一切不自己刮臉者刮臉，我也只給這些人刮臉。請問這位理髮師是否自己刮臉呢？
我們對這個問題的解答如下：
圖6：理髮師自己刮臉？
1. 如圖6，如果他自己刮臉，那他就屬於自己刮臉的那類人。但是，他的招牌說“他不給這種人刮臉，因此他不能自己刮臉。”
2. 如圖7，如果他請人替他刮臉，那他就屬於“不自己刮臉者”，但是他的招牌說他要給所有這類人刮臉。因此別人不能替他刮臉，他要自己刮臉。
圖7：別人替理髮師刮臉？
上述三種集合論中存在著不可克服的邏輯矛盾，它們在根本上已經危及了整個數學體系的確定性和嚴密性，形成了新的數學危機。為了消除集合論的種種悖論，數學家們曾提出各種解決方案，在解決過程中它促進了數學基礎和數理邏輯的發展，也為電子計算機提供了理論基礎。時至今日，第三次數學危機仍未全部解決。但可以預料，問題終會得到完滿解決，在解決過程中，數學必將獲得更大的發展。
註一：福爾蒂悖論：
設W為一切序數所組成的集合。因為W按自然數大小順序排成一良序集合。故W有一序數Ω。由序數性質，這Ω必比W中任一序數都大，但由定義，Ω也出現於W中，從而Ω＞Ω，得到予盾的結果。
‧有序集定義：
若在集合Ω中規定順序關係，即對於任意二元素aÎΩ,bÎΩ， 或者a在b前（記為aRb），或者b在a前（記為bRa），二者只擇其一。並且順序關係，具有：自反性，即對任何aÎΩ，有aRa；反對稱性，即若aRb且bRa，則a＝b；傳遞性，即若aRb，bRc，則aRc。那末集合Ω就叫做有序集。
例如，如果順序關係取作≦（不大於）關係，則實數集的任一子集都是序集。如果不是對集合的所有元素，而僅對某些元素規定順序關係，或者aRb，或者bRa，二者必擇其一，且aRa；若aRb且bRa，則a＝b；若aRb，bRc，則aRc。那末稱該集合為部分有序集。
例如，已知集合Ω，考察其所有子集組成的集合A。可以在A中規定部分順序關係，使A成為部分有序集。具體方法是：若Ω的子集a包含於Ω的子集b，則規定a＜b。這時，若兩個子集中每一個都不完全包含於另一個，則對於它們沒有規定順序關係。
有序集中若其每一個非空子集都有一個最開始的元素（它在這一子集所有元素之前），則稱該有序集為良序集。
例如，按任何順序排起來的有限集合，按自然順序的自然數集，將所有奇數排在前面，所有偶數排在後面的自然數集｛1, 3, 5,……2, 4, 6｝都是良序集的例子。
註二：康托爾悖論：
設S為一切集合所組成之集合。考慮S的勢P(S)。因為任何集合都是S的子集，故不存在S的子集的勢大於P(S)，但由康托爾定理可知，S的勢P(S)的勢
大於P(S)，這就得到矛盾。
勢的定義：以一個集合S的全部子集為元素所構成的集合叫做S的勢集或S的冪集（Powerset），記為P(S)。
例如，S＝{1,2}，P(S)＝{Ø,{1},{2},{1,2}}，Ø是空集合。
對於有限元素的集合S，若S有n個元素，則其勢集P(S)就恰有2n元素，對於無窮元素的集合亦有類似關係。若無窮集合S的基數是C，則其勢集P(S)的基數就2c。
註三：有關集合論中的悖論，在古代早就有人說出，例如：西元前四世紀的歐布利德斯（Eubulides）的陳述：「我現在正在作的這個陳述是假的」；西元前六世紀克里克的哲學家伊比孟德斯（Epimenides）的陳述：「克里特人（Crete）總是說謊的人」；十九世紀末期德國哲學家尼采（Frau Foster Nietzsche）也有類似陳述：如果世界上有萬能的人，請問他是否能造一顆他舉不動的石頭。