希罗与光学研究 @ 物理

» 物理 2010-07-12 希罗与光学研究

希罗与光学研究 江铭辉五梦网

图1：希罗（Hero of Alexandria，古希腊人，公元前100～公元后100年）

一、希罗简介

希罗（图1）生平不详，他约在公元前100年左右出生，写了好多本书，其中有十多本流传下来。从那十多本书中我们知道他对数学和物理学有很高深的造诣，并且用那些知识在测量、机械及土木建筑方面发挥了他的天才。他可说是一位学问渊博的技师。

希罗的著作可分为数学、物理和机械，三方面。数学方面的著作多半是讲测量方面，著名的有：计算三角面积公式的希罗公式

，三角形三边长是连续整数的希罗三角形如13、14、15，以及整数平方根近似值求法。在物理方面，著名的有：杠杆、滑轮、齿轮、轮轴、斜面及螺丝等六种简单机械的省力和改变力的方向之研究；光的反射原理研究。在机械制造方面更是他的拿手，为人津津乐道，著名的有“原始蒸气涡轮”、“祭坛的火一点燃，神殿的大门就会自动开启”……等等千奇百怪的机械装置。

希罗对光学的研究：

(一)反射光学

希罗研究光学，在他的〈反射光学〉（Catoptrica）中，他证明：假定光线走最短的路径，则在反射镜中，入射角与反射角相等。他也在这本书中叙述反射镜的基本性质和涉及满足一定要求的反射镜构造的问题，譬如：让一个人能见到自己头的后面或让上边的东西出现在下边等等。

(二)希罗与大自然法则

「光」是奇妙的大自然产物，它有双重性质既是「波动」也是「粒子」，此外它每秒钟能跑三十万公里（约可绕地球的七圈半），是世界上跑得最快的物质。以下所讲的全部与「光」有关的问题：故事的开端是名满天下的古希腊学者希罗家里，有一天来了一个朴朴实实的农夫，向他请教。农夫说：「这件事情困惑了我好久，我想每天早上出门到河边提一桶水，然后走到我的牛棚（和我家都在河的同一边）。请问，我如何找到河边的一点，使我所走的路程最短。」

图2：农夫从家里提桶到河边取水，再到牛棚。

希罗当场就画了一个如图3的图，他划出笔直的河岸和同一侧的“家”（A点）和“牛棚”（B点），河岸线则以MN表示，现在要在河岸上找一定点P，使AP＋PB为最小。

图3：希罗发现光的反射原理可应用到农夫的最短路径问题

希罗根据古希腊人深信不疑的大自然法则：大自然总是遵循最简单和最经济的准则在进行。光是大自然产物，因此光所走的路程应该最短，时间也最少。他首先将MN想成镜面，那末，光从A点射出，反射到B点所构成的入射角必等于反射角（即，图3中的α＝β），于是，只需对MN取B的对称点B'，联AB'交MN的点P便是所求的点了。这样，农夫就应该沿着光行进路线去走自己的路了，按这条路线就可得最短路程。希罗发现的这条路线后来被称为“希罗最短路径”原理。

这个故事一直流传下去，一千多年后，有一次一位将军在A地操兵，忽然看到营区B失火，立即命令士兵每人用钢盔至MN河流装水到B地灭火。事后，将军自鸣得意说：「他选择一条至河边取水再到营区灭火的最短路径。」这条路径当然是按照希罗光线最短路径原理。

17世纪法国数学家费马（P. De Fermat）（图4）听了这故事后说：「那将军的决策是错误的，实际上应该有一条比较好的路线。因为兵士们跑去河边是空着双手，速度较快，而从河边奔向营区时，钢盔里盛满水，速度变慢，在这情况下，希罗光线最短原理就无效了。」

图4：费马（法国，1601～1665），法国大数学家有业余数学家之王的美称，他提出许多定理，最著名的是费马大定理（也叫费马最后定理，或费马猜想）和费马小定理。

费马的观点是正确的，他继续说：让图3的P点往右移动，就会缩短PB的距离，此时AP虽然会增长，却因速度快，因此全部的

时间可减少。但P点也不能无限制往右移，以免过份增长AP，使全部距离（AP＋PB）增加太多，反而又变慢。

图5：费马试图寻求将军灭火的最佳路线

费马根据上述构想先划如图5的草图并假设全程所费的时间为T，AP、PB段内的速度分别为V₁、V₂，则：

T=（AP/V₁）+（PB/V₂）即：

要解这个问题相当棘手，费马于是再度想到希罗光线最短原理，但是他不是使用光的反射原理〈入射角等于反射角〉，费马想到的是光的折射原理，也就是物理学上的斯涅尔定律（Snell's law）：sini/sinr= V_i/ V_r（i, r分别为入射角和折射角，V_i、V_r为光在入射介质与折射界质时的速度）（图6）

实际上，费马的想法是正确的，因为“光”之有反射及折射特性，且都是因为“光”在寻找最短时间的前进路径，今日我们也将“光的最短时间”原理称之为“费马原理”。

图6：费马理想中的救火路径，即士兵以速度V₁从A点到P点取水，再以速度V₂从P点到B点灭火。图中sinα:sinβ= V₁: V₂符合光线的折射定理（斯涅尔定律）

根据费马的理论，该将军最理想的灭火途径应该如图6的路径。

最后我们以一个类似“将军救火”的感人故事来结束这个论题，故事是：

图7：儿子将以何种路线，才会从A点到C点发费最短时间

如图7，一个从A点正向C点老家前进，归家似箭的儿子，此刻他的父亲正在病危，急等待见儿子最后一面。但A点和C点之间有以EF来区别之砂地及草地两个地带，儿子走砂地的速度只有走草地的一半。此时儿子将如何前进才能见到老爸最后一面？

可惜孩子忘记了应用费马原理，他直接从A点往C点疾奔。结果，当儿子气喘如牛的赶到父亲面前时，老爸刚过逝不久。儿子很后悔没有再加把劲，及时赶到。其实儿子已用尽最大力气在赶路，他缺乏的是不懂“费马原理”，走最短的路径回家。如图7，我们假设砂地宽FD为2公里，草地宽CF为3公里，而BC长度为7公里，则 AC 为

公里，AC＝AN＋NC，其中AN是砂程AN=AC.FD/CD=8.60×2/5= 3.44公里，如果儿子在砂上前进的速度为草上速度的一半。则在砂地上3.44公里，相当于在草地上走6.88公里，所以儿子走完AC这一段路程相当于要在草地12.04公里所走的时间。