希羅與光學研究 江銘輝五夢網
圖1：希羅（Hero of Alexandria，古希臘人，西元前100～西元後100年）
一、希羅簡介
希羅（圖1）生平不詳，他約在西元前100年左右出生，寫了好多本書，其中有十多本流傳下來。從那十多本書中我們知道他對數學和物理學有很高深的造詣，並且用那些知識在測量、機械及土木建築方面發揮了他的天才。他可說是一位學問淵博的技師。
希羅的著作可分為數學、物理和機械，三方面。數學方面的著作多半是講測量方面，著名的有：計算三角面積公式的希羅公式
，三角形三邊長是連續整數的希羅三角形如13、14、15，以及整數平方根近似值求法。在物理方面，著名的有：槓桿、滑輪、齒輪、輪軸、斜面及螺絲等六種簡單機械的省力和改變力的方向之研究；光的反射原理研究。在機械製造方面更是他的拿手，為人津津樂道，著名的有“原始蒸氣渦輪”、“祭壇的火一點燃，神殿的大門就會自動開啟”……等等千奇百怪的機械裝置。
希羅對光學的研究：
(一)反射光學
希羅研究光學，在他的〈反射光學〉（Catoptrica）中，他證明：假定光線走最短的路徑，則在反射鏡中，入射角與反射角相等。他也在這本書中敘述反射鏡的基本性質和涉及滿足一定要求的反射鏡構造的問題，譬如：讓一個人能見到自己頭的後面或讓上邊的東西出現在下邊等等。
(二)希羅與大自然法則
「光」是奇妙的大自然產物，它有雙重性質既是「波動」也是「粒子」，此外它每秒鐘能跑三十萬公里（約可繞地球的七圈半），是世界上跑得最快的物質。以下所講的全部與「光」有關的問題：故事的開端是名滿天下的古希臘學者希羅家裡，有一天來了一個樸樸實實的農夫，向他請教。農夫說：「這件事情困惑了我好久，我想每天早上出門到河邊提一桶水，然後走到我的牛棚（和我家都在河的同一邊）。請問，我如何找到河邊的一點，使我所走的路程最短。」
圖2：農夫從家裡提桶到河邊取水，再到牛棚。
希羅當場就畫了一個如圖3的圖，他劃出筆直的河岸和同一側的“家”（A點）和“牛棚”（B點），河岸線則以MN表示，現在要在河岸上找一定點P，使AP＋PB為最小。
圖3：希羅發現光的反射原理可應用到農夫的最短路徑問題
希羅根據古希臘人深信不疑的大自然法則：大自然總是遵循最簡單和最經濟的準則在進行。光是大自然產物，因此光所走的路程應該最短，時間也最少。他首先將MN想成鏡面，那末，光從A點射出，反射到B點所構成的入射角必等於反射角（即，圖3中的α＝β），於是，只需對MN取B的對稱點B'，聯AB'交MN的點P便是所求的點了。這樣，農夫就應該沿著光行進路線去走自己的路了，按這條路線就可得最短路程。希羅發現的這條路線後來被稱為“希羅最短路徑”原理。
這個故事一直流傳下去，一千多年後，有一次一位將軍在A地操兵，忽然看到營區B失火，立即命令士兵每人用鋼盔至MN河流裝水到B地滅火。事後，將軍自鳴得意說：「他選擇一條至河邊取水再到營區滅火的最短路徑。」這條路徑當然是按照希羅光線最短路徑原理。
17世紀法國數學家費馬（P. De Fermat）（圖4）聽了這故事後說：「那將軍的決策是錯誤的，實際上應該有一條比較好的路線。因為兵士們跑去河邊是空著雙手，速度較快，而從河邊奔向營區時，鋼盔裡盛滿水，速度變慢，在這情況下，希羅光線最短原理就無效了。」
圖4：費馬（法國，1601～1665），法國大數學家有業餘數學家之王的美稱，他提出許多定理，最著名的是費馬大定理（也叫費馬最後定理，或費馬猜想）和費馬小定理。
費馬的觀點是正確的，他繼續說：讓圖3的P點往右移動，就會縮短PB的距離，此時AP雖然會增長，卻因速度快，因此全部的
時間可減少。但P點也不能無限制往右移，以免過份增長AP，使全部距離（AP＋PB）增加太多，反而又變慢。
圖5：費馬試圖尋求將軍滅火的最佳路線
費馬根據上述構想先劃如圖5的草圖並假設全程所費的時間為T，AP、PB段內的速度分別為V1、V2，則：
T=（AP/V1）+（PB/V2）即：
要解這個問題相當棘手，費馬於是再度想到希羅光線最短原理，但是他不是使用光的反射原理〈入射角等於反射角〉，費馬想到的是光的折射原理，也就是物理學上的斯涅爾定律（Snell's law）：sini/sinr= Vi/ Vr（i, r分別為入射角和折射角，Vi、Vr為光在入射介質與折射界質時的速度）（圖6）
實際上，費馬的想法是正確的，因為“光”之有反射及折射特性，且都是因為“光”在尋找最短時間的前進路徑，今日我們也將“光的最短時間”原理稱之為“費馬原理”。
圖6：費馬理想中的救火路徑，即士兵以速度V1從A點到P點取水，再以速度V2從P點到B點滅火。圖中sinα:sinβ= V1: V2符合光線的折射定理（斯涅爾定律）
根據費馬的理論，該將軍最理想的滅火途徑應該如圖6的路徑。
最後我們以一個類似“將軍救火”的感人故事來結束這個論題，故事是：
圖7：兒子將以何種路線，才會從A點到C點發費最短時間
如圖7，一個從A點正向C點老家前進，歸家似箭的兒子，此刻他的父親正在病危，急等待見兒子最後一面。但A點和C點之間有以EF來區別之砂地及草地兩個地帶，兒子走砂地的速度只有走草地的一半。此時兒子將如何前進才能見到老爸最後一面？
可惜孩子忘記了應用費馬原理，他直接從A點往C點疾奔。結果，當兒子氣喘如牛的趕到父親面前時，老爸剛過逝不久。兒子很後悔沒有再加把勁，及時趕到。其實兒子已用盡最大力氣在趕路，他缺乏的是不懂“費馬原理”，走最短的路徑回家。如圖7，我們假設砂地寬FD為2公里，草地寬CF為3公里，而BC長度為7公里，則AC為
公里，AC＝AN＋NC，其中AN是砂程AN=AC.FD/CD=8.60×2/5= 3.44公里，如果兒子在砂上前進的速度為草上速度的一半。則在砂地上3.44公里，相當於在草地上走6.88公里，所以兒子走完AC這一段路程相當於要在草地12.04公里所走的時間。
若他走AEC折線，換成草地的路程，2公里的AE砂地，相當於4公里的草地，同時EC的路程是
公里，合計起來，曲折路線AEC的全程應該如同是草地11.6公里的路程。走AEC的路程反而比AC路程還早到0.4公里。
但這也不是最快的路徑，最快的路徑，應該根據費馬原理進行的折射定律路徑，也就是圖的AMC路徑，即
sina/sinb=兒子在砂地的速度/兒子在草地的速度 即：sina/sinb=1/2
現在假設M點是最佳的點，則由：sina/sinb=1/2
得：
，
令EM=X
則
………………… (1)
將上式(1)整理得：
3x4－42x3+179x2+56x－196=0
得(x－1)(3x3－39x2+140x+196=0 …………… (2)
由式2，知道x＝1，也就是M點在距離E點1公里的地方是本問題的最短路徑。現在我們來計算AMC的時程：
公里，將它換成草地路程相當於4.47公里，公里，所以AMC的路程，相當於在草地上走4.47＋6.71＝11.18公里，它比走筆直的路線AC的12.04公里還快0.86公里。其實適合費馬原理的不僅只是“光”而已，聲音的傳播及所有振動波的傳播，完全是按照費馬原理在進行，因此費馬原理可說是大自然的法則。