黄金分割 江铭辉 五梦网
十七世纪发现行星运动三大定律的德国著名天文及数学家克卜勒（J. Kepler）（图1），对黄金分割赞美说：「几何学里有两件宝，一件是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割。如果把毕达哥拉斯定理比作黄金矿的话，那么黄金分割就是宝石矿了。」现在我们来谈谈黄金分割。
图1：克卜勒（德国人1571～1630年），德国天文学家、物理学家、数学家。1598年跟随第谷（Tycho Brahe）研究天文，最大成就是发行星运动三大定律。克卜勒也是早期微积分的先驱者之一，他在〈酒桶新立体几何〉著作中用通俗的语言引入了无穷小的概念。
一、黄金分割的起源
公元前四世纪，古希腊的数学家提出了这样一个线段分割问题：如图2在线段上寻找一点C，使得长线段CA与短线段CB之比等于全线段AB与长线段AC之比，即满足AC：CB＝AB：AC。此线段的作图工具仍然只限于直尺和圆规两种。
图2：黄金分割的问题是如何在线段AB上找一点C，使AC：CB＝AB：AC。
二、黄金分割的作法与证明
1.作法：
图3：尤多克萨斯（Eudoxus of Cnidus，希腊人，约公元前408～355年）〈黄金分割〉
这个问题终于由尤多克萨斯(图3)解决了，他的解决方法如下：
如图4，设AB是需要分割的已知线段。以AB为边作正方形ABGD，取AD的中点E，连结EB，并延长DA到F，使EF=EB。以A为圆心，AF为半径画圆，交AB于C，这C点就是所要找的分点。
图4：黄金分割的几何作图
2.证明：
上述的几何作图，证明如下，如图5：
图5：黄金分割的证明
EB2=EF2=(FA+AE)2=FA2+2AE‧FA+AE2……(1)
同时由直角△AEB，知：EB2=AB2+AE2代入(1)的左边，得：
AE2+AB2=FA2+2AE‧FA+AE2……(2)
又，因为2AE=AD，FA=AC；代入(2)得：
AB2=FA2+AD‧AC……(3)
由(3)知正方形ABGD面积=正方形FAHC面积+长方形ACKD面积，所以：
矩形ACKD面积+矩形CBGK面积=正方形FAHC面积+长方形ACKD面积……(4)
由(4)，得知：
矩形CBGK面积=正方形FACH面积
因此：CB‧CK=AC2，即CB‧AB=AC2
得AC：CB=AB：AC
三、黄金分割名称的由来
图6-a：达文西（意大利，公元1452～1519年），文艺复兴时期著名的艺术家、科学家。成名的画作有：〈最后的晚餐〉、〈蒙娜丽沙〉。
图6-b：达文西对人体比例的研究
图6：达文西的人体比例研究作品中可看出他对数学比例的重视
AC：CB=AB：AC这个关系式，最初称为“中外比”，第一个将这个比例关系称为“黄金分割”的据说是达文西（Deonardo Da Vinci）（图6）。
达文西是文艺复兴后期意大利最杰出的画家，他的名作〈最后的晚餐〉和〈蒙娜莉萨〉是世界绘画史上的瑰宝。他和他同时代的画家皆认为几何学与绘画有密切的关系，绘画的精髓是将几何的透视原理表现在图画上。因此他十分注意透视原理及线段间比例的研究。他在充分研究中外比的几何意义后，揭示了中外比在艺术中的重要地位，将它称之为黄金分割。
四、黄金分割矩形
其实一般我们日常生活所用的不是黄金分割，而是黄金分割矩形。所谓 黄金分割矩形就是一个长宽比例为黄金分割比例关系的长方形。例如图7中三种比例的长方形，你认为哪一种看起来较顺眼呢？当然是图(C)。
图7：(a)、(b)、(c)三个正方形，哪一种看起来较顺眼呢？
这感觉也同样发生在阅读的书本及扑克牌的形状上，对于各种不同尺寸比例的书本及扑克牌，也只有像图(c)那种比例才是最赏心悦目的尺寸。
那么我们如何作出“黄金分割”矩形呢？
如图8，G是正形ABCD的一边BC的中点。我们以G为圆心，GD为半径划一圆。这个圆交BC的延长线于F。则ABFE矩形，就是一个黄金分割矩形。
图8：黄金分割矩形绘法
五、黄金分割美学
由于黄金分割是艺术家认为最美的长与宽的比率，是美的基础。所以在古希腊及达文西时代的艺术家都大量使用“黄金分割”或“黄金分割矩形”来作为雕刻、绘画、建筑物、家具设计等。
图9：希腊神话中美丽的阿芙洛蒂特（即罗马的维纳斯：Venus）
例如：古代希腊美女的雕像（图9），伟大的雅典巴特农神殿都符合黄金分割原理（图10）。一个非常有趣的故事：美国纽约人朗加（F. A. Lonc）曾量度过65个女子而发现这些女子的身高与由脚趾到肚脐高度之比，其平均值竟是1.618的黄金分割比值。1979年德国的亚提格特（Rudolf Altevgt）在德国的帕斯卡体育馆对207个青年学生（男：175名，女：32名）作身高与脚趾到肚脐的高度之比，其平均比例也是1.618。
图10：公元前第五世纪建造位于雅典的巴萨农（Parthenon）神庙，它的宽与长的比值为1：1.618完全符合黄金分割矩形。
六、黄金分割数学解析
我们在前面已谈过黄金分割的定义，它是如下图11，在线段AB上寻找一点C，使长线段AC与短线段CB之比，等于全线段AB与长线段之比，即满足AC：CB=AB：AC。
图11：黄金分割线段
如果我们用X来代表AC之长，y来代表CB之长，那么上式可写成：
x/y = (x+y)/x 则：X2=Y(X+Y)
移项得X2-XY-Y2=0
这方程式的解是：x/y= (1+51/2)/2≒1.618034。
(a)黄金分割长方形 (b)正方形与小黄金分割长方形
图12：将黄金分割的长方形画成一个正方形和一个黄金分割的较小长方形
如果我们先画一个长宽边的比例为黄金分割（即1.618034）的长方形，如图12-a，然后将这长方形分两部分，一部分是个正方形，另一部分仍是个长宽比例为黄金分割的长方形，图12-b。
图13：将一个黄金分割矩形分为一个较小黄金分割长方形及正方形，再继续细分下去，可得一条“对数螺旋线”
倘若用这样的方法继续作下去，便可得到一些更细小的正方形及长宽比例为黄金分割的长方形。当我们作那正方形的内接曲线时，便会得到一条数学上称之为“对数螺旋线”（Logarithmic Spiral）（图13）。对数螺线的极坐标方程式是，它最早是由笛卡尔（R. Descartes法国人，公元1593～1650年）创造的，但对于对数螺线作全面深入研究的是瑞士数学家雅各布‧伯努利（Jacob Bernoulli，瑞士人，公元1654～1705年）（图14）。在雅各布‧伯努利去世后，人们按其遗嘱在其墓碑上鑴刻了一正、
一反两条对数螺线，并附以颂词曰：纵然沧海变为桑田，我仍会回来（Eadem Mutata resurgo）。
图14：雅各布‧伯努利（瑞士，公元1654～1705年）与对数螺线。
在自然界中，我们到处可以看到对数螺旋曲线的存在，例如：蜗牛或某些贝壳动物的硬壳（图15-a）、向日葵花头的种子分布（图15-b）及某类岩石的花纹……等等，都有对数螺旋曲线的纵迹。
图15-a：鹦鹉螺的硬壳 图15-b：向日葵花头的种子
图15：鹦鹉螺的硬壳及向日葵花头的种子是自然界呈现对数螺线的实例。
黄金分割也可用以下的方法来获得：在正五边形ABCDE中（如图16）连结BD、CE交于F，则BD：BF=BF：FD，即BF与FD之比是黄金分割比率。
图16：正五边形，AB＝BF且BF：FD之比是黄金分割比。
除此之外，在数学上也发现黄金分割比率(G)以下列各种不同的表示形式出现，例如：
其倒数是0.61803398，它是G-1。此外，G也可写成连分数形式：
