黃金分割 江銘輝 五夢網
十七世紀發現行星運動三大定律的德國著名天文及數學家克卜勒（J. Kepler）（圖1），對黃金分割讚美說：「幾何學裡有兩件寶，一件是畢達哥拉斯定理，另一個是黃金分割。如果把畢達哥拉斯定理比作黃金礦的話，那麼黃金分割就是寶石礦了。」現在我們來談談黃金分割。
圖1：克卜勒（德國人1571～1630年），德國天文學家、物理學家、數學家。1598年跟隨第谷（Tycho Brahe）研究天文，最大成就是發行星運動三大定律。克卜勒也是早期微積分的先驅者之一，他在〈酒桶新立體幾何〉著作中用通俗的語言引入了無窮小的概念。
一、黃金分割的起源
西元前四世紀，古希臘的數學家提出了這樣一個線段分割問題：如圖2在線段上尋找一點C，使得長線段CA與短線段CB之比等於全線段AB與長線段AC之比，即滿足AC：CB＝AB：AC。此線段的作圖工具仍然只限於直尺和圓規兩種。
圖2：黃金分割的問題是如何在線段AB上找一點C，使AC：CB＝AB：AC。
二、黃金分割的作法與證明
1.作法：
圖3：尤多克薩斯（Eudoxus of Cnidus，希臘人，約西元前408～355年）〈黃金分割〉
這個問題終於由尤多克薩斯(圖3)解決了，他的解決方法如下：
如圖4，設AB是需要分割的已知線段。以AB為邊作正方形ABGD，取AD的中點E，連結EB，並延長DA到F，使EF=EB。以A為圓心，AF為半徑畫圓，交AB於C，這C點就是所要找的分點。
圖4：黃金分割的幾何作圖
2.證明：
上述的幾何作圖，證明如下，如圖5：
圖5：黃金分割的證明
EB2=EF2=(FA+AE)2=FA2+2AE‧FA+AE2……(1)
同時由直角△AEB，知：EB2=AB2+AE2代入(1)的左邊，得：
AE2+AB2=FA2+2AE‧FA+AE2……(2)
又，因為2AE=AD，FA=AC；代入(2)得：
AB2=FA2+AD‧AC……(3)
由(3)知正方形ABGD面積=正方形FAHC面積+長方形ACKD面積，所以：
矩形ACKD面積+矩形CBGK面積=正方形FAHC面積+長方形ACKD面積……(4)
由(4)，得知：
矩形CBGK面積=正方形FACH面積
因此 ：CB‧CK=AC2，即 CB‧AB=AC2
得 AC：CB=AB：AC
三、黃金分割名稱的由來
圖6-a：達文西（義大利，西元1452～1519年），文藝復興時期著名的藝術家、科學家。成名的畫作有：〈最後的晚餐〉、〈蒙娜麗沙〉。
圖6-b：達文西對人體比例的研究
圖6：達文西的人體比例研究作品中可看出他對數學比例的重視
AC：CB=AB：AC這個關係式，最初稱為“中外比”，第一個將這個比例關係稱為“黃金分割”的據說是達文西（Deonardo Da Vinci）（圖6）。
達文西是文藝復興後期意大利最傑出的畫家，他的名作〈最後的晚餐〉和〈蒙娜麗莎〉是世界繪畫史上的瑰寶。他和他同時代的畫家皆認為幾何學與繪畫有密切的關係，繪畫的精髓是將幾何的透視原理表現在圖畫上。因此他十分注意透視原理及線段間比例的研究。他在充分研究中外比的幾何意義後，揭示了中外比在藝術中的重要地位，將它稱之為黃金分割。
四、黃金分割矩形
其實一般我們日常生活所用的不是黃金分割，而是黃金分割矩形。所謂 黃金分割矩形就是一個長寬比例為黃金分割比例關係的長方形。例如圖7中三種比例的長方形，你認為哪一種看起來較順眼呢？當然是圖(C)。
圖7：(a)、(b)、(c)三個正方形，哪一種看起來較順眼呢？
這感覺也同樣發生在閱讀的書本及撲克牌的形狀上，對於各種不同尺寸比例的書本及撲克牌，也只有像圖(c)那種比例才是最賞心悅目的尺寸。
那麼我們如何作出“黃金分割”矩形呢？
如圖8，G是正形ABCD的一邊BC的中點。我們以G為圓心，GD為半徑劃一圓。這個圓交BC的延長線於F。則ABFE矩形，就是一個黃金分割矩形。
圖8：黃金分割矩形繪法
五、黃金分割美學
由於黃金分割是藝術家認為最美的長與寬的比率，是美的基礎。所以在古希臘及達文西時代的藝術家都大量使用“黃金分割”或“黃金分割矩形”來作為雕刻、繪畫、建築物、傢俱設計等。
圖9：希臘神話中美麗的阿芙洛蒂特（即羅馬的維納斯：Venus）
例如：古代希臘美女的雕像（圖9），偉大的雅典巴特農神殿都符合黃金分割原理（圖10）。一個非常有趣的故事：美國紐約人朗加（F. A. Lonc）曾量度過65個女子而發現這些女子的身高與由腳趾到肚臍高度之比，其平均值竟是1.618的黃金分割比值。1979年德國的亞提格特（Rudolf Altevgt）在德國的帕斯卡體育館對207個青年學生（男：175名，女：32名）作身高與腳趾到肚臍的高度之比，其平均比例也是1.618。
圖10：西元前第五世紀建造位於雅典的巴薩農（Parthenon）神廟，它的寬與長的比值為1：1.618完全符合黃金分割矩形。
六、黃金分割數學解析
我們在前面已談過黃金分割的定義，它是如下圖11，在線段AB上尋找一點C，使長線段AC與短線段CB之比，等於全線段AB與長線段之比，即滿足AC：CB=AB：AC。
圖11：黃金分割線段
如果我們用X來代表AC之長，y來代表CB之長，那麼上式可寫成：
x/y = (x+y)/x 則：X2=Y(X+Y)
移項得X2-XY-Y2=0
這方程式的解是：x/y= (1+51/2)/2≒1.618034。
(a)黃金分割長方形 (b)正方形與小黃金分割長方形
圖12：將黃金分割的長方形畫成一個正方形和一個黃金分割的較小長方形
如果我們先畫一個長寬邊的比例為黃金分割（即1.618034）的長方形，如圖12-a，然後將這長方形分兩部分，一部分是個正方形，另一部分仍是個長寬比例為黃金分割的長方形，圖12-b。
圖13：將一個黃金分割矩形分為一個較小黃金分割長方形及正方形，再繼續細分下去，可得一條“對數螺旋線”
倘若用這樣的方法繼續作下去，便可得到一些更細小的正方形及長寬比例為黃金分割的長方形。當我們作那正方形的內接曲線時，便會得到一條數學上稱之為“對數螺旋線”（Logarithmic Spiral）（圖13）。對數螺線的極坐標方程式是，它最早是由笛卡爾（R. Descartes法國人，西元1593～1650年）創造的，但對於對數螺線作全面深入研究的是瑞士數學家雅各‧伯努利（Jacob Bernoulli，瑞士人，西元1654～1705年）（圖14）。在雅各‧伯努利去世後，人們按其遺囑在其墓碑上鑴刻了一正、
一反兩條對數螺線，並附以頌詞曰：縱然滄海變為桑田，我仍會回來（Eadem Mutata resurgo）。
圖14：雅各‧伯努利（瑞士，西元1654～1705年）與對數螺線。
在自然界中，我們到處可以看到對數螺旋曲線的存在，例如：蝸牛或某些貝殼動物的硬殼（圖15-a）、向日葵花頭的種子分佈（圖15-b）及某類岩石的花紋……等等，都有對數螺旋曲線的縱跡。
圖15-a：鸚鵡螺的硬殼 圖15-b：向日葵花頭的種子
圖15：鸚鵡螺的硬殼及向日葵花頭的種子是自然界呈現對數螺線的實例。
黃金分割也可用以下的方法來獲得：在正五邊形ABCDE中（如圖16）連結BD、CE交於F，則BD：BF=BF：FD，即BF與FD之比是黃金分割比率。
圖16：正五邊形，AB＝BF且BF：FD之比是黃金分割比。
除此之外，在數學上也發現黃金分割比率(G)以下列各種不同的表示形式出現，例如：
其倒數是0.61803398，它是G-1。此外，G也可寫成連分數形式：
