阿基米得与群牛问题 江铭辉 五梦网
这是阿基米得与好友埃及的亚历山大图书馆馆长〈厄拉托西尼〉（Eratosthenes）的通信中所提问题，这个问题要从7个方程式及2个限制条件中解出8个未知的正整数。它最后归结为一个二次方程式：w2-du2=1的所谓佩尔（Pell）方程式。本问题的复杂性可从它的解答数字高达20多万数字可想而知。
故事来源：
太阳神阿波罗（Apollo）触怒了众神之父宙斯（Zeus）（图），被放逐到天涯去牧牛。后来阿波罗在他的姐姐智慧之神阿西娜（Athena）的帮助下，方渡过了流放的艰苦生活，回到天宫，恢复太阳神的职位。阿波罗牧牛的辛苦可从阿基米得的这个故事，充分流露出来。
1.故事前半段（仅8个未知数及7个方程式）：
图：众神之父宙斯（中）与阿波罗（右）及阿西娜（左）
阿波罗在天边养牛，
一大批的公牛和母牛。
牠们的毛色品种分成四种，
有黑、有白、有花、和棕色，都非常美丽。
在牛群中：
白牛比棕牛多出的数目，
正好是黑牛的一半加三分之一；
黑牛比棕牛多的数目，
又正好是花牛的四分之一加五分之一；
花牛比棕牛多出的数目，
却正好是白牛的六分之一加七分之一；
母牛群中：
白牛数是所有（包括公、母牛）黑牛的三分之一加四分之一；
黑牛数是所有花牛的四分之一加五分之一；
花牛是所有棕牛的五分之一加六分之一；
棕牛是所有白牛的六分之一加七分之一。
请我的朋友们，算吧，
牛群中各色的公牛、母牛各是几头﹖
如果用英文字母X、Y、Z、T分别表示白、黑、花、棕各色的公牛数，用x、y、z、t分别表示白、黑、花、棕各色母牛数，则这8个未知数满足如下7个方程：
(1)X-T=(1/2 +1/3)Y = 5/6Y,
(2)Y-T= (1/4+ 1/5)Z= 9/20 Z,
(3)Z-T = (1/6 +1/7)X= 13/42,
(4) x =(1/3+ 1/4)(Y+y) =7/12(Y+y)
(5)y=(1/4+1/5)(Z+z)= 9/20(Z+z)
(6)z=(1/5+ 1/6)(T+t)=11/30 (T+t)
(7)t=(1/6+1/7) (X+x) =13/42(X+x)
由方程(1)、(2)、(3)得
6X－5Y＝6T，
20Y－9Z＝20T，
42Z－13X＝42T，
以这三个方程解三个未知数X、Y、Z，得：
X=742/297 T, Y= 178/99 T, Z= 1580/891 T,
因为891和1580没有公因子，T必定是891的某一整倍数──假设为G倍，因此得
(Ⅰ) X= 2226G; Y= 1602G; Z=1580G; T= 891G;
若将这些值代入程(4)、(5)、(6)、(7)，便得下列方程：
12x-7y=11214G，
20y-9z=14220G，
30z-11t= 9801G，
42t-13x=28938G，
解这些方程的四个未知数x，y，z，t，得
(Ⅱ) cx= 720630G;cy= 4893246G; cz= 3515820G; ct= 5439213G;
其中，c是质数4657。因为在各式右边G的系数中没有一个可以被c整除，所以G必定是c的整数倍：
G=cg
如果把这个G值代入(Ⅰ)和(Ⅱ)，最后可得到下列各关系式：
(Ⅰ') X=10366482g; Y= 7460514g; Z= 7358060g; T= 4149387g;
(Ⅱ') x= 7206360g; y= 489345g; z=3515820g; t= 5439213g;
这里g可以是任何正整数。
所以，本题具有无穷组解，若指定g值为1，则得下列最小数值的解为:
白公牛：10,366,482；白母牛：7,206,360；
黑公牛： 7,460,514；黑母牛：4,893,246；
花公牛： 7,358,060；花母牛：3,515,820；
棕公牛： 4,149,387；棕母牛：5,439,213；
2.故事的后半段（加上两个附加条件）
故事至前半段，解题并不难，但是阿基米得又加了两个附加条件。使问题的解答难于上青天。这附加条件是：
当所有黑白公牛齐集在一起，
就排出一个阵形，纵横相等；
辽阔的西西里原野，
布满大量的公牛。
而当棕色公牛与花公牛在一起，
便排成一个三角形，一头公牛站在三角形顶端；
棕色公牛无一头掉队，花公牛也头头在场。
这里牛群中没有一头牛和它们的毛色不同。
如果你把这些条牛一一牢记，胸有妙算，
朋友，如果你能说出每群牛的组成和头数，
那你就是胜利者，可昂首前进，
因为你的声誉将在智慧的世界里永放光芒。
这两个附加条件是：X＋Y是一个平方数U2，而Z＋T是个三角形数(1/2)V(V＋1)，由此可得下列各关系式：
(8)X+Y= U2
(9) 2Z+ 2T= V2+V
如果根据(Ⅰ)把X，Y，Z，T的数值代入(8)和(9)，这两方程变成
3828G= U2
及
4942G= V2+V。
如果4a(a=3×11×29= 957)，b及cg分别代表3828、4942及G，便得：
(8) U2 = 4acg
(9) V2+V = bcg
然而U是2、a和C的整倍数：
U= 2acu
这样 U2= 4a2c2u2=4acg
于是(8’’)g= acu2
若把g的这个值代入(9')，使得：
V2+V = abc2u2
或(2V+1)2= 4abc2u2+1
若将未知数2V＋1用w表示，而且把
4abc2=4×3828×4942×(4657)2= 4×3×11×29×2×7×353×(4657)2
的乘积记为d，最后的方程式变为：
这就是所谓的佩尔（Pell）方程，因为d＝410286423278424，它的值十分庞大，解答非常困难。即使求μ和W的最小解答也会导致天文数字。当然阿基米得并没有解出来。
公元1889年，美国有位土木工程师贝尔（A.H. Bell）与两位好友，辞去一切职务，在伊利诺伊州组成「希斯波罗数学俱乐部」，埋头演算四年，宣布：牛的头数有206545位数，他们只知道它的第一至第三十二位数以及最后十二位数（最小牛群的解答约7.766×10206544）。
这个问题的完整答案终于在1965年一个叫威廉斯（H.C. Williams）的人借助电子计算器的力量，成功解答了，给出了完整的206545位数。并刊登在1965年10月号的「计算机数学杂志」上。可是竟然也未注销全部数字，因为每页若以50×50个数字计算，那么光登白公牛数字便要82.5页，全部登完共要660页，当然是不可能全部登完。