阿基米德與群牛問題 江銘輝 五夢網
這是阿基米德與好友埃及的亞歷山大圖書館館長〈厄拉托西尼〉（Eratosthenes）的通信中所提的問題，這個問題要從7個方程式及2個限制條件中解出8個未知的正整數。它最後歸結為一個二次方程式：w2-du2=1的所謂佩爾（Pell）方程式。本問題的複雜性可從它的解答數字高達20多萬數位可想而知。
故事來源：
太陽神阿波羅（Apollo）觸怒了眾神之父宙斯（Zeus）（圖），被放逐到天涯去牧牛。後來阿波羅在他的姐姐智慧之神雅典娜（Athena）的幫助下，方渡過了流放的艱苦生活，回到天宮，恢復太陽神的職位。阿波羅牧牛的辛苦可從阿基米德的這個故事，充分流露出來。
1.故事前半段（僅8個未知數及7個方程式）：
圖：眾神之父宙斯（中）與阿波羅（右）及雅典娜（左）
阿波羅在天邊養牛，
一大批的公牛和母牛。
牠們的毛色品種分成四種，
有黑、有白、有花、和棕色，都非常美麗。
在牛群中：
白牛比棕牛多出的數目，
正好是黑牛的一半加三分之一；
黑牛比棕牛多的數目，
又正好是花牛的四分之一加五分之一；
花牛比棕牛多出的數目，
卻正好是白牛的六分之一加七分之一；
母牛群中：
白牛數是所有（包括公、母牛）黑牛的三分之一加四分之一；
黑牛數是所有花牛的四分之一加五分之一；
花牛是所有棕牛的五分之一加六分之一；
棕牛是所有白牛的六分之一加七分之一。
請我的朋友們，算吧，
牛群中各色的公牛、母牛各是幾頭﹖
如果用英文字母X、Y、Z、T分別表示白、黑、花、棕各色的公牛數，用x、y、z、t分別表示白、黑、花、棕各色母牛數，則這8個未知數滿足如下7個方程：
(1)X-T=(1/2 +1/3)Y = 5/6Y,
(2)Y-T= (1/4+ 1/5)Z= 9/20 Z,
(3)Z-T = (1/6 +1/7)X= 13/42,
(4) x =(1/3+ 1/4)(Y+y) =7/12(Y+y)
(5)y=(1/4+1/5)(Z+z)= 9/20(Z+z)
(6)z=(1/5+ 1/6)(T+t)=11/30 (T+t)
(7)t=(1/6+1/7) (X+x) =13/42(X+x)
由方程(1)、(2)、(3)得
6X－5Y＝6T，
20Y－9Z＝20T，
42Z－13X＝42T，
以這三個方程解三個未知數X、Y、Z，得：
X=742/297 T, Y= 178/99 T, Z= 1580/891 T,
因為891和1580沒有公因子，T必定是891的某一整倍數──假設為G倍，因此得
(Ⅰ) X= 2226G; Y= 1602G; Z=1580G; T= 891G;
若將這些值代入程(4)、(5)、(6)、(7)，便得下列方程：
12x-7y=11214G，
20y-9z=14220G，
30z-11t= 9801G，
42t-13x=28938G，
解這些方程的四個未知數x，y，z，t，得
(Ⅱ) cx= 720630G;cy= 4893246G; cz= 3515820G; ct= 5439213G;
其中，c是質數4657。因為在各式右邊G的係數中沒有一個可以被c整除，所以G必定是c的整數倍：
G=cg
如果把這個G值代入(Ⅰ)和(Ⅱ)，最後可得到下列各關係式：
(Ⅰ') X=10366482g; Y= 7460514g; Z= 7358060g; T= 4149387g;
(Ⅱ') x= 7206360g; y= 489345g; z=3515820g; t= 5439213g;
這裡g可以是任何正整數。
所以，本題具有無窮組解，若指定g值為1，則得下列最小數值的解為:
白公牛：10,366,482；白母牛：7,206,360；
黑公牛： 7,460,514；黑母牛：4,893,246；
花公牛： 7,358,060；花母牛：3,515,820；
棕公牛： 4,149,387；棕母牛：5,439,213；
2.故事的後半段（加上兩個附加條件）
故事至前半段，解題並不難，但是阿基米德又加了兩個附加條件。使問題的解答難於上青天。這附加條件是：
當所有黑白公牛齊集在一起，
就排出一個陣形，縱橫相等；
遼闊的西西里原野，
布滿大量的公牛。
而當棕色公牛與花公牛在一起，
便排成一個三角形，一頭公牛站在三角形頂端；
棕色公牛無一頭掉隊，花公牛也頭頭在場。
這裡牛群中沒有一頭牛和它們的毛色不同。
如果你把這些條牛一一牢記，胸有妙算，
朋友，如果你能說出每群牛的組成和頭數，
那你就是勝利者，可昂首前進，
因為你的聲譽將在智慧的世界裡永放光芒。
這兩個附加條件是：X＋Y是一個平方數U2，而Z＋T是個三角形數(1/2)V(V＋1)，由此可得下列各關係式：
(8)X+Y= U2
(9) 2Z+ 2T= V2+V
如果根據(Ⅰ)把X，Y，Z，T的數值代入(8)和(9)，這兩方程變成
3828G= U2
及
4942G= V2+V。
如果4a(a=3×11×29= 957)，b及cg分別代表3828、4942及G，便得：
(8) U2 = 4acg
(9) V2+V = bcg
然而U是2、a和C的整倍數：
U= 2acu
這樣 U2= 4a2c2u2=4acg
於是(8’’)g= acu2
若把g的這個值代入(9')，使得：
V2+V = abc2u2
或(2V+1)2= 4abc2u2+1
若將未知數2V＋1用w表示，而且把
4abc2=4×3828×4942×(4657)2= 4×3×11×29×2×7×353×(4657)2
的乘積記為d，最後的方程式變為：
這就是所謂的佩爾（Pell）方程，因為d＝410286423278424，它的值十分龐大，解答非常困難。即使求μ和W的最小解答也會導致天文數字。當然阿基米德並沒有解出來。
西元1889年，美國有位土木工程師貝爾（A.H. Bell）與兩位好友，辭去一切職務，在伊利諾州組成「希斯波羅數學俱樂部」，埋頭演算四年，宣佈：牛的頭數有206545位數，他們只知道它的第一至第三十二位數以及最後十二位數（最小牛群的解答約7.766×10206544）。
這個問題的完整答案終於在1965年一個叫威廉斯（H.C. Williams）的人借助電子計算機的力量，成功解答了，給出了完整的206545位數。並刊登在1965年10月號的「電腦數學雜誌」上。可是竟然也未登出全部數字，因為每頁若以50×50個數字計算，那麼光登白公牛數字便要82.5頁，全部登完共要660頁，當然是不可能全部登完。