阿基米得与砂粒计算者 江铭辉 五梦网
图1：阿基米得(Archimedes，古希腊人，公元前287～212年) 〈古代最伟大的科学家和数学家〉
古人看到密密麻麻的海滩或河流的细砂，都束手无策，认为数目庞大，不可计数。阿基米得（图1）是第一个把人们认为无穷大的海滩砂数巧妙地以有限数目表示的人。〈砂粒计算者〉是阿基米得写给锡拉库沙国王长子格朗（Gelon）的一封信。信中，他把一般人认为无穷大的海滩砂数，根据每颗砂粒的实际大小去推算“究竟使用多少颗砂粒才能将整个宇宙空间全部填满！﹖”阿基米得的巧妙算法真使人拍案叫绝，其推算步骤如下：
1.估计宇宙的直径
古希腊人认为宇宙是一个巨大天球，地球位于天球中心，这个宇宙天球的直径是地球直径的一万倍。地球的圆周已由阿基米得的好友厄拉托西尼测出是25万史达地亚（Stadia），因此地球的直径小于10万史地达亚。（一个史达地亚是指运动场一圈的长度。奥林比亚运动场一圈是630.8英呎，厄拉托西尼所用的是埃及的史达地亚，它的长度为516.73英呎。）阿基米得为了增强说服力，将宇宙范围再扩大十万倍，如此宇宙直径变为地球的十亿倍，也就是说宇宙的直径仍小于100万亿史达地亚。以一史达地亚为516.73英呎估算，宇宙的直径小于100万亿×516.73英呎即516.73×1014英呎，小于62×1016英吋，小于1×1018英吋。
2.估计一英吋直径的球可装多少砂粒？
为了增加说服力，阿基米得尽量把砂粒描绘得非常小，他假设一万颗砂粒才有一颗罂粟粒子那么大，因为一颗罂粟粒子的直径是英吋，所以一个一英吋直径的圆球可装：
1吋3÷(1/40) 吋3=6400颗罂粟粒子或64000×104颗砂粒，小于109颗砂粒。
3.宇宙可容多少颗砂粒。
根据上述1、2可知，宇宙可装的砂粒数目为：
【(宇宙直径)3÷1吋3】×109=（1×1018）3×109=1063颗砂粒
4.阿基米得对宇宙填砂的解说。
1063是非常大的数目，当时古希腊的计数单位最大才到“万”，很难满足这个问题的解答。于是阿基米得很技巧的又将当时的记数单位作了扩充，创造了一套表示大数的方法。他将一万（104）叫做第一级单位，将一万的一万倍即一亿（108）叫做第二级单位，第二级一亿的一亿倍（1016）叫做第三级单位，如此类推，得第四级单位（1032），第五级单位（1064），第六级单位（10128），第七级单位（10256），第八级单位（10512），共取八级。
依这个计算准则，填满直径为一英吋的圆球至多需要6.4×108颗砂粒，大约是第二级单位。如果填满直径为一史达地亚的圆球大约是2×1020颗砂粒，则大约是介于第三级和第四级单位之间，至于填满整个地球的砂粒为2×1035颗，大约是比第四级单位大一些。至于填满阿基米得式宇宙（比希腊式宇宙大十万倍）的砂粒为1063颗，则还不到第五级单位（1064）哩！
古希腊人把104叫做黑暗，108叫做黑暗中的黑暗，意思是它们已经大得数不清了。而阿基米得算出的这个数目，不知是黑暗的多少倍，由此可见“砂粒的计算问题”不仅显示了阿基米得高超的计算能力，也显示了他的胆识与气魄。
5.填满今日科学家认识的宇宙所需砂数。
1063颗砂粒是否可填满今日科学家所认识的宇宙。我们的答案是太少了。当然这不是阿基米得的过错，如果他生活在现在的环境，他当然会精确算出填满整个宇宙所须的砂数。我们只能说古希腊人心目中的天球（宇宙）太小了。
既然希腊式宇宙无法满足“砂粒的计算问题”，那么需要用多少颗砂粒才能填满整个宇宙。读者可能立刻会想到，只要知道宇宙的体积，答案就可迎面而解。谈到宇宙的大小，最先谈起的当然是刚刚我们才叙述的希腊式宇宙，这是有一定范围和边长的宇宙。这个观念，一直到托勒密（Ptolemy）、哥白尼（N. Copernicus）甚至伽利略（Galileo Galilei）都相信这个说法。但是牛顿以后，又兴起宇宙的大小和边长都是无穷大的说法。因为人们很难想象宇宙有“尽头”，如果宇宙有“尽头”，那么尽头的外面又是什么？
爱因斯坦（A. Einstein）最先用相对论学说打破这种观念，他说：宇宙有一定大小而没有边长。他同时主张，我们的宇宙是处于四度空间中，一个不会膨胀，也不会缩小的“静止的宇宙”。很多天文学家，不同意爱因斯坦这种说法。于是在1920年左右又有“宇宙膨胀说”理论出现。该理论说：「宇宙起先只是小小一块固体，后来发生了大爆炸而开始膨胀，所以宇宙现在应该仍在继续地膨胀者。」这个“宇宙膨胀说理论”由天文学家哈伯（Edwin Hubble）在观测实际天体运动时，证实并发现到：宇宙间所有银河的星体都离我们远去，离开的速度愈远愈快。而且每离我们的银河100万光年，每秒速度就增加16公里。这个每100万光年增加每秒16公里的速度因此被叫做霍伯常数。既然所有银河的星球都以每一百万光年增加每秒16公里速度的哈伯常数在前进。我们可依哈伯常数计算远处的银河距离，在一百七十五亿五千万光年那边的银河，它们就会以每秒30万公里的速度离我们而去。每秒30万公里也就是和世界上最快的速度「光子」相同。以光速离我们远去的物体，即使放出光芒，这道光芒也无法达到我们地球。根据爱因斯坦的相对论，世界上没有比光更快的东西了。由这个理论，推算这里应该是我们所看到的宇宙之界限，也就是宇宙的地平线。因此我们的结论是：以我们为中心的宇宙，大约是半径200亿光年的大球体，200亿光年是我们所能看到宇宙的界限，也称为「宇宙的地平线」（图2）。
图2：200亿光年的半径是我们所知宇宙的最远距离。
若宇宙是半径200亿光年的大球体，则其体积为：
宇宙半径=200×108×(365×86400×3×108)公尺
=1892160×1020公尺=1.892160×1026公尺≒7.5×1027英寸
宇宙体积=4/3πR3=4/3π(7.5×1027)=1.767×1084(英寸)3
若以1(英寸)3可容约6.4×108颗砂粒。
则充满整个宇宙所需的砂粒为1.767×1084×6.4×108=1.1×1093颗。
还不到阿基米得第六级单位（10128）哩！