阿基米德與砂粒計算者 江銘輝 五夢網
圖1：阿基米德(Archimedes，古希臘人，西元前287～212年) 〈古代最偉大的科學家和數學家〉
古人看到密密麻麻的海灘或河流的細砂，都束手無策，認為數目龐大，不可計數。阿基米德（圖1）是第一個把人們認為無窮大的海灘砂數巧妙地以有限數目表示的人。〈砂粒計算者〉是阿基米德寫給錫拉庫沙國王長子格朗（Gelon）的一封信。信中，他把一般人認為無窮大的海灘砂數，根據每顆砂粒的實際大小去推算“究竟使用多少顆砂粒才能將整個宇宙空間全部填滿！﹖” 阿基米德的巧妙算法真使人拍案叫絕，其推算步驟如下：
1.估計宇宙的直徑
古希臘人認為宇宙是一個巨大天球，地球位於天球中心，這個宇宙天球的直徑是地球直徑的一萬倍。地球的圓周已由阿基米德的好友厄拉托西尼測出是25萬史達地亞（Stadia），因此地球的直徑小於10萬史地達亞。（一個史達地亞是指運動場一圈的長度。奧林比亞運動場一圈是630.8英呎，厄拉托西尼所用的是埃及的史達地亞，它的長度為516.73英呎。）阿基米德為了增強說服力，將宇宙範圍再擴大十萬倍，如此宇宙直徑變為地球的十億倍，也就是說宇宙的直徑仍小於100萬億史達地亞。以一史達地亞為516.73英呎估算，宇宙的直徑小於100萬億×516.73英呎即516.73×1014英呎，小於62×1016英吋，小於1×1018英吋。
2.估計一英吋直徑的球可裝多少砂粒？
為了增加說服力，阿基米德盡量把砂粒描繪得非常小，他假設一萬顆砂粒才有一顆罌粟粒子那麼大，因為一顆罌粟粒子的直徑是英吋，所以一個一英吋直徑的圓球可裝：
1吋3÷(1/40) 吋3=6400顆罌粟粒子或64000×104顆砂粒，小於109顆砂粒。
3.宇宙可容多少顆砂粒。
根據上述1、2可知，宇宙可裝的砂粒數目為：
【(宇宙直徑)3÷1吋3】×109=（1×1018）3×109=1063顆砂粒
4.阿基米德對宇宙填砂的解說。
1063是非常大的數目，當時古希臘的計數單位最大才到“萬”，很難滿足這個問題的解答。於是阿基米德很技巧的又將當時的記數單位作了擴充，創造了一套表示大數的方法。他將一萬（104）叫做第一級單位，將一萬的一萬倍即一億（108）叫做第二級單位，第二級一億的一億倍（1016）叫做第三級單位，如此類推，得第四級單位（1032），第五級單位（1064），第六級單位（10128），第七級單位（10256），第八級單位（10512），共取八級。
依這個計算準則，填滿直徑為一英吋的圓球至多需要6.4×108顆砂粒，大約是第二級單位。如果填滿直徑為一史達地亞的圓球大約是2×1020顆砂粒，則大約是介於第三級和第四級單位之間，至於填滿整個地球的砂粒為2×1035顆，大約是比第四級單位大一些。至於填滿阿基米德式宇宙（比希臘式宇宙大十萬倍）的砂粒為1063顆，則還不到第五級單位（1064）哩！
古希臘人把104叫做黑暗，108叫做黑暗中的黑暗，意思是它們已經大得數不清了。而阿基米德算出的這個數目，不知是黑暗的多少倍，由此可見“砂粒的計算問題”不僅顯示了阿基米德高超的計算能力，也顯示了他的膽識與氣魄。
5.填滿今日科學家認識的宇宙所需砂數。
1063顆砂粒是否可填滿今日科學家所認識的宇宙。我們的答案是太少了。當然這不是阿基米德的過錯，如果他生活在現在的環境，他當然會精確算出填滿整個宇宙所須的砂數。我們只能說古希臘人心目中的天球（宇宙）太小了。
既然希臘式宇宙無法滿足“砂粒的計算問題”，那麼需要用多少顆砂粒才能填滿整個宇宙。讀者可能立刻會想到，只要知道宇宙的體積，答案就可迎面而解。談到宇宙的大小，最先談起的當然是剛剛我們才敘述的希臘式宇宙，這是有一定範圍和邊長的宇宙。這個觀念，一直到托勒密（Ptolemy）、哥白尼（N. Copernicus）甚至伽利略（Galileo Galilei）都相信這個說法。但是牛頓以後，又興起宇宙的大小和邊長都是無窮大的說法。因為人們很難想像宇宙有“盡頭”，如果宇宙有“盡頭”，那麼盡頭的外面又是什麼？
愛因斯坦（A. Einstein）最先用相對論學說打破這種觀念，他說：宇宙有一定大小而沒有邊長。他同時主張，我們的宇宙是處於四度空間中，一個不會膨脹，也不會縮小的“靜止的宇宙”。很多天文學家，不同意愛因斯坦這種說法。於是在1920年左右又有“宇宙膨脹說”理論出現。該理論說：「宇宙起先只是小小一塊固體，後來發生了大爆炸而開始膨脹，所以宇宙現在應該仍在繼續地膨脹者。」這個“宇宙膨脹說理論”由天文學家哈伯（Edwin Hubble）在觀測實際天體運動時，證實並發現到：宇宙間所有銀河的星體都離我們遠去，離開的速度愈遠愈快。而且每離我們的銀河100萬光年，每秒速度就增加16公里。這個每100萬光年增加每秒16公里的速度因此被叫做霍伯常數。既然所有銀河的星球都以每一百萬光年增加每秒16公里速度的哈伯常數在前進。我們可依哈伯常數計算遠處的銀河距離，在一百七十五億五千萬光年那邊的銀河，它們就會以每秒30萬公里的速度離我們而去。每秒30萬公里也就是和世界上最快的速度「光子」相同。以光速離我們遠去的物體，即使放出光芒，這道光芒也無法達到我們地球。根據愛因斯坦的相對論，世界上沒有比光更快的東西了。由這個理論，推算這裡應該是我們所看到的宇宙之界限，也就是宇宙的地平線。因此我們的結論是：以我們為中心的宇宙，大約是半徑200億光年的大球體，200億光年是我們所能看到宇宙的界限，也稱為「宇宙的地平線」（圖2）。
圖2：200億光年的半徑是我們所知宇宙的最遠距離。
若宇宙是半徑200億光年的大球體，則其體積為：
宇宙半徑=200×108×(365×86400×3×108)公尺
=1892160×1020公尺=1.892160×1026公尺≒7.5×1027英寸
宇宙體積=4/3πR3=4/3π(7.5×1027)=1.767×1084(英寸)3
若以1(英寸)3可容約6.4×108顆砂粒。
則充滿整個宇宙所需的砂粒為1.767×1084×6.4×108=1.1×1093顆。
還不到阿基米德第六級單位（10128）哩！